量子四書(上) 從量子論到量子力學

一般說來，讀物理學的原始論文是相當吃力不討好的差事。一來是過去使用的術語通常與現在的不同，慣用的符號也不同，更要命的是原始論文通常是作者與當代的學者溝通甚至爭辯而生的產物，他們的討論重心往往已經消失在知識的汪洋之中，所以現代的讀者常常丈二金剛摸不著後腦，感覺眼前的這些論文簡直就像天書一般，明明每個字都認得，怎麼連起來就成了咒語一般，完全不可解了呢? 所以物理系的學生往往是仰賴後代學者專家撰寫的教科書來學習。一來經過教科書作者的努力下，對學生來講容易吸收，再者教科書提供了一個邏輯結構嚴謹的架構，讀起來格外通暢。所以現在鮮有人會去讀牛頓的"自然哲學原理"或是哥白尼的"天球運行論"了。但有趣的是，有關量子物理的原始文獻卻是一直不乏讀者，不僅是專研科學史的學者在讀，像當年阿文這種好奇心旺盛的大學生也在讀，原因在於量子物理算上一場規模宏大的思想革命，不管教科書再怎麼講得天花亂墜，有一些關鍵就是講不清楚，尤其是從舊量子論發展到矩陣力學的這一段，還有從量子力學發展到早期的量子場論的過程，往往書中只是輕描淡寫，甚至是支吾其詞，讓打破沙鍋問到底的白目學生如阿文者，心中總覺得"案情不單純，背後另有隱情"，所以不得不鼓起勇氣，自己去找原始論文來解惑。現在阿文書櫃中就躺著四本當年阿文買的書，裡頭都是量子物理相關的原始論文的選集，這類書被稱為source book，就趁著這個機會，讓阿文我向各位看官介紹一下這四本書，既然都跟量子物理有關，姑且就稱它們是"量子四書"吧。

 

第一本是由牛津大學的Dirk ter Haar 教授所編纂的"The Old Quantum Theory"，編者本身是荷蘭物理學家Hendrik Kramers 的學生。這本書收錄了八篇與舊量子論的原始論文，前面則是附上了相當詳盡的解說。當然，一般量子物理教科書都從黑體輻射講起，本書也不例外，但是這本書好就好在它的解說。要了解當年普朗克如何寫下他著名的輻射分布公式，不能不講Wilhelm Wien 關於黑體輻射的工作。特別是如何利用絕熱不變量(adiabatic invariant)導出維恩位移定律。其實當時普朗克是利用"熵"的概念來研究黑體輻射光譜的，但是中間有一點曲折，普朗克是假設空腔中的輻射與一群"假想"的帶電振子形成熱平衡，然後嘗試從這些假想"振子"的"熵"出發，利用熱力學第二定律來決定黑體輻射光譜，這個思路是承接維恩的工作而來的。但是當普朗克了解到維恩的輻射分布與實驗不合時，他也了解到熱力學無法惟一地決定振子熵，他只好鋌而走險，寫下一個滿足熱力學第二定律的振子熵的表達式，由此推出著名的普朗克輻射分布，而更著名的公式

則是在寫下公式後普朗克嘗試利用波茲曼的公式

來理解他先前的結果才發現的! 這一個曲折的故事要是放在量子物理的第一堂課，恐怕會睡死一缸學生吧，所以現在的教法都是從E=hν出發。這樣做的好處是簡單明白，但是如同當年少年阿文一樣，一定有許多學生對這樣天外飛來一筆的"神奇"作法很感冒，那麼這本書的解說再配合後面兩篇普朗克的文章，應該可以讓許多人釋懷了。不過讓阿文我小小抱怨一下，只選兩篇普朗克最終的論文是有點不夠，他較早的一些相關工作，雖然技術性高了點，其實也是故事的一部分，想來編者是因為篇幅而割愛，有興趣的讀者可以參考Olivier Darrigol寫的From c-Numbers to q-Numbers:The Classical Analogy in the History of Quantum Theory，稍稍可以窺得全貌。


接下來上場的是愛因斯坦的"光量子"，搭配愛因斯坦的原始論文，我們可以看到引導愛因斯坦得到光量子的還是熵的概念!但是相較於普朗克曲折地假設帶電振子，愛因斯坦卻是開門見山地引入輻射的熵，事實上，在這裡愛因斯坦採用的還是維恩分布，而不是普朗克分布。這一篇論文的後半則是愛因斯坦以光量子假設解釋光電效應，這部分是大部分教科書津津樂道的部份。教科書沒有教的是1906年愛因斯坦理解到如果單單把電磁波當做攜帶明確的能量與動量的光子，應該會得到維恩分布，只有進一步假設帶著相同能量的能量與動量的光子遵守與古典統計力學不一樣的規則才能得到普朗克分布，用今天的術語就是光子必需是對稱統計的全同粒子。特別值得一提的是愛因斯坦算了一堆光子的能量漲落均方，然後比較滿足波色子的光子的數目漲落均方，再由普朗克公式E=hν，證明兩者給出一致的答案，由此可以支持愛因斯坦的看法。而1907年愛因斯坦更將光量子的觀念上用到固體比熱的問題上，依照古典物理，固體比熱是常數，但是實驗發現到了低溫時比熱會開始遞減，這件事也能輕易地用普朗克公式來加以解釋，甚至連更細緻的固體比熱的德拜理論都介紹了，尤其有趣的，這裡還介紹了愛因斯坦在1909年的論文，巧妙地利用假想實驗來論證電磁輻射的能量漲落與動量漲落的關係，很可惜的，愛因斯坦的1906，1907與1909年的原始論文都沒有收錄，有興趣的讀者得自己找來看(還是用德文寫的)，這是美中不足之處。

 

（圖片來源：123rf)

接下來介紹的是大家孰悉的拉塞福原子模型與波爾的原子模型，這本書也收錄了拉塞福與波爾的原始論文，雖然主要內容與一般量子物理的書所差無幾，不過有趣的是拉塞福的論文中提到了日本物理學家長岡半太郎的土星環模型，就是假設電子像土星環一般圍繞在帶正電的原子核四周，此外還收錄了Frank 與赫茲的原始論文，接下來的一章則是討論原子光譜，首先是一般量物課本絕口不提的"絕熱不變量"(adiabatic invariant)以及作用量-角度變數(action-angle variable)，由此導出比波爾模型的角動量量子化條件更一般化的量子化條件，接著才是索莫菲的相對論性原子模型以及Zeeman 效應。最終講得是用電子殼層來解釋周期表，這當然要提到"自旋"和"包立不相容原理"。配合收錄的也是包立關於電子殼層的文章。


接下來上場的最後一章也是最精彩的一章，講得還是輻射理論。主要的內容是愛因斯坦在1917年寫的一篇重要的文章叫"On the quantum theory of radiation"。這一篇論文定義了有名的A係數與B係數，前者是自發放射的躍遷機率，而後者則是受激放射與受激吸收的躍遷機率。愛因斯坦巧妙地運用"平衡"，加上"絕熱不變量"的概念居然推導出了普朗克輻射定律，更令人嘖嘖稱奇的是愛因斯坦還利用了布朗運物的理論來分析分子與光子的交互作用，甚至推算出分子與光子交換的動量的漲落均方值！但是怎麼去算A係數與B係數呢? 這個就不是舊量子論可以置喙的題材了，而這正是下一本書開始的地方。


第二本阿文要介紹的是由 Bartel Leendert van Der Waerden 教授所編纂的 "Sources of Quantum Mechanics" 。van Der Waerden 是荷蘭出生的科學家，但是在德國哥廷根大學拿到學位，戰前在萊比錫拿到教職。戰爭時他一直留在德國，但是由於他堅決不放棄他的荷蘭國籍，再加上他常批評納粹常使他陷入困境。戰後他回去荷蘭，後來轉到瑞士蘇黎世大學並終老於此。雖然他是數學家，但他晚年卻對科學史產生興趣，再加上他曾在萊比錫與海森堡共事，所以他會編纂這本書也不會太不可思議的事。這一本書收錄了十七篇原始論文。這十七篇論文分成上下兩部。前半部收錄了十二篇，後半部收錄五篇。前半部的論文是與舊量子論發展到矩陣力學的過程有關的論文，後半部則是矩陣力學的論文。


前半部的第一篇正是上一本的最後一篇，也就是愛因斯坦在1917年的那篇定義A係數與B係數的那篇論文。第二篇則是Paul Ehrenfest所撰寫以古典力學的角度來分析"絕熱不變量"與量子化條件的文章。Paul Ehrenfest 是波茲曼的得意門生，而在寫這篇文章的時候，他已經接替了羅倫茲而在萊頓大學擔任教授。第三篇也是在1917年寫的，作者是波爾，而內容則是赫赫有名的"對應原則"，一般的書只提到在高量子數的極限下，量子理論的結果應該與古典理論一致，然而更要緊的是，波爾指出將一個周期運動做傅利葉展開所得到的係數，一般稱之為傅利葉係數。這個傅利葉係數Cτ的平方與從量子數m到量子數n躍遷機率成正比，在此τ=m-n。這些作者大家都聽過，他們的文章被收錄進來也不足為奇。真正有意思的是第四篇，這是一篇實驗物理學家所寫的半理論半實驗的"奇文"，編者特別提到這篇文章是包立強烈推薦而被放進來的。這篇文章的作者是Rudolf Landenburg，相信看官們大夥都沒聽過此人的名號。Rudolf Landenburg 生於1882年，他是一位猶太裔的德國化學教授之子，在發現X光的倫琴指導下拿到博士學位，寫這篇文章的時候他正在Breslau 擔任講師。Rudolf Landenburg 在1930年就跑到美國的普林斯頓，後來德國大批科學家逃到美國時，他在安置這些同行幫了大忙，後來他就留在普林斯頓退休。


這篇文章討論的是色散現象中的參數與愛因斯坦A係數的關係。各位看官一定會很納悶，色散這種古典光學的現象怎麼會跟愛因斯坦A係數扯得上邊呢?這得要從羅倫茲的色散理論說起，羅倫茲假設物質中有許多帶電的簡諧振子，在外加電場下，這些振子做驅策振動，由次可以漂亮的解釋物質極化率與入射電磁波頻率的關係，只要測量物體的極化率就能決定物質中這些振子的振動頻率與"振子"的密度。依照古典物理，光譜線的強度是由"振子"密度來決定的。但是如果是從量子理論出發的話，那麼光譜線的強度則是由愛因斯坦的A係數與B係數來決定，Rudolf Landenburg 天外飛來一筆，他認為既然都是吸收光譜線的公式，就讓兩者相等吧!由此他得到A係數與"振子"密度的關係，然後他從光譜實驗的結果與波散實驗的結果分頭取得兩者，發現他得到的關係還真的不離譜呢。這一篇文章乍讀之下還真的有點令人困惑，然而這一篇文章卻是敲開量子秘密的一塊敲門磚。它隱含著一個非常關鍵的想法，就是把原子想像成一群簡諧振子的集合可以解釋許多量子現象，但是這些"振子"卻不是真的存在的東西，所以被稱為"虛振子"。電動力學告訴我們一個帶電物體做簡諧運動放出的電磁波的頻率跟簡諧運動的頻率是相同的，所以這個想法不算荒謬，但是一個原子跟一群振子要如何聯結?當時沒有人知道呀。


"虛振子"這個概念接著被一個年輕的美國科學家John Clarke Slater (1900 – 1976)進一步發展，他在1924年的年初投到Nature 的一篇文章中既然有"虛振子"那麼它的振動應該會產生"虛輻射場"囉，所以他主張原子會發出"虛輻射場"，而這些"虛輻射場決定了原子發生躍遷的機率，這一篇文章沒有收錄在這本書中，但是稍晚Slater與波爾以及波爾的助手Kramers 合寫的論文卻有被收錄。這篇文章提出來的理論被稱為"BKS"理論。這個理論跟原先Slater想法有點不同，他原先設想的是"虛輻射場"會"導引"光子沿著它的Poynting's vector方向行進，而且原子放射與吸收光子時，能量與動量都精確地守恆。當時Slater正在哥本哈根的波爾研究所訪問，他被波爾以及Kramers說服，放棄了光子，而主張能量與動量是"統計性"地守恆，而所謂"受激輻射"也不可能發生，因為每次量子躍遷都是彼此獨立的，這一點當然是錯了，否則雷射就不可能被發明出來了。(不過雷射可是過了三十多年後才問世的!) Slater 後來對波爾尤其是Kramers 頗有微詞呢。他尤其懊悔當年聽了他們的"花言巧語"錯失留名科學史的大好良機，對此耿耿於懷。但是Kramers(1894 – 1952)也不是省油的燈，他利用高超的數學技巧加上對古典力學深刻的理解，將BKS理論不斷往前推進，可以算是催生量子力學的大功臣，然而最後創造量子力學的桂冠卻落在別人的身上，這一段曲折離奇的故事，恰恰好可以由本書收錄的文章看出端倪呢。


第六篇是一篇由Kramers 在BKS論文兩個月後投到Nature 的短文，這一篇文章將原先Rudolf Landenburg 所發現的關係擴展到放射光譜線上，但是這篇文章沒有推導的過程喔，而收錄第八篇也是Kramers寫的，也是短短一篇，鉤勒了如何利用古典力學以及之前舊量子論所提出的量子化條件得到第六篇的結果，更完整的推導結果則是被收錄的第九篇論文，而這篇論文的作者除了Kramers 之外，還有一個名字，就是大名鼎鼎的海森堡! 海森堡1901年12月5日出生於德國維爾茨堡，1920年從慕尼黑的中學畢業後，到慕尼黑大學學習物理學，在阿諾‧索末菲指導上很快成為物理界的新秀，他當時主要研究的課題是氦原子光譜。1923年他在慕尼黑大學獲得博士學位，並到哥廷根大學擔任馬克斯‧波恩（Marx Born, 1954年諾貝爾物理學獎）繼續量子理論的研究。1924年他拿到德國的大學任教資格。從1924年開始，海森堡在哥廷根擔任講師。1924年9月17日至1925年5月1日，由於一項國際教育委員會洛克菲勒基金會獎學金的支持，海森堡與哥本哈根大學物理主任波爾進行研究。就是在這段時間，他參與了Kramers 主導的色散理論的量子理論研究。最後闡述色散理論的完整推導的論文是在1924年的聖誕節送出去的，如果照著這樣發展下去的話，Kramers 無疑地將會成為量子力學的發現者吧，但是命運之神的重錘卻在隔年1925年四月惡狠狠地敲在Kramers身上，德國物理學家Walther Wilhelm Georg Bothe 與Hans Geiger 利用他們發明的所謂「符合方法」，並設計了符合電路，測量了康普頓效應中反彈電子的動量，證明了散射電磁波的動量真的如愛因斯坦的光量子理論所預測的一模一樣。這等於宣告了愛因斯坦的光量子說的勝利，也等於是宣告BKS理論的失敗，對篤信BKS理論的Kramers來說，這簡直是晴天霹靂，他整個人像洩了氣的皮球，完全無法繼續研究，但是對年輕的海森堡來說，BKS理論與之前與Kramers合作的色散理論沒有必然的邏輯關係，所以他在離開哥本哈根回哥廷根時，他一心只想將之前與Kramers 合作發展的方法拿來研究光譜線的強度。幾個月後，為了逃避花粉熱，海森堡跑去北海的Heligoland，就在那裏，海森堡參透了量子的奧秘，寫下了量子力學的奠基論文，這一篇文章Über quantentheoretishe Umdeutung kinematisher und mechanischer Beziehungen(About quantum-theoretical reinterpretation of kinematical and mechanical relations)就收錄在第十二篇，由此揭開了量子力學的序幕！海森堡所寫下的理論，就是所謂的"矩陣力學"。但是當海森堡一開始，也不太明瞭他打開的潘朵拉的盒子裡頭跑出什麼妖魔鬼怪呢。順便一提的是量子力學這個詞是海森堡的老闆馬克斯‧波恩所提出來的，而波恩的這篇文章則是收錄在第七篇。而第九篇則是美國物理學家J. H.Van Vleck 所寫的文章，都是企圖結合古典力學與量子化條件建立新的力學，但是最後成功達陣的還是海森堡！(Van Vleck 只比海森堡大一歲，他後來在1977年因磁性研究而得到諾貝爾獎，比海森堡晚了四十六年就是了。)

接下來阿文要介紹科學界如何從矩陣力學出發而達到量子場論的這個曲折的故事，順便再介紹另外兩本source book，還請各位看官繼續捧阿文的場看下去哪！那麼下回見囉！！