琳瑯滿目的包立授課筆記

自從兩年前阿文有機會開設"理論物理"這個有點"微妙"的課程，至今已經教了一輪了。在這個課程中，我用了著名的物理學家包立(Wolfgang Ernest Pauli)在瑞士蘇黎世聯邦理工學院(ETH)授課的上課筆記當作上課教材，得到許多寶貴的經驗，藉這個專欄與大家分享一番，希望能帶動一波重新形塑物理系課程安排的風潮。這個課程基本上是一學年的課，上學期上的是包立演講筆記的第一冊到第三冊，下學期則是從第四冊到第五冊，至於第六冊則沒有包含在內。這大約涵蓋了現今大二與大三的必修課的內容。當然，由於一周只上兩節課，所以這個課程毋寧是大學學習內容的一個濃縮版。

五冊的筆記篇幅都不長，就算是最長的第五冊:波動力學，也不到兩百頁，而且還是三十二開本，比起現在一般的教科書，絕對算得上是袖珍本。不過就像是倚天屠龍令中聖火令的武功一般，短不等於簡單，事實上，包立的這套演講筆記一點都不簡單，想當年阿文還是個天真無邪的大學生，特地用郵購買了一套，說來慚愧，直到兩年前開啟這門"包立學程"之前，阿文都只是走馬看花，真的從頭讀到尾，還是上課前備課時才做到的，但是也就是從這個難得的經驗，我才有機會體會到包立的演講集的獨到之處，上課收穫最大的往往是教授本人，就讓我來說分明，這套書好是好在哪裡。


第一冊是電動力學，書一打開來，卻是長達三頁的"電動力學的歷史發展概述以及當前的問題"。包立開宗明義地提到，電動力學奠基在兩個截然不同的觀點上，一個是"場"的概念，另一個則是"粒子"的概念。場的觀點在馬克思威爾的手中集大成，但是場到底是什麼? 在當時，電場與磁場被看做是某種介質的性質，就好像流體力學裡的"速度場"與"壓力場"一般，但是這引發了一個嚴重的問題，連續的介質是不容許有原子的結構，而另一方面，我們知道電荷是離散的，換句話說，何電和都是基本電荷的整數倍。更進一步，包立指出要測量"場"需要"試驗電荷"在場，但是試驗電荷本身不也是會產生場嗎?雖然包立就此打住，但是這段文字遺韻無窮，顯然包立想到的正是困擾物理學家接近二十年，發生在量子電動力學之中的發散的問題，因為點電荷會產生無窮大的自身能，而一個有著固定體積的電荷分布卻又與存在著基本電荷的事實相衝突！當然，這都有待授課老師的發揮了。


接下來，包立中規中矩地將靜電學交代清楚，偶而還是會露一手，像是二維靜電分布利用複變的保角變換來處理，簡單俐落，令人佩服。接下來，包立指花了四頁就把靜磁給帶過了，包立強調的是引入向量位來處理靜磁，對於物質的磁性則是一語帶過。先前花了許多工夫處理電偶極，很快地就派上用場，拿來描寫磁偶極。


到了第二章，包立開始討論穩定電流，除了寫出大家熟悉的安培定律以及畢歐沙伐定律，特別的是他在庫倫規範的條件下寫出向量位與電流的關係，而利用向量位，輕而易舉地證明一個電路迴圈與一個磁偶極發出的磁場相同。更有趣的是包立還順便證明安培的兩根電線的作用力的公式就是羅倫茲力。包立特別提到安培的公式是因為歐陸的傳統是將電磁力當作超距力來處理，順此包立還推導了馬克思威爾應力張量，而且證明了在穩定電流的情況，作用力與反作用力大小相等，方向相反還是成立的，而包立也特別提到到了"不穩定電流"的情況，安培力公式就不適用了。下一章自然就是不那麼穩定的電流囉。


第三章是法拉第的電磁感應和相關的互感以及PLC電路。意外的是包立還花了不少篇幅討論趨膚效應，但是真正有趣的是在這一章的最後包立討論如何將電磁感應運用到在運動中的線圈，這是導引到相對論的前奏。最末章討論的是"快速"變換的場。包立從馬克斯威爾方程式開始，俐落地將電磁波以及相應的能量與動量都講清楚了之後，來到整冊的重心:輻射。選擇好Lorenz 規範後，包立將馬克斯威爾方程式寫成了向量位與電位的二階微分方程式，形式上正是附有波源項的波方程。接著包立利用之前所寫下的向量位(電位)與電流(電荷)的關係式，稍加修改就得了波源運動與相應的向量位的關係，這時候讀者才赫然發現，包立埋了一個好深的梗哪。


這個關係式叫"延遲勢"，因為它顯明了電流與電荷的影響從波源到觀測點行進的速度是光速，而不是瞬間就能傳到了。特別的是，包立還特定用了兩種方式推導這個重要的結果!利用延遲勢公式 順理成章地，偶極輻射等輻射相關的問題都迎刃而解了。精彩的是包立設定波源以等速前進時，羅倫茲變換就出現了! 這是我看到最"高竿"的相對論呢。而最後，則是留給輻射作用到波源的自身力以及輻射阻滯的問題，從這裡就帶出了"電磁質量"的概念，這個概念與量子電動力學的"再重整化"有著千絲萬縷的關聯。在介紹羅倫茲的文章有提到，請有興趣的看官可以去瞧瞧。

 

圖：包立（圖片來源： https://en.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Pauli#/media/File:Pauli.jpg）
 

第二冊是"光學與電子理論"，這個有點奇怪的組合自然有其深意。照著漢密爾頓的思維，包立從幾何光學出發，卻到達了漢密爾頓-雅可比方程式，幾頁之間把整部古典力學的精華都塞進來了。接下來是討論干涉與繞射，這部分是傳統光學的骨幹，Fraunhofer 繞射和Frensnel 繞射都交代得很清楚。接著是馬克斯威爾的電磁波理論上場，折射時的穿透率，布魯斯特角和全反射這些單單用波動光學沒辦法解決的問題馬上解決掉了。在這裡，都是假設介質是均向性的。再來研究的是"晶體光學"，包立沒有多談細節，而是將介電常數寫成張量，並沒有具體從微觀的角度切入。這一章對阿文來講可就陌生了，包立厲害之處是能將很複雜的各種現象利用數學優雅地收納在一起，短短二十五頁就統攝了這個領域。最後一章談的卻是"分子光學"，這一章是整冊之中最有趣的一章。上一章沒有討論的微觀層面的討論原來都在這裡。其實這章就是羅倫茲的色散理論。這個理論非常簡單，就是將介質想像成充滿了作簡諧運動帶電的粒子，這些帶電粒子受到電磁場的影響，這個簡單的模型可以給出電偶極的極化率，由此就可以導出介電常數與折射率這些要緊的物理量。當然啦，從微觀到巨觀需要一些處理，羅倫茲假設這些微觀振子是均勻分布，很快就得到許多有趣的結果，像是能解釋天空是藍色的瑞利散射的公式等等。讓三維的均向簡諧振動推廣到非均向的情況，並且把磁場對粒子的影響也包含進來，就完結了這一冊。


第三冊是"熱力學與氣體動力論"。第一章介紹熱力學第一定律，然後是熱力學第二定律，這部分與一般教科書差別不大，比較特殊的是包立用了微分式的表達方式，這個段落是遵循著希臘數學家Constantin Carathéodory (1873 – 1950)在1909年發表的所謂公理化的熱力學。這一套表述法中熱力學中的不可逆性被表示成系統狀態的不可接近性，而溫度則是積分因子。 熱力學第二定律通過以下公理表達：“在任何初始狀態的鄰域中，存在不能通過狀態的絕熱變化任意接近的狀態。”對於不擅長抽象思考的學生，這部分會蠻吃力的。幸虧接下來引進熵的概念與赫姆霍茲自由能與吉布斯自由能的部分都相當直接了當。而且包立附上例子來說明喔，除了理想氣體之外 ，還加上焦耳 湯姆森效應，還有克勞修斯克拉佩龍公式。最特別的是包立花了相當大的篇幅討論有名的吉布斯詭論。這個詭論是兩種不同氣體混合，熵會增大，但是相同的氣體混合，熵卻是不變，但是萬一有非常類似的氣體，一開始被錯認是同種氣體，難道熵會隨著我們的認知而改變? 這個詭論在介紹吉布斯的那篇文章中提過了。


第三章篇幅很長，介紹的卻是化學反應的熱力學。除了引入化學勢之外，還介紹了吉布斯的變分法來判定平衡與否。最後則是討論了不可逆的熱電效應。相較之下，第四章只有短短四頁，講得是能斯特定理，這個與熱力學第三定律有關，也就是存在絕對零度，而且不管是什麼系統，當溫度趨於絕對零度時，熵都趨近於相同的定值。包立還指出理想氣體定律與能斯特定理衝突，但是那只不過告訴我們，理想氣體定律在低溫不成立罷了。


接下來第五章很長，幾乎可以看作是一本獨立的書了，內容是"氣體動力論"。之前的研究都只限於巨觀的現象，最重要的兩個核心觀念溫度與熵，都只有操作上的定義，只有賦予微觀的圖像後才有清晰的物理意義。而理想氣體是最容易描述的系統，這使得"氣體動力論"成為統計力學與熱力學之間的橋梁。假設氣體分子之間沒有作用力，從微觀的角度推出壓力與氣體速度的關係，再配合上理想氣體定律，就得到了氣體的溫度與氣體的動能相關的重要結果，然後包立只花了一頁就導出氣體動論中的核心:速度分布函數。包立緊接著導出氣體的平均自由徑並且以此為基礎討論了氣體的傳輸現象。最後則是引入了維里（virial, 更常譯作均位力積或簡稱位力）的概念，包力還給了好多例子來解釋維里的用途。基本上這一章是在十九世紀末克勞修斯所奠定的內容。


接下來的第四冊裡所當然是"統計力學"。意外地卻是最薄的一冊。這一冊的前半到處可以看到波茲曼的影響。第一章標題是令人不解的Stosszahlansatz，這個德文字是由Paul Ehrenfest 引入的，但是實質上這是由馬克斯威爾一個引進，非常重要的假設，就是氣體分子碰撞的機率等於是碰撞前的兩個粒子處於特定速率的機率相乘。由此波茲曼寫出了著名的波茲曼方程式，更要緊的是波茲曼的H定理，這個定理證明了H總是隨著時間遞減，進一步我們還發現H 函數與系統的熵的關聯！所以溫度與熵這兩個最重要的熱力學觀念現在都得到相應微觀圖像的支持了。緊接著又是以理想氣體為例，包立將粒子的狀態分布與熵連接起來，著名的公式S=k Log Ω 出現在最末，真是精采的一章。


接下來是將第一章的結果推廣到一般的系統。這一章與一般的教科書所差不多，微正則系綜，正則系綜，巨正則系綜依序出場，還伴有許多範例。值得一提的是包立花了不少篇幅在"遍歷性假設"上。這些內容在之前介紹波茲曼的文章中已經詳述過了，有興趣的看官們不妨參考一下。包立所舉的例子中最有趣的是關於朗之萬的順磁性理論，理論本身倒是平凡無奇，然而包立提到只有在量子理論才能真正理解物質中的固有磁偶極這段頗為特別，別的書應該找不到吧。第三章非常短，只有短短八頁，但也非常罕見，在此包立用了三種方法導出布朗運動的公式。分別是朗之萬，羅倫茲與愛因斯坦的方式。


第四冊的最後一章是量子統計力學，這一章比起一般教科書要有趣得多。一開始講黑體輻射就與眾不同。首先登場的是普朗克的方法，不過並不是普朗克原先的作法，而是簡化過的。普朗克假想在空腔中有許多虛構的"振子"與空腔腔壁發出的電磁輻射達成熱平衡，由此反推輻射強度與波長的關係。如果貿然使用統計力學中的能量值分定理馬上會遇到所謂的"紫外災難"，也就是短波長的輻射強度會一路變大，甚至發散! 所以普朗克假設振子吸收與放射的能量有一個基本單位，而這個基本單位與振子振動頻率成正比，由此反推出輻射強度的分布公式，正是赫赫有名的普朗克分布。接著包立直接將量子假設用在電磁波的正則態上，得到相同的結果。另一個重點是能量漲落平方，當年愛因斯坦就是以這個量來思考光的本性是"粒子'還是"波"，包立顯然也認為這個量非常重要。接下來將量子假設用在晶格的本徵振動上是輕而易舉之事，而更精緻的德拜模型也講了。在進入到更一般的量子統計力學之前，他介紹了舊量子論的"絕熱不變量"，量子力學前設立量子化的對象正是"絕熱不變量"，另一個主題則是愛因斯坦推導出黑體輻射的公式，這個是一般的書從來不會提到的，愛因斯坦假設系統放出、吸收光子，而光子帶著特定單位的能量與動量，並且誘發吸收 放射的機率與輻射強度成正比，再加上自發放射構成系統平衡。從能量的考慮，很快就可以得到普朗克分布公式，更有趣的是愛因斯坦還考慮了動量的漲落平方，在這裡包立用了之前布朗運動的公式，原來又是一個埋得很深的梗!最後則是一般全同粒子的統計力學，這個就是典型的材料了。

第五冊是"波動力學"，這一冊篇幅是五冊之中最厚的，但是如果與包立的名著"波動力學的一般原則"相比，可以算是非常濃縮的精華版了。第一章到第四章是典型波動力學的介紹，比較特別的是第五章介紹各種情況下薛丁格方程式的解。
包立先用矩陣的方法解出一維簡諧振子的本徵值，再用薛丁格方程式解出波函數，然後將兩個獨立的波函數相乘得到的是平面簡諧振子的波函數，接著將波方程改用極座標來寫，得到新的方程式，也得到新的波函數。在這裡包立引入了超幾何函數，最後處理庫倫力場時，運用超幾何函數一下子就得到答案了。在這一章裡，包立運用特殊函數宛如表演特技，令人目不暇給。最厲害的是當包立改用拋物線座標時，馬上從平面簡諧振子的波函數得到庫倫力場下的波函數，簡直是神乎其技了! 而第六章散射也很特別，首先包立把庫倫斥力場的解加以研究一番，設立好合適的邊界條件後馬上得到答案。然後包立將解推廣到任意的中心力場下，當然，其他散射常見的材料也一併都處理了，但是真正稀奇的還是第七章。這裡介紹了有名的半古典近似法:WKB近似。在這一章包立用了不少複變的技巧，對授課老師算是個挑戰。後續的第八章處理的量子力學的微擾問題，第九章則是有關角動量的討論，最後一章則是全同粒子。這樣的內容幾乎涵蓋了一般研究所的量子力學的範圍了。

整個看來，包立安排題材的順序可說是相當用心，雖然非常基本的地方入手，確能在很短的篇幅內，到達相對艱深的內容。而且他不時穿插後頭需要用到的數學，大有兵來將擋 水來土掩的氣勢，事實上，許多的數學的確是因為研究物理時產生出來的，而且包立在不知不覺中往往指出各個領域的發展軌跡，看得出來他對這些材料了解非常地深刻，這讓授課的我有時都不免陶醉於其中呢。

近年來已經有人對傳統物理課程的安排感到不足，特別是在大一普物與大二的電磁與力學之間教材重覆造成時間的無謂浪費，令人搖頭。也許包立的演講筆計可以提供一些靈感，用三個學期的電磁學+光學，加上三個學期的熱力學+統計力學取代現行的課程。而量子物理也可以考慮延長成為三學期，來涵蓋它的廣泛應用。當然，包立的筆記畢竟是六十年前的舊作，許多新的材料應該加進來，但是如同魏斯考夫為這套筆記寫的前言中說的:包立表達物理的方式絕不過時，當聽眾掌握住包立思緒的次序和背後的邏輯結構後，對核心物理概念會有嶄新而深刻的理解，甚至會對理論物理這個顯明人類理性精巧輝煌的堂皇殿堂產生清晰的洞見。在一片追逐時尚，標榜創新的無聊教育現場中，包立的演講筆記或許是帶來暮鼓晨鐘的一帖良藥吧。