對稱之王維格納 (下)：在普林斯頓研究原子核的火星人

上一篇介紹了將群論引入量子力學的關鍵人物之一維格納在歐洲的時期的種種事跡，接下來要介紹的是他搬到美國之後的故事，還請各位看官賞臉。

二戰之前的美國，理論物理並不是非常興盛，但是維格納卻是少數在三十年代初就跟美國搭上線的歐洲物理學家。早在1930年，普林斯頓大學就邀請維格納作一年的學術訪問，當時剛成立的普林斯頓高等研究院則是網羅了他的好朋友馮·紐曼。據說高等研究院一開始邀請的對象是Hermann Weyl而Weyl的接受條件是高等研究院也要把馮紐曼聘過來。他們倆人還分別把匈牙利式的名字改成尤金和約翰。(馮紐曼的匈牙利名字是Neumann János Lajos)。

根據維格納自己的回憶，他是某一天莫名其妙地收到一封電報，裡頭就寫著"普林斯頓大學提供您講師職位，年薪四千美元，後來他猜測，應該是當時在普林斯頓高等研究院的數學家Oswald Veblen 的推薦。Oswald Veblen 的專長是微分幾何，但對物理的了解也不差，順便一提的是他的叔父正是撰寫"有閑階級"而赫赫有名的經濟學家Thorstein Bunde Veblen。

在美國待了一年之後，普林斯頓大學提供了維格納一份為期五年的合約，一年中半年的時間在普林斯頓做學術研究。薪水則是柏林給的薪水的七倍!維格納當然接受了。而這段期間納粹黨在德國迅速崛起。1933年猶太人從公務職位上全被趕出去，維格納在柏林的位子當然也不保，所以他就留在普林斯頓。維格納回憶道:當時心中也有過掙扎，但最後他感到德國也是將他當作外人，所以決定離開德國。之後的餘生他都在美國度過。

1934年，維格納將他的妹妹曼琪（Margit，暱稱為Manci）介紹給了物理學家狄拉克。當時曼琪剛離婚，原因是前夫太花心了，四處捻花惹草。後來曼琪在1937年嫁給了狄拉克。維格納口中的"我那出名的妹夫"就是狄拉克。據說有一次有人拜訪狄拉克，夫人剛好也在，結果狄拉克向客人介紹說：這位是維格納的妹妹。狄拉克大概是太害羞了吧。兩人白頭偕老，直到狄拉克於1984年在佛羅里達過世為止。曼琪則是在2002年以九十八高齡辭世,比長壽的維格納更長壽呢!

1936合約到期後，普林斯頓並未繼續聘用維格納。他在威斯康辛大學找到新的職位，在威斯康辛的時候，維格納遇到了俄裔美國物理學家Gregory Breit，兩個人提出了描寫共振態的relativistic Breit–Wigner distribution。之前他的老朋友西拉德曾跟他提過已中子誘發連鎖反應的想法，在這段時間，他也開始構思相關的理論，他在威斯康辛一次演講中表示，五年內合能就會成真！此外他還提出了核力的SU(4)對稱性。這是假設原子核之間的核力與同位旋無關，也與自旋無關，將自旋為上下的質子與中子當作基底，自然得到SU(4)對稱。這個對稱性雖然只是近似的對稱，但是在實驗上卻是十分管用。像是貝他衰變中的Gamow-Teller 躍遷無法發生在屬於SU(4)下不同表現的狀態之間，就提供了非常實用的原則來判定貝他衰變的實驗結果。此外，原子核的束縛能可以寫成是質子數Z與中子數N的函數，這個公式是德國科學家Weizsacker 首先寫下來的，依據的是所謂的"液滴模型"，可是當質子數與中子數相等時，N=Z時，原子核會束縛得格外緊，這個現象被稱為維格納效應。相應地Weizsacker公式需要加一個只有當N=Z時不為零的項，這一項被稱為維格納能量。SU(4)群在原子核結構中扮演重要的另一個原因是SU(4)群提供了一個核殼層模型時不可或缺的計算基礎。所謂核殼層模型部分是類似於原子的電子殼層描述原子中的電子的安排，當殼層填滿時特別穩定，核殼層模型描述原子中次原子粒子的排布，當質子與中子填滿某個核殼層，該核素更穩定。當在一個穩定的原子核加入核子（質子或中子）時，也有一定的結合能，但其量值明顯小於前一個核子。質子和中子的核殼層是相互獨立的。再加上包立不相容原理之後，SU(4)的對稱性自然浮現，但是核殼層的狀態數(被稱為魔數Magic number)與電子殼層相比要複雜多了，因為電子殼層中主要的作用是原子核產生的庫倫力，但是原子核中卻大不相同，這在後頭還會提到，在此先按住不表。
 

維格納在威斯康辛認識了他的第一任妻子愛蜜莉亞·法蘭克（Amelia Frank）。愛蜜莉亞是威斯康辛大學物理系的學生，然而她卻在1937年匆匆離開人世。維格納在1938年離開了傷心地，回到普林斯頓大學。維格納在這一年歸化美國籍，後來將雙親都帶到美國定居。當時歐洲的局勢已經是山雨欲來風滿樓了，而維格納在知道了Otto Hahn 和 Fritz Strassman 在1938年發現了核分裂後，他和西拉德，馮紐曼，泰勒 這些"火星人"都隱約感受到威脅，因為戰爭腳步已經非常接近，而德國極有可能造出利用核能的新型武器，他們在歐洲的經驗告訴他們，萬一納粹真的造出原子彈，他們所珍愛的一切都將煙飛灰滅，西拉德與維格納尤其擔心。最後維格納建議西拉德去說服愛因斯坦寫下那封著名的信給美國總統羅斯福。這一段經過在"諤諤雙士:原子彈的故事中曾經詳述，就不在這裡重複了。

 

圖片來源：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%A ... neWignerAlvinWeinberg.jpg

 

有趣的是，同樣是在1939年他發表了一篇文章: On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group" 這篇文章算得上是他一生成就的顛峰，卻是跟現實的處境完全無關。這一篇文章的內容是講什麼呢? 這一篇是針對彭加略群Poincaré group的不可化約的么正表現作完整的分類。所謂彭加略群是指特殊相對論中的羅倫茲變換與一般三維的轉動，再加上平移，有時也稱為非均勻羅倫茲群inhomogeneous Lorentz group，因為它可以看作是羅倫茲群的群擴張。這個問題之所以重要是因為它窮盡了所有基本粒子的可能型態，因為任何基本粒子都應該擁有彭加略不變性。在量子力學中，我們允許在量子態對應的向量前加上一個任意相位。所以嚴格講起來，我們應該討論的不只是一般的么正表現，而是所謂的射線么正表現(Ray Unitary representation)。維格納在這裡證明了能量為正，質量不為零的條件下，基本粒子對應的數學對象擁有旋轉群SO(3)的表現，我們之前提過了，旋轉群SO(3)的表現是(2L+1)x(2L+1)的矩陣。L可以是整數或半整數。整數的話是對應的是波色子，而半整數的話則是費米子。更有趣的是當質量為零的時候，它的群表現，除了常見的所謂螺旋性(helicity)的表現之外，(光子自旋為一，螺旋性可為一可為負一，量子色動力學的膠子也是一樣)還有一個維格納稱之為"連續自旋"的表現，神奇的是，至今還沒有發現任何物理對象可以對應到這個古怪的"連續自旋"。維格納在這裡還考慮了質量平方為負和四動量始終為零的情況，這些與實際物理無關，阿文在此就省去了。
 

雖然戰爭在1939年在歐洲爆發，但是美國當時依然置身事外，一般人也沒甚麼感受，但是維格納已經開始積極地研究連鎖反應與核分裂相關的理論了。另一方面他在1941年7月4日與他的第二任妻子瑪麗·安妮特·惠勒（Mary Annette Wheeler）結婚。瑪麗是瓦薩學院的物理學教授，1932年畢業於耶魯大學。他們的婚姻一直到瑪麗於1977年過世。兩人後來育有一男一女。但是安穩的日子不長，這一年的十二月，珍珠港事件爆發了，美國開始了史上有名的曼哈頓計畫，維格納，不意外地，在其中扮演著一個相當重要的角色。。不要忘了維格納拿的是化工的博士，而且曾經在布達佩斯幹過兩年的工程師，再加上他對核子物理非常的熟悉，所以他在許多關鍵上都發揮重要的影響力。
 

曼哈頓計劃期間維格納領導了一個團隊，成員包括阿爾文·溫伯格、凱瑟琳·威、蓋爾·楊、和愛德華·庫洛伊茲。他們的任務是設計讓鈾產生衰變的核子反應爐。在當時，反應爐設計還只停留於於紙上作業，還未真正被建造出來。當時有人建議使用氦來冷卻，因為氦不會吸收中子而水會，吸收中子會讓連鎖反應變慢，但是維格納正確地指出使用氦會造成反應爐過熱，而使用水只會讓連鎖反應減緩3%。所以在1942年7月，維格納選擇了具有石墨中子減速劑和水冷系統的設計
 

1942年12月2日，位於芝加哥大學原子反應爐芝加哥1號堆成功進行了歷史上第一次人為的核連鎖反應，維格納也參與了這次的實驗。但是當軍方決定將蓋在Hanford Site 第一個大規模反應爐交給杜邦公司去蓋的時候，他覺得自己受到忽視，威脅著要辭職，被康卜頓安撫之後去渡假。但是這個被稱為B反應爐完成時卻出了問題，運轉到特定程度時連鎖反應卻逐漸減緩，值到停止。這是肇因於在反應爐運作過程中，產生了許多氙135，而氙135的中子吸收截面很大，這表示它會吸收許多中子，造成連鎖反應變慢，甚至停止。杜邦的工程師後來找到方法處理這個問題，但是這已經造成了計劃的延宕了。如果依照維格納原始的設計，這個問題不會如此嚴重。與西拉德不同的是，維格納未曾後悔投入曼哈頓計劃，有時甚至希望原子彈能早一年被創造出來。也許他預看到了戰後東歐落入蘇聯之手的關係吧。
 

維格納在戰後持續研究核能。杜邦在戰後於Savannah River Site 蓋了一座更大的反應爐，新的反應爐又遇到新的問題，這個問題被稱為"Wigner disease"，它會造成反應爐運作的問題，甚至必須將整座反應爐關閉。這個問題是由於連鎖反應時產生的高能量中子撞擊反應爐中的石墨，造成石墨產生間隙，這些間隙很危險，因為它會儲存能量，一但能量突然釋放會產生高溫，損害反應爐。這個問題可以利用所謂"退火"的程序來處理。維格納有反應爐相關的三十七項專利，說是行家絕不為過。
 

1945年維格納接受了柯林頓實驗室（現在的橡樹嶺國家實驗室）的研究指導一職。當1947年新成立的美國原子能委員會接掌實驗室的營運後，維格納憂心許多技術決定都將取決於華府。他也看見戰爭時期作為警衛的軍隊仍持續著駐守，作為「愛管閒事的監督」干擾著研究。有感於被邊緣化的角色，維格納在1947年離開橡樹嶺回到普林斯頓大學。在這之後的許多年裡他仍擔任實驗室的顧問。  在戰後維格納服務於許多政府機構，包括1947到1951年於國家標準技術研究所、1951到1954年於美國國家科學研究委員會數學部門、國家科學基金會物理部門、以及1952到1957年和1959到1964年於美國原子能委員會中的顧問委員會。但是他不像另一位"火星人"泰勒那樣熱衷於軍方打交道。原因之一是軍方在Louis Alexander Slotin意外事件後禁止維格納從事關於放射性物質的臨界質量的實驗，這讓維格納頗有微詞。(Slotin事件是發生在1946年5月21日，斯洛廷與七名同事對一場實驗進行操作，當中要把兩塊鈹（一種中子反射物料）製半球置於一鈽製核心的周圍，作為製造裂變反應的起始步驟。但Slotin沒有遵守標準規定不慎造成了鈹製上半球落下，引起瞬發臨界反應並釋放出一股硬性輻射，Slotin幾天後身亡，在場七個人中有三個人在數年內因放射性傷害病逝。)
 

戰後維格納也同時投入核子反應相關的理論工作。他與Leonard Eisenbud 一起研究核反應的理論，Wigner–Eisenbud R-matrix 理論是在1947年發表，後來他與Alvin Martin Weinberg還一起寫了一本Physical Theory of Neutron Chain Reactors。妙的是約略與發表核反應的理論同時，維格納與普林斯頓的Valentine  Bargmann 發表了Bargmann–Wigner 方程式，這個方程式描述的是所有整數與半整數的自由粒子的運動方程式。維格納似乎能同時從事非常抽象與非常實際的研究，難道這個是"火星人"的特長? 話說Valentine Bargmann在1954年提出了Bargmann's theorem，他證明了一個群的射線么正表現可以對應到這個群的萬有覆蓋的一般么正表現，舉例來講旋轉群SO(3)的萬有覆蓋空間是SU(2)，SO(3)的任何一個元素都可以找到對應的兩個不同SU(2)的元素。這當然是延續維格納先前的研究。維格納在1959年將他的Group Theory and its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra 從德文翻譯成英文出版。成了後來世代學習對稱的經典。
 

維格納的眾多成就可以從許多以他命名的術語可以看得出來，除了之前提到的Wigner theorem, Jordan-Wigner transformation, Wigner classification，Btrit-Wigner form，Wigner diease之外，像是1949年他與Theodore Duddell Newton 提出的Newton–Wigner localization是嘗試在相論性量子力學中建構相當於位置的算子。Wigner–Eckart theorem 則是說明，在角動量本徵態的基底下， 球張量（spherical tensor）算符的矩陣元素可以寫作兩個部分的乘積。 一部分與角動量無關，而另一部分為Clebsch-Gordan係數。Wigner crystal 是維格納在1934年提出當電子密度低於某個臨界值時，電子可以形成的特殊晶格結構。而Wigner-Seitz radius 則是刻畫溫度為零時的電子氣體惟一的參數。光是從這些五花八門的術語不難看出維格納研究的廣度與深度，雖然他早就有資格問鼎諾貝爾獎，卻要一直等到1963年，由於「在原子核和基本粒子物理理論上的貢獻，尤其是基本對稱原理的發現與應用」，他才和瑪麗亞·格佩特-梅耶(Maria Goeppert Mayer)、約翰內斯·延森(Johannes Hans Daniel Jensen)一同獲得諾貝爾物理學獎。他個人聲稱從未預料到會獲獎：「我從沒料想到我會在沒做壞事的情況下登上報紙。」
 

瑪麗亞·格佩特-梅耶是第二位拿到諾貝爾物理獎的女性科學家，她假設原子核中的核子有強大的自旋 –軌道角動量耦合而成功地解釋實驗上觀察到特別穩定的原子核，也就是所謂"魔數"。因為強大的自旋 –軌道角動量耦合決定了殼層中質子與中子的數目。德國的延森也約在同時提出類似的想法，1955年他與瑪麗亞·格佩特-梅耶在合著的《Elementary Theory of Nuclear Shell Structure》（原子核殼層結構的基礎理論）一書中詳細解釋了原子核的殼層結構模型，藉此成就，他們一同被授予1963年的諾貝爾物理學獎，雖說是三人得獎，但是維格納拿了一半獎金，而格佩特-梅耶與延森各的四分之一。
 

當維格納年邁時，他開始對哲學產生興趣，思想也變得更加富有哲理。 1960年，他發表了一篇關於數學和物理哲學的經典文章，這篇文章已經成為他在數學和物理專業之外最著名的文章了，他的這篇“自然科學中數學的不合理的有效性”中主張，生物學和認知可能是物理概念的起源，正如我們人類認為的那樣，數學和物理學如此匹配的快樂巧合似乎是“不合理的”，難以解釋。他尤其傾心於古印度哲學，對於量子力學的銓釋也有自己獨特的見解。維格納認為哥本哈根銓釋中原本線性疊合的量子態會在測量時產生"波包崩潰"，使得測量時量子態一定是特定的本徵態是由於測量者"神識"的作用，這個見解也只有"火星人"才能了解吧。
 

1992年，以九十歲的高齡，與傳記作家安德魯·史詹頓合作出版了維格納的傳記（The Recollections of Eugene P. Wigner）。三年後維格納在新澤西州普林斯頓過世。

參考資料

(一) 中文 英文 德文 匈牙利文 維基相關條目

(二) MacTutor History of Mathematics archive

(三) Eugene Wigner, Nuclear Engineer by Alvin M. Weinberg

Physics Today 55, 10, 42 (2002); doi: 10.1063/1.1522166

(四) Wigner and the groups in classifying elementary particles and

nuclear states by J. Cseh EPJ Web of Conferences78 03002 (2014)

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延伸閱讀：
對稱之王：維格納 (上) 從布達佩斯來的化學工程師