對稱之王：維格納 (上) 從布達佩斯來的化學工程師

據說有一次有人問出身於匈牙利的物理學家西拉德:為什麼一直找不到外星人存在的證據時，他順口回答說：怎麼會沒有呢? 只不過他們都自稱是匈牙利人罷了。於是乎一群移民到美國，原籍是匈牙利的猶太科學家們被戲稱是"火星人"。這個玩笑一來是因為是匈牙利口音十分奇特，再者這群科學家神威赫赫，想法新穎，的確不像是一般的地球人，這群"火星人"中最出名的，除了西拉德與發明電腦的馮 紐曼之外，還有被稱為"氫彈之父"的泰勒。但是論到在物理史的地位，恐怕還是要首推將群論帶進現代物理的尤金·保羅·維格納（英語：Eugene Paul Wigner)。維格納為人低調，在科學界之外鮮有人知，但是他對近代物理發展的影響力非同小可，所以阿文這次要好地介紹這位非常長壽的"火星人"給各位看官認識認識。還請各位看官賞臉。

 

維格納1902年11月17日出生於奧匈帝國的佩斯城。他的名字的匈牙利文是Jenó Pál Wigner。他的父親Antal Wigner在一家皮革染色工廠擔任廠長，而母親Erzsébet 則是家庭主婦。維格納有一個姐姐，一個妹妹。雖然維格納的雙親都是猶太人，但己經不信奉猶太教了。維格納五歲開始在家裡由家庭教師來教導，十歲時才正式上學。但是上了一年學校之後，他被診斷出有肺結核，當時這是無藥可醫的絕症，所以他被送去奧地利的Breitenstein一家療養院去，結果六周之後才發現是誤診，他根本沒有肺結核!所以他又被送回家，但是這六個星期他無所事事，在病床上思考如何在給定三角形的三邊長後決定三角形的形狀，這開啟了他的思考人生！

 

1915年維格納進入布達佩斯的Fasori Gimnázium 就讀，這是一所由路德派教會開設的學校，但是開放給所有宗教族群的學生就讀。有趣的是宗教課程還是必修的呢。維格納上的是猶太教拉比開的課。另一個有名的"火星人"馮紐曼小他一級。他回憶道:我從來不覺得在中學時跟馮紐曼很熟，也許沒有人能跟他熟，因為他總是獨來獨往。順便一提的是這所學校在1952年不堪當政共產黨的壓力關門了，但是1989年共產黨下台後又開張了。維格納在這裡遇到László Rátz 開啟了他對數學的熱情，László Rátz也是馮紐曼數學的老師，他一下子就發現馮紐曼是不世出的數學天才的人。維格納直到晚年還常提到László Rátz，可見好的老師有多重要!

圖片來源：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%A4%E9%87%91%C2%B7%E7%BB%B4%E6%A0%BC%E7%BA%B3#/media/File:Wigner.jpg

 

不過平穩的日子並不長久，第一次世界大戰結束後，奧匈帝國瓦解，匈牙利情勢大亂，匈牙利共產黨一開始取代了新成立不久就垮台的匈牙利民主共和國(Magyar Népköztársaság) 成立了匈牙利蘇維埃共和國(Magyarországi Tanácsköztársaság），展開了激進的紅色恐怖，中產階級的維格納全家只好逃到奧地利去，直到十一月匈牙利共產黨被推翻，羅馬尼亞的軍隊與敵對的派系成立了沒有國王，只有攝政的匈牙利王國(Magyar Királyság）並展開白色恐怖時，維格納才回到布達佩斯。在兵荒馬亂中維格納從中學畢業，雖然他想念物理，但是父命難違，於是乎他進了布達佩斯科技經濟大學(Technical Institute in Budapest ,Műegyetem) 就讀化工系，好接續家族的事業，但是隨著匈牙利日益高漲的反猶情緒，維格內一家改信了路德宗，而一年後他就轉去柏林的一間工程學院（Technische Hochschule Charlottenburg現在的柏林工業大學）就讀，依然主修化工。(這所工程學院是在1979年由三所學院合併成立的，這三所是柏林採礦學院，柏林建築學院和皇家職業學院」。1899年開始獲得頒發博士文憑的權利。除了維格納之外，著名的校友還有發明全像攝影的物理學家Dennis Gabor, 有趣的是這兩人都是來自布達佩斯的猶太裔科學家，而且都得過諾貝爾獎喔。) 但是他沒怎麼上課，倒是常跑實驗室，他回憶道自己當時還蠻喜歡無機化學的，此外他自己讀了不少數學與物理。最刺激的是他還常跑去旁聽德國物理學會在星期三下午的學術討論會。這個聚會聚集了如普朗克、馮·勞厄、魯道夫·拉登堡、海森堡、能斯特、包立、和阿爾伯特·愛因斯坦等許多知名學者。這種豪華陣容真是太令人羨慕了。維格納在三十多年後還能如數家珍地把參加愛因斯坦演講的五個匈牙利老鄉的名字給背出來呢。不過他倒是很謙虛地說，比起馮紐曼，他的記性不算什麼。

約在此時他還結交了終身的好友，西拉德，西拉德原本也是在Technische Hochschule Charlottenburg 念書，後來他厭倦了工程，想念物理，就轉學到Friedrich Wilhelm University, 畢業後到威廉皇帝研究所當馮勞厄的助理。隨後維格納進入威廉皇帝物理化學和電化學研究所（現在的弗里茨·哈伯研究所），並在那遇上了他的指導教授麥可·波拉尼(Michael Polanyi) 。波拉尼也是來自布達佩斯，他也是一個不可思議的通才，1933年他到了英國在曼徹斯特大學當化學教授，後來卻成了社會科學教授。他的兒子約翰·查爾斯·波拉尼John Charles Polanyi則是與李遠哲同一年獲得了諾貝爾化學獎。維格納在波拉尼的指導下完成了學位論文「分子的形成與分解」（Bildung und Zerfall von Molekülen）。他們提出了計算分子解離與生成速率的理論，1925年共同發表了論文。發表在著名的德國期刊Zeitschrift Fuer Physik上。

拿到化工博士學位之後，維格納照著父親的安排回去布達佩斯接管皮革染廠的工作，但是作得不怎麼起勁。他曾回憶道有一回他被客戶大小聲，原因是他不小心指出對方提供的資料是錯的，這讓他很不痛快，更糟糕的是他在布達佩斯的時候還訂了Zeitschrift Fuer Physik，當他看到當時矩陣力學的文章接二連三地出現，想必心癢難耐吧。所以隔年，在波拉尼的推薦下，取得他父親的同意後他前去柏林，擔任威廉皇帝研究所（今天的馬克斯·普朗克物理學研究所）物理學家卡爾·魏森伯格Karl Weissenberg的助手，協助他在X射線晶體學的研究。

魏森伯格年輕時學的是數學，所以他將矩陣等工具引入來研究晶體是頗為自然的事。六個月後他改去索末非與波恩的學生Richard Becker 底下做事。也就是在這段期間，維格納也開始接觸到薛丁格的波動力學論文，並深入研究群論。他剛回到柏林時跟波拉尼聊天，他提到海森堡等人的論文，波拉尼告訴他薛丁格的波動力學更受歡迎，維格納非常吃驚，因為他在布達佩斯時根本沒聽說過波動力學，原來薛丁格的論文都登在Annalen der Physik，維格納在匈牙利根本沒機會看到這本期刊。但是維格納回憶說，相較於矩陣力學，薛丁格的論文簡直輕而易舉，馬上就看懂了。

他在漢堡參加Physikalische Gesellschaft meeting 時聽到海森堡提到反對稱的多粒子波函數的系統滿足費米統計而對稱的多波函數滿足波色 愛因斯坦統計，從漢堡回來後他開始寫論文，他在1926年十一月十二日送出一篇文章到Zeitschrift für Physik，內容是他將海森堡氦原子中電子能階的結果推廣到擁有三個電子的鋰原子的電子能階。維格納發現這篇文章的方法沒辦法推廣到擁有更多電子的原子，所以他去問了馮紐曼，馮紐曼建議他去讀數學家Issai Schur 的文章，由於維格納在之前研究晶體結構時讀過Heinrich Weber 的線性代數，熟悉矩陣的計算，所以Schur 的文章難不倒他。更要緊的是他還學會了數學家Ferdinand Frobenius 和 William Burnside 發展出來對稱群的表現理論，這正是他需要的工具，所以在十一月二十六日就送出第二篇文章，這一次是N個電子的情況!一共只花了他十四天!在馮紐曼的建議下，維格納在研究了Schur以及Weyl的文章，發現三維空間的旋轉群可以用(2L+1)x(2L+1)的矩陣來表現，這裡L代表的是角動量，自然地矩陣元素的指標-L≦m≦L代表的是磁量子數，很快地，維格納就從薛丁格方程式得到索末非模型的能階的結果，連Zeeman 效應都迎刃而解!

在這裡要稍微解釋一下什麼是群的表現。群(group)是由一個集合以及一個二元運算所組成的，符合下述四個性質的代數結構。這四個性質是封閉性、結合律、單位元素和對於集合中所有元素都存在反元素。聽起來好抽象，但其實用具體的例子講就很簡單。像是二維空間的轉動，所謂封閉性就等於說，兩個轉動組合起來還是轉動，結合律則是轉動A與轉動B組合以後再跟轉動C結合的結果與轉動A與轉動B與轉動C結合的結果相結合是相同的，單位元素表示有一個轉動E與任何一個轉動D結合都還是轉動D，(其實E就是轉動零度啦)，而反元素是只轉動D與轉動F結合變成單位元素，F就是D的反元素，就二維空間轉動來講，就是反向轉動相同角度罷了。所以二維空間的轉動是群，而且轉動依賴著一個連續的參數(就是轉動的角度) 所以是個連續群。三維空間的轉動也是群，但是與二維空間的轉動有一個重要的不同：二維轉動A 與B 結合跟B與A結合是相同的，但是對三維轉動就未必成立，所以前者稱為阿貝爾群(Abelian group)，而後者稱為非阿貝爾群(non-Ablien group)。

那麼群的表現是什麼呢? 只要方型矩陣的集合的乘法關係和給定群的乘法關係相同，則這個矩陣集合形成群的一個表示(representtaion)，群聽起來很抽象，群的表現是矩陣，可加可乘，感覺就親切多了。如果兩個同維表示的矩陣以同一相似變換相關聯，則稱這兩個表示是等價的。相似變換指的是這樣的變換:

A'=T ^-1AT，T ^-1 是 T的反矩陣。所有矩陣都可以用相同的相似變換轉換為相同的塊對角矩陣結構，則稱此表示為可約表示，反之稱為不可約表示。這些術語後面還會提到，所以先簡單介紹一下。

1927年春天維格納在收到了索末菲的邀請後，前往哥廷根擔任數學家大衛·希爾伯特的助手。然而當時希爾伯特已將研究的重心轉移到數理邏輯，對物理已經不感興趣了，更糟的是當時希爾伯特為惡性貧血所苦，只跟維格納見了五次面，失望的維格納只能獨立研究。但是塞翁失馬，焉知非福，在這裡他遇到了許多年輕的物理學家，特別是在柏林大學擔任講師的馮‧紐曼三不五時就會來哥廷根訪問，他們兩人合作，將電子的自旋也包含在之前旋轉群的表現之中，連所謂"異常"的Zeeman 效應也順理成章地呈現出來。他們一共合寫了三篇文章。之前提到三維空間的旋轉群可以用(2L+1)x(2L+1)的矩陣來表現，L是角動量，在索末非模型中L必須是整數，但是L其實也可以是半整數，但是會發生一件非常奇怪的事，那就是轉了三百六十度以後，會產生一個負號。在古典物理這當然萬萬不可，但是在量子力學中，物理是透過向量內積的平方來表達，所以產生負號是可以接受的，就這樣，半整數的角動量自然地整合在一起了。

此外維格納還與波恩的助手Pascual Jordan 一起提出Jordan–Wigner 變換，這個變換將自旋算符映射到費米子的產生和湮滅算符。約略同時，維格納也努力尋找自旋二分之一粒子的波方程，利用群論他已經得到不少結果，不料有一天Pascual Jordan 帶著狄拉克的一篇論文給他看: 說道 Well, somebody else solved it. It’s too bad. 維格納頓時成了洩了氣的氣球。不過狄拉克的論文寫得太優美，維格納後來也就釋懷了，只是他絕沒料到，這篇論文的作者有朝一日，會成為他的妹夫吧。

離開了哥廷根以後，維格納回到柏林，一邊在柏林工業大學當講師，講授量子力學，一邊繼續他的研究，並且撰寫他的書: Group theory and its application to the quantum mechanics of atomic spectra ，約莫同時在蘇黎世任教的德國數學家Hermann Weyl 也在研究量子力學中群論的應用，他的書: 《群論與量子力學》（Group Theory and Quantum Mechanics，1928年）比維格納的書還要早出版，但是數學家的書對物理學者還是太高深了一點，阿文年輕時從圖書館借回來看過，比較起來，維格納的書要親切多了，阿文的書架上就擺著一本維格納的大作！這本書是1931年出版的，這一年他還證明了維格納定理，這個算得上是量子力學的數學表述的奠基石。重要性不可言喻，簡單地講，量子力學的基本是量子態，數學上量子態所組成的空間叫希爾伯特空間，這是一個向量空間，這表示量子態是可以加減的對象。物理上的躍遷機率等於躍遷前後兩個量子態的內積的平方。原則上指定哪個量子態到哪一個向量是相當任意的，只要給出相同的躍遷機率就可以了。要特別注意的是給向量一個任意的共同相位不會改變物理，因為物理的內容都表示成量子態的內積。如何表達量子系統的對稱性正是由維格納定理的內容。怎麼說呢，讓阿文來解說一下:

物理系統通常擁有許多對稱性，而這些對稱性通常是透過物理量如漢米爾頓函數，對特定變換不產生變化來呈現。舉例來講，三維均向系統的漢米爾頓函數在任意的三維轉動下都不會改變。古典物理中，我們可以檢查轉動過的新的漢密爾頓導出來的運動方程式是否與原來的運動方程式來理解，因為我們會得到相同的運動軌跡。但是量子力學的測不準原則告訴我們，運動軌跡是無法精確測量的東西，那量子力學系統的對稱性要如何呈現呢?

 

圖片來源：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%A4%E9%87%91%C2%B7%E7%BB%B4%E6%A0%BC%E7%BA%B3#/media/File:Heisenberg,W._Wigner,E._1928.jpg

想當然耳就是從量子態與向量的對應上著手，如果像轉動這些與對稱性有關的變換可以找到相應的希爾伯特空間之間向量的變換的話，那麼量子系統的對稱性應該藉著這些希爾伯特空間之間向量的變換來呈現。的確，維格納證明了，任何對稱性操作都是希爾伯特空間上的一個么正變換或者反么正變換。所謂的么正unitary變換是指任意兩個向量的內積在變換前後是相同的，反么正的則是內積變成原先的值的複數共軛。所以要研究量子系統的對稱性就等於研究對稱群在希爾伯特空間的(反)么正表現，這闡明了研究量子系統對稱性的方法，維格納的功勞不小呀!

過了兩年，維格納又提出了維格納函數，維格納函數算得上是量子力學在相空間的基石。一個古典的粒子具有確定的位置和動量，因此它是由相空間(phase space)中的點表示。在劉維爾密度中，發現粒子在相空間中特定位置的機率是由一個機率分布f(x,p)決定。然而由於不確定性原理，一個粒子的動量與位置無法同時精確地決定，所以維格納嘗試研究如何將古典統計力學延伸到量子系統。說穿了維格納函數就是把定義在兩個點的波函數φ(x)和φ*(y)相乘, 然後對兩點差x-y做傅立葉變換。這樣的話，維格納就成了兩點中央q=x+y/2 與兩點間相對動量的函數了。類似的變換也被應用到訊號分析上。最近在研究質子的結構上，維格納函數成為一個熱門的話題，不過這太專業了，阿文就此打住，免得看官們哈欠連連了。

維格納三十出頭就將群論引入了量子力學，可以說是青史留名了，但是他還有許多的貢獻，他的人生也還有許多的轉折，這些就留到下回分解了。

參考資料

(一) 中文 英文 德文 匈牙利文 維基相關條目

(二) MacTutor History of Mathematics archive

(三) The Wigner Distribution by R. F. O’Connell in

"Compendium of Quantum Physics", edited by D.Greenberger, K. Hentschel and F.Weinert (Springer 2009)

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