如何看懂物理公式 ( 一 ):定義篇

印象中，剛上國中的同學， 遇到的第一個物理公式應該是「密度」:

對一位剛上國二的同學來說，這個公式其實蠻複雜的。首先，他可能不知道密度(Density)、質量 (Mass) 與體積 (Volume) 這三個字的英文，所以，以這三個字母為「符號」來表示這三個物理量，是很多人的第一個難題。我記得有過一個幫助記憶的方法，是把 M 除以V 想像成「把愛心橫切一刀」，以此來幫助學生跨越記憶公式的鴻溝 ( 如圖一 )。

圖一、密度的「愛心形」公式。這類幫助記憶的方式，雖沒有物理意義，卻饒富趣味，同學可以盡情發揮想像力、聯想力、創造力。

第二個難題可能是物理量本身的意義。「體積」的觀念，直覺上應該不難理解，課本的文句也說得很清楚：體積是物體所佔的空間大小。「質量」的觀念可能有些抽象：物體內所含物質的多寡。短短的一句話，同學需要能區別「物質」與「物體」的不同，之後，還要再區別「質量」與「重量」的差異。待這兩個觀念搞清楚之後，我不知道還有多人會有疑問：為什麼質量除以體積會等於密度？我相信很多同學都能「把公式背起來」，但能「把意思說清楚」的人應該不多。

本篇專欄將從「學習定義」的方法出發，詳細說明除法與乘法的意義，以及單位的相關細節，希望能為大家展現「物理公式」的另一種面貌，特別是那些覺得物理公式「很難看、很抽象」的同學，希望在閱讀本文之後，能多看到一些物理公式的美！

 

雖然學習或研究科學，「為什麼」是一個很重要的問題，但是一遇到問題，或是有「感覺不懂」的時候，腦海裡立刻就出現「為什麼」這三個字，並不是一個正確的作法。因為，問錯問題的時候，往往得不出正確的答案。

所以，在這裏，我希望強調 ：「定義」這兩個字是一個關鍵詞，看到這兩個字時，先不要先問為什麼，而要改問「這是什麼意思」，因為定義的目的，在於要把一個觀念或物理量的意義說清楚。此外，我們都知道，對於自然現象，我們有「定性」與「定量」這兩個層次的理解：前者是性質上、觀念上的理解；後者則有數量上的要求，需要運用到測量 ( 實驗 ) 與數學等方法。所以，自然科學裡的定義，特別是物理學上的定義，絕大多數會使用到數學，因此,要了解物理的觀念，一定要先了解「數學的語言」。


除法的含義是「分配」

在中學階段，物理公式不外乎四則運算，簡單的「加減乘除」而已，可是為什麼會困擾這麼多同學呢？因為，大多數的同學都忽略了，在數學問題有「計算題」與「應用題」之分，計算題通常較簡單，會計算就好了，但應用題就比較複雜了，如果不懂「題目的意思」，即使會計算，也不知到該從何處開始著手。然而，物理課裡的題目，幾乎都是數學課裡的應用問題，都需要先了解「物理意義」，才能列出算式或公式，之後才能做計算，求得解答。

舉一道簡單的數學應用題：

假設我們有十個蘋果，共五個人要吃，請問平均每人可以分得幾個蘋果？

答案很簡單：蘋果數 (10) 除以人數 (5) 等於每人可得的蘋果數 (2)。這個除法運算的背後思維，就是「分配」，不是嗎？

以密度為例，課本大多會這麼寫：「物體每單位體積內所含有的質量大小，稱為密度」。物理量的定義 (在此是密度)，通常以類似的語句來表示 。

這句話是什麼意思？密度就是「把質量平均分佈到空間」之後的結果。進一步說，質量所表示的是「物質的量」( 物體內所含有的物質總量 )，所以，密度就是「把所有物質平均分佈到物體所佔空間」的結果。如果這個說法感覺有點抽象的話，可以用「人口密度」來理解，人口密度的意思是「把人口數平均分配到土地面積上」，寫成數學公式就是：

 

不僅「數字」要運算，「單位」也要運算我們都知道「一萬美元」與「一萬元台幣」是不同的金額，雖然在數字上它們都是一萬，但是由於單位不同，所以這是兩個不同的金額。

再以密度為例，看到定義中的「每單位體積」這幾個字，要知道它們的微言大義。首先是「每」這個字，它有平均的意思，意味著數學上的「除法」。而在「每」字後有「體積」，因此若要寫成公式，就是「除以體積」。

其次是「單位體積」，其實就是「體積的單位」，這個沒有硬性規定，端看題目的要求或已知條件，可以是立方公分、立方公尺、立方公里、立方英吋等等，只要是體積的單位都可以。

最後，我們要知道，由於這是密度的定義，因此，質量除以體積之後的結果是密度。在寫下結果的時候，不要忘記要附上單位。而單位的選擇，因題目而異，以方便與常用為原則。譬如說：我們拿三根常見的小鋼釘，放進裝有水的量筒裡，發現水位上升 3.0 cm³，再拿到電子天秤上測得質量為 23.55 g。請問這種鋼材的密度為何?


對於初學物理的同學而言，我建議在看完題目之後，先要把注意力放在「未知數」上，以這個題目為例是密度，接著再看有哪些「已知數」，在此有體積與質量，若能看到這些物理量，腦袋裡自然能聯想起「密度的定義」。

至於動筆寫下解答的步驟，我強烈建議不要直接從數字開始，而是要從列出公式或定義開始。

依照步驟，養成答題的好習慣：

附帶一提：對國中同學來說，因為不需考慮「有效數字」的問題，因此，上述的解答應已足夠，但對於高中程度以上的同學，若遇到需要考慮有效數字的問題時，在驗算的過程，還要考慮到由於體積只有兩位有效數字，所以答案最多也只能有兩位數字，因此需要對計算所得的結果，四捨五入，只留下兩位有效數字，因此最終的答案是 7.9 g/cm³。
 

底下是中學課本裡，常見的一些定義，大家可以試著寫下它們的數學公式：

• 壓力：物體單位面積所受的垂直力（正向力）稱為壓力。（P=F/A）
• 速率：物體在單位時間內所行經的路徑長。（v=d/t）
• （平均）速度：物體在單位時間內所經過的位置變化量。（v=Δx/Δt）
• （平均）加速度：物體在單位時間內的速度變化量。（a=Δv/Δt）
• 功率：單位時間內，外力對物體作功的大小。（P=W/Δt）
• 電流（強度）：以單位時間流過導線某截面的電量多寡。（I=Q/Δt）

以上定義的這些物理量，都是需要利用「除法」的例子。若要完全學會與理解這些物理量，當然還需要很多的篇幅，讀者同學也需要做很多的練習、思考以及記憶等等，其中最基本的第一個步驟就是這些物理量的符號 ( 英文 ) 與單位，符號的選取，雖有「習慣」，但卻沒有統一的硬性規定，譬如：壓力 (pressure，符號 P )、正向力 (normal force，符號可以是 N 也可以是 F )，面積 (area，符號 A )：

同學或許會誤以為，若是不會英文，是不是有點吃虧？我們來看看電流（current，符號 I ) 的定義與符號，時間 (time，符號 t )，電量 (charge，符號 Q )：

若你問我，為何電流或電量的符號不用 c ?其實我也不清楚，這就是「習慣」，因為我的老師這麼用、課本這麼寫，代代相傳，約定成俗，所以每位科學家、工程師就都這麼寫了。若你想做「符號改革」，想想這會是一個多大的工程！


單位之間的換算：把握「乘以一」的原則

常見的公制單位是所謂的 MKS 制，質量的單位是公斤 (kilogram，符號 kg)，長度的單位是公尺 (meter，符號 m)，時間的單位是秒 (second，符號 s)。在公制單位之外，還有日常生活的常用單位，例如公里、公分、公克、秒、分鐘、小時等，或是英制單位裡的磅、盎司、英吋、英尺等等。

先前有提到單位的計算。以密度的公制單位為例，質量除以體積之後的單位就是「公斤除以立方公尺」,但正確的中文說法應是「每立方公尺若干公斤」，以符號表示為 kg/m³單位之間是可以換算的，最基本的 1 kg = 1000 g，1 m = 100 cm，相信大家都不會有問題。但是，若以剛剛計算出來的鐵的密度 7.85 g/cm³，換算為 MKS 制的 kg/m³，該怎麼辦呢？是該乘以 1000 還是除以 1000 呢？

大體上，我們知道，對同一個物理量而言，大的單位會配上小的數字，反之亦然，例如公斤比公克大，所以公斤前的數字 (1) 就會比公克前的數字 (1000) 小。但是密度的單位還多了立方公分與立方公尺在分母，所以 kg/m³ 或 g/cm³ 究竟何者是較大的單位呢？有一個很簡單的數學計算技巧，我們都知道，但卻忘記可以應用到物理課裡，就是所謂的「乘法單位元素」：任何數，在乘上 1 之後，仍然等於它自己。此外，我們也知道，任何數，自己除以自己之後，答案等於 1。從分數的觀點， 就是分子與分母相等的情形。把握這兩個原則，再加上在計算時，物理量的數字與單位需要同時考慮進來，我們便可以試著換算鐵的密度：

 

在上面的計算過程中，括號中的分數，分子與分母相等，所以，括號本身等於 1，原本的密度值，在連續乘上兩個 1 之後，雖然數字變得不同，但若把單位一起考慮進來，7850 kg/m³ 與 7.85 g/cm³ 是一樣大的密度。再者，由於在單位 kg/m³ 前方的數字較大，所以這一個比較小的單位。對於數字較為敏感的同學或許已經注意到了，在 kg/m³ 與 g/cm³ 這二個單位之間剛好相差了 1000 倍。也就是說，以水的密度 1 g/cm³ 為例，我們可以很快地寫下它的 MKS 單位表示是 1000kg/m³。希望同學不僅能知道這個結果，還能知道為何會有這個 1000 倍的理由。


乘法的含義是「累積」

我們已經詳細地討論了「除法」的意義，那麼「乘法」的含義呢？在數學上，我們知道，如果我有 3 袋蘋果，每一袋裝了 6 個蘋果，那我總共有 3 乘以 6，共 18 個蘋果。這個運算的背，是一個連續相加、累積的結果。在中學的物理裡，有兩個很重要的定義用到乘法：功 (work，符號W ) 與衝量（impulse，符號 J )：

● 功的定義：作用於物體的力 F 與該物體在受力方向移動的距離 d 的乘積；公式為W = F × d 。

● 衝量定義：物體所受定力 F 與力作用時間 t 的乘積；公式為 J = F × t 。

在此，讓我們暫且忽略嚴謹的向量的討論或符號，把討論的範圍先聚焦在乘法的意義上。

從乘法的意義來理解，這兩個定義的「白話解釋」為：

● 功:對某物體，施力推動一段距離的結果。
● 衝量:對某物體，施力推動一段時間的結果。

簡單來說，想知道做功多少，我們需要帶把「尺」，因為需要知道施力的距離；想要知道衝量有多少，則需要戴上「手錶」，因為需要知道施力的時間。如圖二所示。

圖二、功與動量的差別，一個看距離，另一個看時間。

學過中學物理的同學應該已經知道，做功的結果會導致能量變化，衝量則會導致動量變化。這個部分，我們將在稍後的專欄再來討論。


用來紀念科學家的單位「名字」


物理量有名字，也有符號。我們以「基本量」為例，質量 (mass) 的符號是 M，距離（distance) 的符號是 d，時間 (time) 的符號是 t。而物理量的單位也有名字與單位，以 MKS制為例，質量的單位是公斤 (kilogram)，符號是 kg，長度的單位是公尺 (meter)，符號是 m。時間的單位是秒 (second)，符號是 s。對於初學物理，又初學英文的同學，這些物理量的名稱、英文名字與符號等等，應該會感到相當陌生。然而，掌握這些符號的唯一方法，就是多用、多練習、多看幾次，所謂熟能生巧，慢慢的就會自然地學會了。另外有一些單位，是根據物理量的的定義 ( 或定律、定理 ) 而計算出來的，例如，速度或速率的單位是 m/s ( 也可寫成 ms^-1）；加速度的單位是 m/s²( 也可寫成 ms^-2)；或密度的單位是 kg/m³ 等等，都是先前基本量的運算組合，稱為「導出量」。這幾個導出量沒有特殊的名字，然而，有許多導出量的單位會被「冠名」，用來紀念科學家。其中最有名的是作用力的單位牛頓 (newton，符號 N)：

 

也就是說，我們把「公斤・公尺・每秒每秒」這一大串單位，另外取名為「牛頓」，不僅可以紀念牛頓在力學上的貢獻，也方便溝通。其他類似的例子有焦耳、安培、伏特等等，同學可以試著根據它們的定義，來拆解這些單位，看看它們是由哪些「基本量」所組成的。


結語


本文很詳細的說明了「除法」與「乘法」的意義，希望有助於同學在定義的文字敘述與數學公式之間，建立起連結，能看得出物理公式背後的含義。

然而，物理公式除了「定義」之外，還有「定律」與「定理」，這三者，就數學公式上來看，長相可能一模一樣，但背後的意義卻大不相同，學習的方法，也略有差異，絕對不只是「把公式背起來，再代入數字」這麼簡單。

最後，別忘了，看到定義，不要先問「為什麼」，而要先問「這是什麼意思？」，再思考一下能否根據「分配」或「累積」的概念，來寫下相對應的數學公式。

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