冬季奧運會裡的力學問題
- Play-Create-Learn 紐西蘭科學與物理教育點滴
- 撰文者：蔡坤憲
- 發文日期：2018-10-08
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我們在學校裡學物理，會覺得「計算題」較困難,還是「觀念題」較困難?
看完試題後，選對公式，套入數字，正確的計算出答案,這樣真的有理解嗎？以文字敘述的方式，寫下「能量守恆」或「動量守恆」等專業的物理術語,或是從選擇體的選項中，勾選出正確的論述，就算理解物理觀念了嗎？這些幾乎是每位物理老師或學生常常會遭遇 ( 或感到掙扎 ) 的問題,其實很難有一個簡單明確的答案。
紐西蘭的物理試卷,有兩大特色：一是重視情境 (context)，每一份試卷，大多有三道題組，一道題一個故事，再從其中細分為三至五個子題。出題的方向，大多是物理的日常應用，希望學生能從這些生活常見的現象中，看出背後的物理原理。其次是重視觀念解釋，每一道試題，都會有一道觀念解釋題，要求學生以文字的方式，可佐以公式、圖表或繪圖的方式，來說明他們的想法與理解，而這些觀念解釋題，往往是佔分較重的子題。
這一期的專欄，我們分享一份十二年級 ( 高二 ) 的力學試卷，以冬季奧運會中速度滑冰、冰上曲棍球與跳台滑雪三等個項目為題材，如果你已學過運動學 ( 等加速度 )、牛頓運動定律 (力量)、能量與動量等觀念，不妨拿出紙筆與工程計算機，給自己一小時的時間，享受一下解題的樂趣。
試題一：速度滑冰 (Speed Skating)
速度滑冰
第23屆冬季奧林匹克運動會，於 2018年2月9日至25日在韓國江原道平昌郡舉行。其中有位76 kg的速度滑冰選手，從靜止開始加速，滑完第一個100公尺時，共花了10.5秒。
(a). 試證明此滑冰選手的平均加速度大小為 1.8 ms-2。
(b). 比賽的賽道周長為 400 米，由兩條直道和兩條 180 度的彎道連接而成；彎道直徑為50.0 m。若選手在彎道時，冰鞋對冰的施力大小為 596 N,試計算選手在滑過彎道時的速度大小?
(c). 假設選手在彎道時，失控摔倒，背部著地 ( 意即冰鞋與地面沒有接觸 ), 請描述選手摔出賽道的過程，並說明相關的假設條件。
選手在彎道時失控摔倒
(d). 滑冰選手須適當地調整自己施力的角度，來讓自己可以朝著目標加速前進。
如圖所示，在選手以 1.8 ms-2 加速向前時 (a 小題 )，冰刀與前進方向的夾角 α 為 32°。試繪製向量作用力圖，並據此求出選手施於冰面的平均作用力大小。 提示:你可以先從確定合力的大小開始。如圖，冰面與選手之間的作用力方向，與冰刀的方向垂直。
試題二:冰上曲棍球 (Ice Hockey)
在一場冰上曲棍球的練習中，兩位選手撞在一起。其中小華的質量 85 kg，以 6.5 ms-1的速度向右移動。小明的質量 65 kg，靜止不動。
(a). 試述在兩人相撞的過程中，哪一個物理量是守恆的?並說明你做了哪些假設，才能得出此結論。
(b). 在兩人相撞之後，小華的速度變為 2.3 ms-1 朝右，試計算小明的速度大小與方向。
(c). 冰上曲棍球的裝備有許多護墊，如護胸、護肘、護腿等。假使不穿戴這些護墊，試從作用力大小的觀點，來討論在兩選手相撞的過程中，小華的感覺如何?
(d). 在某次的射門練習中，小明擊出冰球初速 15 ms-1，與水平夾角 32°。試計算冰球在落地之前，最大的高度為何?
試題三:跳台滑雪 (Ski Jumping)
跳台滑雪 ( 又稱跳雪 ) 比賽中的跳台由助滑坡、著陸坡、停止區組成，各個坡道有各自的曲率弧度與角度。
(a). 請說明跳雪選手在「助滑區」與「起跳台」之間，主要的能量轉換過程為何?
(b). 某跳雪選手質量 65 kg，在跳離起跳台瞬間的速度為 24 ms-1，假設忽略各項摩擦力與空氣阻力，試問起點與起跳台之間的高度差為何?
(c). 實際上，滑雪板與坡道之間存在有摩擦力。請解釋這個摩擦力對於你在 (b) 小題的計算結果，有何影響?
(d). 稍後，這位選手拿著他的滑雪板，放在長凳邊，想用一個質量 5.0 kg 的啞鈴壓著來保持平衡。這個滑雪板長2.2 m，質量2.6 kg。如圖六所示，假設滑雪板的左側有0.65m 在長凳上，那麼應該把這個啞鈴放在何處，距離長凳邊緣的最短距離，才能讓滑雪板保持平衡?
似懂非懂的「等加速度」 觀念
在傳統上，運動學是物理學的第一課，我們都是從「描述運動」開始的。學生從小學的數學課，在學除法的時候，就學過「速度等於距離除以時間」，所以說這個觀念已「深植人心」並不為過。至於加速度的觀念，通常會等到物理課才首次出現。稍微有上課或做點功課的學生，大多能掌握「加速度等於速度的變化量除以時間」的定義，但卻容易出現似懂非懂的作法。
以試題一的 (a) 小題為例， 有幾位學生知道選手的初速為零，卻以距離除以時間 (100 ÷10.5=9.5 ) 為末速,再以速度變化來計算加速度大小 ( 9.5÷10.8=0.9 )，然後發現這與題目所給的 1.8 ms-2 不同,但卻又不知道該怎麼辦!
看得出這學生對於加速度，只有「似懂非懂」的程度。在課堂的練習題中，學生會得到很多暗示,知道要去使用等加速度的三個運動學公式。然而，等到把他們放到一個真實的情境或考試中，讓他們依自己的想法來解題，除非他們已真正理解 ( 或熟悉 ) 等加速度運動與這三個運動學公式的關聯，否則很難想到去運用
這個公式。閱卷時看到不只一份這樣的解答,，不禁莞爾。回想自己小時候，也曾經在試卷上寫過非常類似的答案！反省自己的教學，自覺沒有疏漏之處，不過，還是會有少數學生「一知半解」。因此,發完考卷之後，特地把這幾個學生集合起，,聊一聊之後發現,原來一知半解的理由是上課不專心、剛好請病假、回家沒有做作業、「課本只讀了前兩頁」等等。所以說：犯錯永遠是最佳的學習機會!
試題一解題觀念：圓周運動、作用力的向量分量
等速圓周運動是高二力學的一個重點,更是生活中常見的現象。在課堂上，老師往往是從「一整個圓」來開始介紹，稍後則會再進一步介紹「物體在轉彎或是改變方向的瞬間，必定會有一小段圓周運動」這個概念。
學生大多能從公式
計算出向心力的大小，但很容易誤認為向心力也是一個真實的作用力，而忘記它其實是個「合力」，是許多作用力共同作用之下的結果。當提供向心力的原因消失之後,以此題為例是滑冰鞋上的冰刀與冰面之間的作用力，物體會依慣性的緣故,沿切線方向繼續前進。(b) 小題的解答為，選手在轉彎時的速度為
稍微思考一下 (d) 小題，題意為：當冰刀與正前方夾角為 32° 時，選手想朝著正前方加速前進，應該施力若干?解題的關鍵在於向量的分量，由於選手已朝著正前方加速，合力的方向就是正前方，大小則是質量與加速度的乘積：F = ma = 76 ×1.8 = 136.8N
讓選手加速前進的作用力，是來自於地面的反作用力，方向如圖所示，來自地面的推力與前進方向 ( 合力方向 ) 夾角為 58°，因此,選手的推力大小為
首先,是碰撞過程的前後，系統的總動量是守恆的，背後的假設是過程中，沒有外力作用。其次，根據動量守恆定律，列出算式
移項運算之後可得小明的速度為 5.5 ms-1，朝右。
(c) 子題的重點是「衝量等於動量變化」的觀念，而衝量的定義是衝力與作用時間的乘積 ( J = F ⋅Δt )。護墊的功用在於增長衝撞的時間,因而減小衝力的大小。在評分方面，學生只需提及若不穿戴護墊，小華會感到衝力變大，即可及格 (Achieve)，若能提及碰撞的時間減短，即得優秀 (Merit)，須完整地解釋衝量與動量變化之間的關係，才能得到卓越(Excellence)。
(d) 子題是運動學中斜向拋射的問題，只需計算出初速度在垂直方向的分量(vy = 7.95 ms−1)，再透過等加速度運動公式，
即可得出最大可能高度為 3.2 m；其中因重力加速度的方向朝下，所以加速度的數值應以 −9.8 來做計算。
試題三解答觀念:能量守恆、靜力平衡 ( 力矩 )
(a) 子題的答案是「重力位能轉換為動能」。這是一個及格程度的簡單觀念題。
(b) 子題只需把這個觀念寫成數式
代入數值，在做些簡單的度數運算，即可得出起點比起跳台高出 29 m。
子題 (c)，若考慮摩擦力存在的情況，會有部分的重力位能轉換為熱能，因此，選手在離開起跳台時的速率會減低，若想保有相同的速率，則需要增高起點的高度。
(d) 子題是個靜力平衡的問題。以長凳的邊緣為支點，列出順時針方向力矩等於逆時針方向力矩的算，簡單計算之後,便能得出答案為 0.23 m:
在評分方面，學生只需要分辨質量與重量的差別，例如滑雪板的重量是 25.94 N，而不是題目所給的 2.6 kg，或是 5.0 kg 啞鈴的啞鈴重量為 49 N，就算及格 (A)。正確的計算出答案，則為卓越 (E)，若是觀念正確，但在計算過程中出些小差錯，或是以質量來計算力矩,雖然最後的答案數值正確，只能得到優秀 (M) 而已。
結語
做完這份試卷之後，不知你會覺得是「計算題」或是「觀念題」較為困難?也許你也和我當初剛接觸紐西蘭試卷時的經驗一樣，感覺「文字好多」；不僅題目的文字敘述很多,答題時也得用很多文字來說明觀念，感覺就像是在「寫作文」。
雖然我們都不喜歡「考試領導教學」，不過在實務上，考試真的可以「大幅度地影響」教學。我在當師培生的時候，教育部透過師資培育課程，傳遞出一個很重要的訊息：紐西蘭的每一位老師,無論任教的科目為何，都是 literacy ( 英文讀寫 ) 的老師。換言之，提升學生運用語言文字的能力，是每位老師的責任。當時的師資培育課程還有一門名為 LTTTL– Learning to Think Through Literacy (學習透過讀與寫來思考) 必修的學程。那時我還納悶，怎麼能叫物理或科學老師去「教英文」呢?
我們常說「數學」是物理的語言，因此,良好的數學能力，是幫助物理思考的重要工具。然而，有了實務經驗之後，我逐漸體會到，語言、文字、符號與思考、情感、創意之間的緊密關聯。理工科對語言文字的要求，表面上似乎偏低，其實不然，小時候在語言、文字上的素養與薰陶 ( 童書、古詩詞等 )，其實都是長大之後許多創意的來源，也是良好溝通能力的基礎。因此,在中學這個國民教育階段,藉由物，學來培養科學的語言表達與溝通能力,是有道理的！也許，下一個暢銷科普作家或「倪匡」，就是從現在這樣點點滴滴開始的?
延伸閱讀:
關於及格、優秀與卓越的評分方式,請參考前文:紐西蘭沒有「一百分」的考試。