師弟同行

師弟同行，是日本劍道界極力倡導的一個學習態度。取自禪宗典故，意指師父與弟子為了共同的目標而修行並相互緬礪的精神。

在劍道的學習過程中，初學者從學習正確的打擊開始。前輩或老師大多會在適當時機，特意製造破綻，引導初學者進行打擊練習。待初學者稍有程度之後，便進入對打練習（稽古）的階段。此時的前輩或老師，就不能只安於做個單純的指導者，否則很容易淪為站著挨打的活靶子，而無法再有進步。師弟同行，旨在鼓勵對打的雙方，要抱著積極的態度相互學習，以十二萬分的精神，盡力去超越對手，前輩不因後輩的程度低而懶散，後輩也不因前輩精湛的劍技而心生畏怯， 彼此砥礪，一起前行。這與「教學相長」的含義近似，但我更喜歡「同行」這兩個字所呈現出來的畫面。

我們當老師的人最主要的工作，是幫助學生理解課本的內容，並在考試中取得高分。隨著教學經驗的累積，以及對教材、試題的熟悉，我們的教學方式，也容易逐漸變得僵化，甚至死板，不僅學生會覺得無聊，自己恐怕也會覺得無趣。

我希望在這裏分享的，是我在物理教學裡的「師弟同行」經驗，它們是來自三位學生所提出來的問題。這三個問題，不僅令人對孩子的思維方式感到驚艷，也啟發我用全新的視角看待原本已經熟悉的知識領域，並且改變了我之後的教學觀念與策略。

教師的專業：學科教學知識

借用Shulman（1987，註一）的話來說，老師最擅長的領域在於「學科教學知識」（pedagogical content knowledge，簡稱PCK），也就是師資培育課程中的「物理科教材教法」。它是結合了學科知識（物理學），及其它各個教育與教學知識所形成的「化合物」。針對不同的教學單元或學科主題，每位老師也都會發展出其專屬的切入方式。老師們知道從哪裡開始介紹這個主題，最能引發學生的興趣與學習動機。這可能是一個故事、一張照片、一段影片、一個示範實驗，或是一個社會議題等等。由此開始，按部就班地把學生該學會的、考試會考的，甚至是對將來長大之後有用的知識、技能與態度等，透過恰當的文字、圖表、問題、討論、作業等等安排，在教學過程中，或簡或繁，或難或易，或記憶或思考，點點滴滴，一起和學生分享對世界的認識與理解。

 PCK的概念在學術界引起很大的迴響與共鳴，特別是在九零年代美國的教改時期，許多學者專家就此發展出很多培育專業師資的學程，以及評量教師專業的標準。撇開學術上的論辯，就我個人而言，不論是以前在大學任教，或是現在服務於中學，在教學的專業上，PCK的概念都給了我一個很好的方向，讓我更有意識地去理解教材、熟悉評量方式，並能宏觀地從課綱的角度，以及微觀地從學習者的角度，來規劃並審視自己在講台上所傳達的訊息。

多年的教學歷程，幫助我積累了一些故事劇本，只要是「票房收視」不錯的節目，自然會一再「重播」。不過，成功的教學活動終究不是反覆地播放錄影帶而已，甚至偶而還會發生即興演出的舞台劇，與不同的觀眾群互動，往往會激盪出和舊作相異的情境，這也正是老師這一行所獨享的趣味之處！如同科學家致力於更新「學科知識」一樣，「學科教學知識」也需要時時更新與改版。

以下便是刺激我更新「學科教學知識」的三個提問 。這三個問題都和「光」有關。第一個問題並不難，第二個問題卻差點把我難倒，而最後一個問題則讓我「掛黑板」。

第一個問題：光波的波長是怎麼測量出來的？

紐西蘭的中學涵蓋了9到13年級，相當於台灣的國二到高三。因此每位物理老師，除了教授高二、高三的物理課程之外，還必須負責國二到高一的自然科學課程，其中包括基本的物理、化學、生物、生態、天文與地球科學等等。

繞射光柵（diffraction grating）是紐西蘭高三光學的一個主題。一般來說，我們都是從波的疊加原理開始，接著介紹干涉、繞射等現象，再由實驗與板書，介紹狹縫或光柵所產生的光程差，引入計算公式，最後再介紹實際應用與相關試題等。（參考前文：雙狹縫干涉圖樣與飛機的「盲降系統」。）

最近，在九年級的課堂上，正好進行到「能量與波動」的單元。在這個為期五週，約15個小時的授課時間裡，我們需要涵蓋三個主題：首先是能量的種類與能量守恆的概念介紹。在這個類似台灣國二程度的課程裡，並沒有繁複的計算，只有介紹一些能量的名詞，諸如動能、重力位能而已。並讓學生知道聲、光、熱都是能量的一種，而且能量會在各種不同的形式之間轉換。其次是波動，主要是幫助學生理解波動可以傳遞能量，而不能傳遞物質的觀念，並能區分出橫波與縱波的差異，以及知道波峰、波谷、頻率、波長與振幅等各個名詞的含義。最後則是介紹與生活息息相關的聲波與光波，讓學生理解頻率就是聲波裡的音階、光波裡的顏色，振幅大小則決定了響度與亮度。

在介紹光波時，其中的一個重點是要讓學生理解光是電磁波的一種，可見光只是整個電磁波譜中很小的一部分而已。由廚房烤箱散出來的熱、微波爐裡的微波、會導致皮膚曬傷的紫外線、醫院骨科常用的X光，帶著聲光訊息傳到電視或收音機的無線電，家裏的Wifi無線網路等等，都可以看成是「一種光」。因此，自然要向學生展示一張完整的電磁波譜（如圖一）。

【圖一：電磁波頻譜（取自維基百科）】

就在我展示這張電磁波頻譜的時候，一位學生舉手問我：「老師，光波的波長是怎麼測量的？」這種經由專注學習並思考之後的提問，特別又是「超出範圍」的問題，甚至是出自一個才13歲的孩子，不僅令人感到驚訝，也是對理化老師或物理老師的最佳獎勵！

還好，這個問題並沒有難倒我，反而是給了我一次分享「科學魅力」的機會。為了回答這個問題，我走進教室旁的教學準備室，搬出雷射與光柵，簡單地說明了波的疊加原理，並用他們能懂的「童言童語」，解釋雷射光在通過光柵之後出現的斑點，順便為我的高年級物理課做廣告，相約在他們將來的十三年級物理課中，能親手算出這道雷射光的波長。看著小孩的好奇心獲得滿足的神情，真是當老師最大的成就感。

這個意外的提問令我反思，在物理或基礎理化的課堂上，我們往往在毫無覺察的情形下把自然科學的知識變成想當然耳，反而忽略了那份探索自然的樂趣，忘記那種窮究宇宙的精神。而把學生的學習任務侷限在試卷上寫出正確的專有名詞及其定義，以及把正確數值代入公式得出解答。然而，當學生提出這種「在不疑處有疑」的問題時，不僅讓我對於繞射光柵有了新的想法，也啟發了我在下一次設計這個教學主題時，有了新的切入點。

第二個問題：當正子與電子相遇之後？

接下來的兩個問題，都來自於近代物理。在紐西蘭的課程規劃裡，十二年級時介紹核能與核物理（高二），十三年級則介紹量子物理與相對論（高三）。

十二年級的核物理，從原子模型的歷史演化出發，介紹原子核的結構，討論質子數、中子數與原子核穩定度之間的關係，以及利用愛因斯坦著名的質能轉換公式E = mc2，來計算核分裂與核融合所產生的能量，最後則是探討與核能相關的社會議題。

十三年級的近代物理課程，從光電效應開始，介紹量子物理的基本觀念，如波粒二重性等。學生只要能理解光子的能量與頻率有關（E = hf），便足以應付考試。

 相較於力學、電磁學，波動與光學這三個單元，近代物理大多是定性的觀念介紹，沒有繁複的計算，比較接近「科普」的性質。一般來說，這是各校會安排在學年裡的第一個教學主題。換句話說，紐西蘭是先教近代物理之後，再回過頭來教古典物理。最初我有些不適應，但是後來發現這樣的安排也不錯。因為現代的資訊發達，大多數學生早已聽或看過許多科普或科幻題材的作品，如果還要他們耐著性子，從伽利略、牛頓開始慢慢一路聽來，恐怕對師生都是相當大的挑戰。

 兩年前有一位十三年級的學生，在聽完「正反物質湮滅會產生光子」的現象介紹之後提出他的推論：「電子與正子相碰撞之後，電子與正子消失，而變成一個光子，根據質能轉換公式，這個光子的能量來自電子與正子的質量（E = mc²），又根據光子能量與頻率的關係式（E = hf），經過代數移項之後，這個光子的頻率是否為mc²/h？」

儘管量子力學還有很多內容與現象，甚至還有很多觀念尚未加入十三年級的課綱裡，但是這位年輕人，僅憑著我所教過的幾個觀念，便自己「推演」出上面的想法（如圖二），真是令人訝異。不過，與其指出他的想法不夠成熟，我反而陪他一起思考。我提醒他，在碰撞的過程當中，除了能量守恆之外，動量也會守恆，所以至少應該會有兩道光。

接著，我們一起把電子的質量（9.11×10^-31 kg）與普朗克常數代入這些公式，得出這兩道光的頻率為1.24×10²⁰ Hz，屬於伽馬射線（頻率介於10¹⁸與10^{22 Hz}之間）。由於這不在課本的範圍之內，於是只好上網搜尋。結果，我們計算出的數值竟然與維基百科裡的文字敘述相吻合，這個結果令我們師生二人雀躍不已！

【圖二：學生在白板上寫下他對電子與正子相遇的假設。】

第三個問題：光波發生紅位移，光子的能量會變小嗎？

在近代物理之後，我們回到傳統的波動與光學課程，其中都卜勒效應、駐波與繞射光柵是這個單元的重點。

 相信學過高中物理的同學對於「都卜勒效應」不會感到陌生：當波源和觀察者有相對運動時，觀察者所觀測到的頻率，與波源所發出的頻率會有差異。生活中常見的例子是，從遠方急駛而來的火車鳴笛聲，會變得尖細（即頻率變高，波長變短），遠離而去的火車鳴笛聲，聽起來會較為低沉（即頻率變低，波長變長）。

 同理，光波（電磁輻射）也會有都卜勒效應：若波源遠離觀察者而去，觀察者會觀測到波長變長的光波（頻率變低），由於紅光的波長較藍光為長，因此光波波長變長的現象，稱為紅移（redshift）；反之則稱為藍移（blue shift）。美國天文學家哈伯（Edwin Powell Hubble，1889－1953）於1929年通過觀測發現，絕大多數星系的光譜線存在紅移現象。他推測這是由於宇宙空間在膨脹，天體正遠離而去，因而成為支持大霹靂模型（Big Bang）的有力證據。

 這些耳熟能祥的題材，相信大家都不陌生，即使看似複雜的都卜勒頻移公式，也都難不倒大家。

 不久之前，在我剛介紹完宇宙學紅移時，有學生發問：光波紅移之後，光子的頻率變低，根據E=hf的關係 ，光子的能量會變小嗎？

 我當下就知道自己要「掛黑板」了，一時之間不確定該怎麼回答這個問題！說實話，也許因為沒有碰過類似的考題，所以我從來沒有想過這個問題。不過，心裡倒是很佩服這位學生，能夠這麼自然地把「光波」與「光子」的概念連在一起！

 所幸，現代化的教室，除了黑板之外，還有電腦網路與投影機。於是，我很誠實地跟學生說：「這個問題我也沒想過，我們一起來Google一下吧！」

 網路上相關的題材不多，不過，我們倒是找到幾個有趣的說法（註二），簡單歸納如下：首先，由於宇宙膨漲的緣故，廣義相對論中所描述的宇宙時空隔線間隔會變大，使得光子的波長變長。其次，從能量守恆的觀點來看，光子本身所減少的能量，轉移到宇宙膨脹所需的能量上。最後，也是最特殊的：

廣義相對論是否提供了『能量不守恆』的可能性？讓人驚訝的答案是：也許！

雖然廣義相對論對許多物理量有著很精確的定義，但是能量並不是其中之一！換句話說，愛因斯坦的方程式並未規定能量必須守恆，甚至，廣義相對論完全沒有為能量下定義。這當然不是說，我們不能為能量下定義，這只意味著，我們需要很小心。

 巨人的肩膀

 跟同學們一起看完這些資料，深深覺得自己這次的「掛黑板」，一點都不可恥，甚至還蠻光榮的，因為我們師生一起看到「科學的邊緣」，雖然還沒能看到「物理的新大陸」，卻也有了揚帆啟航的動機！

 牛頓曾說，他因在站在巨人的肩膀而能看得更遠。面對日新月異的科學新知與科技發展，我們當老師的人，或許更像是帶小孩去看露天演唱會的爸爸媽媽那樣，可以把小孩托在肩膀上，即使他們沒能看得更遠，但那也會是一段美好的時光，不是嗎？

註一：Lee Shulman (1987) Knowledge and Teaching: Foundations of the New Reform. Harvard Educational Review: April 1987, Vol. 57, No. 1, pp. 1-23.

 Shulman在該論文中提出，教師除了學科知識（基本的物理學知識）之外，還需具備一般教學知識（如學生的認知發展、課堂管理等）、課程知識（如課綱的安排、課程規劃）、學科教學知識、對學習者的知識（如學生的個別差異、學習困難、迷思概念等）、對教育環境的知識（如社會的整體趨勢、學校所處社區的文化與特色等），以及對教育宗旨、目的、價值、哲學與歷史的知識等七大類。

註二：Ethan Siegel (2015), Ask Ethan: When A Photon Gets Redshifted, Where Does The Energy Go? (Forbes / Science, https://www.forbes.com/sites/startswit ... e-energy-go/#773570564891)