雙狹縫干涉圖樣與飛機的「盲降系統」

這一期的專欄，希望介紹紐西蘭高三物理的一道試題，由紐西蘭物理學會所命題。波動系統屬外部評量，以傳統的紙筆測驗進行，整份試卷含三大題，建議答題時間為一小時，及格的同學可獲得四個學分。因此，建議分配給底下這道試題的答題時間約為二十分鐘。

試題：特高頻(VHF) 天線的干涉圖樣

儀表著陸系統(Instrument Landing System，縮寫：ILS)，俗稱盲降系統，是目前應用最為廣泛的飛機精密進場和降落導引系統。ILS系統主要有兩個子系統，一個為航向台(Localizer) 提供水平引導，另一個為下滑台(Glide Slope或Glide Path) 負責垂直引導。其中的航向台位於跑道末端，由兩個或以上的天線所組成。這組天線發射出單頻、同相(in phase) 的電磁波，如下圖所示：

圖一，航向台、跑道、飛機示意圖

(a)   這組天線(相距16.0 m) 所發射出的電磁波頻率為110 MHz。試計算中央極大區的中心線與相鄰第一條節線(極小) 之間的夾角大小。

(b)  干涉圖樣可指引飛機，沿著直線飛向跑道的中央。試解釋航向台如何發出一道可以指引方向的電磁波，並解釋當飛機偏離方向時(圖二所示)，這道電磁波在強度上所發生的變化。

圖二安全與危險的降落方向

(c)   當天線所發射的電磁波頻率增高時，試問對干涉圖樣，以及對跑道末端節線(極小) 與反節線(極大) 之間的距離有何影響？

 大多數機場的航向台天線都不只有二個，而是以16個距離相近的天線所組成的天線陣列，如圖三所示。

圖三，航向器天線陣列示意圖

(d)  請解釋增加天線數目之後對於干涉圖樣的影響？在導引飛機飛向跑道的中心線上，與採用2個天線相比，採用由多個天線所組成的陣列有何助益？

解題觀念：楊氏的雙狹縫干涉實驗

紐西蘭出題的方式，偏好真實情境或實際應用，依此，乍看之下會覺得有些困難。例如這個問題，由於大家都不熟悉儀器著陸系統的具體細節，也都沒有學習過相關的內容，因此不容易掌握到解題的思路。所幸，試題標題中的「干涉圖樣」文字，或是圖一中的兩個天線示意圖，都算在暗示同學：解題思路為雙狹縫干涉實驗。

(a)小題的解題關鍵在於雙狹縫干涉實驗的幾何關係圖，以及理解光程差( \(d \cdot \sin \theta\) ) 是造成干涉的原因(圖四)。因此，(a)小題就是在考第一暗紋的位置，暗紋起因自破壞性干涉也就是光程差為半波長。

 圖四，雙狹縫干涉的光程差示意圖

題目中給出的條件是兩個天線間（或狹縫）的距離 \(d=16 \hspace{1mm} \rm m\)，以及電磁波的頻率110 MHz。因此解題的第一個步驟是算出波長$$\lambda= \frac{c}{f}=\frac{3 \times 10^8}{110 \times 10^6}=2.727 \hspace{1mm} \rm m$$

再代入發生第一極小(暗紋) 的條件，即光程差為半波長的位置：$$d \cdot \sin \theta = \frac{1}{2} \lambda$$

因此，$$\theta=\sin^{-1}\frac{\lambda/2}{d}=\sin^{-1}\frac{1.364}{16}=4.9^{\circ}$$

從「分段給分」的閱卷角度來看(請參考前文：沒有「一百分」的考試)：若學生可以正確地把頻率換算成波長，即可得到A (及格)，若能正確地使用第一極小的條件，即能獲得這一小題的滿分M (優秀)。

 (b)小題中的「解釋」，表明這是一道觀念題，學生只需要解釋「中央亮紋」或「中央極大」的觀念即可。

 我們知道光波在雙狹縫干涉圖樣中出現的亮紋(反節點)，主因在於光程差為零或波長的整數倍，亦即抵達光屏的兩道光波為同相：兩波的波峰與波峰相遇，或波谷與波谷相遇，形成建設性干涉。學生若能解釋出這個原理，即可得到A。

若學生能再解釋中央亮紋(極大) 的兩旁各有一條暗紋(極小或節線)，起因自光程差為半波長(異相) 的破壞性干涉，因此當飛機偏離跑道時，飛機上所接受到的訊號會明顯地減弱。如此便能得到這一小題的滿分M。

(c)小題的思路是：由於電磁波的波長與頻率成反比（\( \lambda \propto 1/f)），因此當頻率增高時，波長會變短。答題時，若能提及此觀念即可得A。

若能根據中央極大的公式（\(d \cdot \sin \theta= n \lambda\)）推論出中央極大的角度大小為：$$\theta= \sin^{-1}\frac{n \lambda}{d}$$

由於兩天線間的距離d是固定的常數，因此當波長變短時，中央極大的角度也會隨之減小。答題時知道運用此觀念可得M。

因此，無論在哪個位置，包括遠在跑道的另一端，反節線(電磁波極大的區域)之間的距離會縮短。由於節線位於反節線之間，所以節線之間的距離也會變得更近。因此，當電磁波的頻率增高時，節線與反節線之間的距離會縮短。若學生能完整地解釋整個觀念時，即可得到此小題的滿分E (卓越)。

 (d)小題的思路是：雙狹縫與多狹縫(光柵) 干涉圖樣的差異。

每一道天線均可視為一個點波源，當天線的數目增加時，就要考慮「多狹縫」干涉的情形。在觀念上，與雙狹縫相比，在多狹縫的情形裡會有更多的波彼此互相干涉，我們以點波源與圓形波來解釋，如圖五所示。

圖五，多狹縫的情形會有更多的波彼此互相干涉

多狹縫干涉圖樣中的亮紋與雙狹縫的結果相似，然而，在點波源的數目增加之後，空間中可以產生建設性干涉(同相) 的區域會減少，大多數的區域都是部分或完全破壞性干涉，而呈現灰色或黑色，相反地，貢獻到同一亮紋的波數增加，所以亮紋的亮度會增大。因此，亮紋本身的寬度會減小，亮紋之間的距離會增大，本身的亮度也會增加，因而顯得較為清晰。

換言之，導航電波的解析度與強度都會增強，因而能減小飛機偏離航道的橫向距離，更精確地指引飛機飛向跑道中央。

另一個角度，可從繞射光柵的干涉公式來看\(n \lambda=d \sin \theta_{n}\)

其中，d是相鄰狹縫之間的距離，\(\theta_n\) 是第n級極大的繞射角度，其中 \(n=0\) 為中央極大。在觀念上，第一主極大（\(n=1\)）的出現的位置，就是光程差為一個整波長 \(\lambda\) 的位置，對相同波長(或頻率) 的電磁波而言，狹縫間的距離d與 \(\sin \theta_n\) 成反比。也就是說，當天線陣列中的天線數目增加時，即狹縫(或點波源) 間的距離d減小， \(\sin \theta_n\) 增大，因此第一極大的角度 \(\theta_1\) 會增大，亦即亮紋彼此之間的距離會增大。

在評分方面，只要提及亮紋(建設性干涉、反節線) 之間的距離會增大、 \(\theta_1\) 會增大，或是中央極大的強度增強但寬度變窄，即算及格A。

若能解釋亮紋強度增強的原因，是由於在多狹縫(多波源) 干涉的情況下，空間中可以產生建設性干涉(同相) 的區域會減少，由於能量守恆的緣故，亮紋的強度會增加，即可以獲得M (優秀)。在M之外，若能連結「亮紋間距離增大與強度增強」與儀器著陸系統二者之間的關聯，亦即「導航電波的解析度與強度都會增強」的物理意義，即可得到此小題的滿分E (卓越)。

教具分享：直觀又具體的「雙狹縫」實驗

在干涉與繞射的教學中，學生對於以疊加原理來解釋建設性與破壞性干涉現象，一般不會覺得太困難。我們除了傳統的水波槽實驗之外，也讓學生實地去觀察光學中的狹縫與光柵的干涉與繞射圖樣，也拿了兩個喇叭，讓學生親身體驗音量大小的變化，藉以解釋劇院環繞音響的基本原理，當然還有運用電腦模擬動畫(例如Phet網站) 來解釋這些現象。

在理論講解與實驗課之後，我們還有一份傳統的工作單(圖六)，要讓學生用筆與直尺，親手標示出節線(節點的連線) 與反節線的位置，藉此加深他們對於「光程差」的理解。

圖六，雙狹縫干涉工作單

此外，我們還會和學生討論一些「如果」(What if?) 的問題，例如：

1.     如果雙狹縫間的距離變大，屏幕上亮紋間的距離會增大或減小？

2.     如果狹縫間的距離固定，但水波或光波的波長變短(頻率變高)，屏幕上亮紋間的距離會增大或減小？(這也是本道試題的c小題)

當然，我們可以透過實驗操作，或是理論、公式的計算來回答這些問題。然而，讓我覺得趣味盎然的是，我同事徒手打造的教具(圖七)：

·       釘有三根釘子的一條木板上，作為狹縫間的距離。

·       四把米尺，其中兩把每隔10公分標示一條紅線，另外兩把根則以5公分為間隔標示一條藍線，分別表示兩個波長不同的波動。

就是這樣一個簡單的教具，可以很清楚、很直覺地向學生解釋，當狹縫間隔或波長發生變化之後，對於亮紋間隔所發生的影響。

圖七，雙狹縫干涉教具

結語：一道試題，一個故事

「一道試題，一個故事」是紐西蘭物理試題的特色之一；這個「故事」通常會是實際的科技應用，或是生活中常見的自然現象。目的就是希望學生能活學活用書本裡的知識。從台灣同學的角度而言，這類型的試題，類似「科普」讀物，但又更深入一些，也與學校課程相關，很適合用來刺激思考、開拓視野。

延伸閱讀：儀表降落系統

以這一道試題為例，有興趣的讀者或同學，可以試著以「儀表降落系統」或英文Instrument Landing System (ILS) 上網搜尋更專業的航空飛行知識。例如在台灣航空教育發展協會的網頁(http://www.taeda.org/?p=307) 上，關於著陸系統的航向台介紹如下：

航向台建在跑道外，位於跑道中心線延長線的500 m處，它是一個無線電發射台，發射出兩個調製頻率不同的等強度的甚高頻波束。這兩個波束以跑道中心線為界。左面的波束以90 Hz頻率調製，右側的波束以l50 Hz調製，這一對波束很窄，它以3度角上仰向左右各擴散35度，作用距離為40 km。飛機上裝有接受這組電波的儀表，當飛機進入此電波範圍內時，飛機上的儀表指針會擺動，如果收到的90 Hz電波的強度大於l50 Hz的電波時，儀表的指針向右偏動，表明此時的飛機在跑道左側，飛機需要向右調整才能對準跑道。反之，則飛機向左調整。儀表上的指標對在正中點表明飛機的航向正對跑道的中心線。

維基百科(https://zh.wikipedia.org/zh-hant/儀表著陸系統) 也有豐富的介紹，例如，圖八是航向台波束示意圖，圖九是飛機上與ILS訊號耦合的飛機姿態儀，可讓機長知道飛機偏離跑道的程度，恰當地補充了上方文字說明的不足。

圖八，航向台波束示意圖

圖九，與ILS訊號耦合的飛機姿態儀

最後，有個專門介紹飛機著陸系統的英文網站(http://www.landingsystem.com)，除了有很多珍貴的照片與技術性細節之外，還有模擬飛機降落的動畫，非常值得一看：http://instrument.landingsystem.com/ils-tutorial-animation(播放的按鈕在左下角)。