Majorana 費米子
- 物理專文
- 撰文者：陸紀亙 (Rutgers University)
- 發文日期：2017-11-07
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從包利不相容原理到Majorana費米子
包利 (Wolfgang Pauli) 提出的不相容原理是量子物理最有別於古典物理之處。我們最熟知的基本粒子 --- 電子，就必須遵守這個法則。簡單來說，如果有兩個電子在某一物理系統中，則這兩個電子必須處於不同的量子態。這可用簡單兩句話就能描述的物理原理，對自然現象有著極為重要的影響：除了是元素週期表 (Periodic Table) 的基本原理，從半導體原理，磁性原理，到計算超導體中庫柏電子對 (Cooper pair) 的束縛能量，都能見到包利不相容原理的蹤跡。此外，在二次量子化 (second quantization) 的語言，包利不相容原理也被內建在電子的產生 (creation) 煙滅 (annihilation) 算符所對應的代數之中：
eq. (1)
eq. (2)
大括號的數學定義為：對於兩個算符，{A, B} = AB + BA。Eq. (1) 所指的是當兩個電子處於相同狀態時，所對應的波函數為零。Eq. (2) 則交代當一量子態被a+算符增加一電子後，其波函數仍然是歸一化。
這看似簡單的代數關係可以寫成Majorana費米子表現方式 (representation)：
eq. (3)
這樣把一個算符拆成兩個算符的技巧源自高能物理。其中精妙之處：費米子算符a 可以寫成兩個Majorana費米子 
的組合，在此表現下產生與煙滅算符必須是完全等價的：
，
。且Majorana費米子仍保有費米子的包利不相容特性：
。讀者可以自行驗證，把一般費米子寫成Majorana費米子，eq. (1) 依舊成立。
我們很難想像把真空中的一個電子一拆為二。但在固態物理系統中，我們觀測到的電子其實是電子加上它與背景以及與其他電子交互作用後的有效(effective) 現象，因此在原理上Majorana 費米子存在是可能的，在下面的篇幅會探討這樣的可能性，且令物理界非常興奮的是，在拓墣絕緣體(topological insulator) 與超導現象共存的系統中，已有數個實驗看到Majorana費米子存在的證據。除此之外，讀者也許注意到：我們寫下一般電子的產生算符a時，並沒有標註下標，但是在寫下Majorana費米子時則有。這下標可以代表不同的量子數，但令量子計算學家感到興趣的是：把一個電子表示成兩個空間上相距甚遠的Majorana費米子，原理上便可以把波函數的相位 (phase) 編碼這兩個Majorana費米子之中，這使得量子計算可以不受局域上的微擾所破壞，進而有實現拓墣量子計算 (topological quantum computation) 的可能 [1]。
微分方程式的開根號
將一個有理數開根號有可能得到無理數; 而將一個負數開根號則得到虛數。開根號這個運算擴展了我們對數的視野，而數學是物理學家描述大自然現象的重要工具。對數學家而言，對方陣開根號是一件熟悉的事，因為方陣的平方有良好定義且仍然是一方陣，故方陣的開根號也是方陣。熟悉量子力學的讀者不妨回憶包利矩陣
,
, 
以及其相互反對易的數學特性。有興趣的讀者不妨驗證：
eq. (4)
但對物理而言，微分方程式是描述物理現象的重要理論工具。引入矩陣以及相對應的內稟自由度 (internal degree of freedom) 後，對微分方程式開根號造成近代物理革命性的影響。迪拉克方程 (Dirac equation) 就是對克萊因-高登方程 (Klein-Gordon equation) 開根號的結果。狄拉克除了巧妙地得到符合相對論對稱性的量子波函數方程式，更重要的是它引入了自旋以及電洞兩個重要的內稟量子數。在沒有位能勢的情況下，相對論性的漢米爾頓通常可以表示成：
下標i代表空間標示(index)，p為動量算符，m代表質量(mass)項。其中伽瑪矩陣
為四個互為反對易(anticommuting)的4x4 Hermitian矩陣，意思是任選其中兩個相異的矩陣必定滿足{A, B} = 0 的關係。如果把四個矩陣連乘可得一新的矩陣
且此一矩陣與其他四個伽瑪矩陣也互為反對易。以數學的語言來說，這類的矩陣滿足克里夫代數(Clifford Algebra)[2]，有興趣的讀者可參考Zee的量子場論來了解建構滿足克里夫代數的高維度矩陣 [3]。
迪拉克方程和零能解
如果考慮低維度系統，狄拉克方程式有一奇特的特性。如果考慮一維系統如量子線(quantum wire)，量子波函數
滿足下列方程式 [4]：
eq. (5)
讀者在此必須注意到，相對論性量子力學下，波函數不只有一個分量(component)，在這裡它有兩個分量，亦即是一個線性代數裡學到的列向量(column vector)，且不同的分量代表各量子數對應的機率振幅。上述的矩陣微分方程式有兩個很重要的特性：第一是所有的係數都是實數，第二是如果是能量E的解，
則會是其負能量的解。接下來，如果質量項m(x)是一個空間的函數，且在x>0處m > 0，x < 0處 m < 0，x = 0 處 m = 0，此微分方程式有一零能量且唯一的解
。按照這微分方程的數學特性，這個零能量波函數是唯一滿足
的解，這個特質是為什麼凝態系統中能找到Majorana費米子的重要依據。我們已經知道φ是電子的波函數，也知道微分算子跟動量算符的關係，但是矩陣代表的物理意義和與凝態系統的對應關係是什麼？什麼樣的物理系統能夠對應到這樣的微分方程式以及 如何讓質量項產生domain wall [m(x)函數在原點附近變號]。
晶體中的狄拉克電子
我們知道在電子在一般熟知的金屬中，其運動可以用自由電子的模式來解釋，亦即在金屬中電子的能量與動量滿足非相對論性的運動關係：E = p2/2m*。m*代表有效質量，可以由能帶 (band structure) 計算的結果得到。電子在固體中的行為，與能帶結構與費米能階 (Fermi level) 有很大的關係。這也是為何固態系統能展現出許多奇異特性之處，在一些拓墣絕緣體 (topological insulator) 材料中 [5]，由於成分裡有重原子如Bismuth，其自旋軌道耦合 (spin-orbit coupling) 的能量無法被忽略，所以相對的電子運動方程變得不同於簡單非相對論性的結果。石墨烯是一知名的例子，電子在費米面附近滿足狄拉克方程而非薛丁格方程。在拓墣絕緣體的表面，電子有類似的特性，其動力學一樣滿足迪拉克方程。唯一差別之處是在拓墣絕緣體表面，電子的自旋參與動力學，但在石墨烯中則沒有。
由於這個差異性，如果在拓墣絕緣體的表面引入電子間的相互作用，或是引入磁性，在理論上就等於引入一質量項。簡單來說，拓墣絕緣體的表面是金屬態 (費米面處於能帶中)，但一旦引入磁性，質量項則讓此表面又變回絕緣態。此外，由於磁性具有方向性，實驗上也可控制條件讓domain wall產生，這就對應到eq. (5)中質量項函數m(x)會在某一處通過x軸，或者說是產生變號。
實驗進展
為了避免提及太多深奧的物理，在前面我們沒有提到一個重要的事實：引入超導是產生凝態系統Majorana費米子的必要條件。電荷不守恆是超導系統中的重要特徵，故超導體中的激發態為電子與電洞的線性疊加，如此當超導系統中存在一零能量態 (能量參考點為費米能量)，其數學性質與eq. (5)所描述的零能態相同，則相對應的激發態必為Majorana費米子 [1]。這一理論的猜想最早由賓州大學的Fu與Kane所提出 [6]，他們認為如果拓墣絕緣體的表面如果藉由鄰近效應 (proximity effect) 來引入超導，則有可能在超導的渦旋 (vortex) 的中心觀察到Majorana費米子。這樣的想法也被加州大學的Alicea [7]以及馬里蘭大學Das Sarma研究小組 [8] 延伸到超導-奈米線的混合系統。除了這些理論的預測，令人興奮的是實驗上也有證據顯示這樣的系統確實有可能發現Majorana費米子 [9, 10]，這些非常精確且困難的實驗，必須建立在良好的半導體樣品且精準的控制與量測上，往後能否真的利用這些固體中的電子激發太來觀察到non-abelian 的特殊性質 [1] 是下一步的考驗。
封面圖來源為An artist’s conception of a Majorana fermion floating at the surface of the Fermi sea. Image credit: Alexey Drjahlov / CC-BY-SA.
參考文獻
[1] D. A. Ivanov, Non-abelian statistics of half-quantum vortices in p-wave superconductors, Physical Review Letters vol. 86 p. 268-271 2001
[2]S. Okubo, Real representations of Clifford algebra1 I. Classification, Journal of Mathematical Physics vol. 32 p. 1657 1991
[3] A. Zee, Quantum field theory in a nutshell, Princeton.
[4]R. Jackiw and C. Rebbi, Solitons with fermion number ½, Physical Review D, vol. 13 p. 3398 1976
[5] H. Zhang, et. al., Topological insulator in Bi2Se3, Bi2Te3, and Sb2Te3 with a single Dirac cone on the surface, Nature Physics vol. 5, p. 438-442 2009
[6] L. Fu and C. L. Kane, Superconducting proximity effect and Majorana fermion at the surface of a topological insulator, Physical Review Letters vol. 100 p. 096407 2008
[7]J. Alicea, Majorana fermion in a tunable semiconductor device, Physical Review B vol. 81 p. 125318 2010
[8]R. M. Lutchyn, J. D. Sau, and S. Das Sarma, Majorana fermions and a topological phase transition in semiconductor-superconductor heterotructures, Physical Review Letters vol. 105 p. 077001 2010
[9]V. Mourik, et. al., Signature of Majorna fermions in hybrid superconductor-semiconductor nanowire devices, Science vol. 336 p. 1003-1007 2012
[10] Q. L. He, et. al., Chiral Majorana fermion modes in a quantum anomalous Hall insulator-superconductor structure, Science vol. 357 p. 294-299 2017
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