愛因斯坦將感到雙倍不可思議

量子關聯光體現了所有量子物理的怪異之處。它如今被用來協助觀測另一個奇異的現象：重力波。

2015年首次觀測重力波寫下了科學史的新篇章。來自十三億光年外，由兩個併合黑洞產生的訊號被雷射干涉引力探測器（Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory , LIGO）紀錄下來¹。（關於LIGO和重力波觀測，詳見Physics Today, April 2016, page 14，以及Barry Barish和Rainer Weiss所寫的 Physics Today, October 1999, page 44）。這份觀測數據在隔年發表，恰與愛因斯坦提出重力波的預測相隔一百年²。

有趣的是，愛因斯坦在他的生涯晚期不再相信重力波的存在。他在1936年寫了一篇手稿，宣稱他已經從數學上證明重力波並不存在。但在霍華德·波西·羅伯遜說服他這個證明有缺陷之後，愛因斯坦便將這篇文章全部重寫，爾後表示他不知道重力波是否存在（見Daniel Kennefick的著作： Physics Today, September 2005, page 43）。由於重力波是在愛因斯坦過世後才由廣義相對論嚴格推導得出，我們或許可以認定他心中對這個問題並沒有下最終定論。

愛因斯坦也相當關切量子物理的某個特定現象：量子糾纏，或是更廣義地來說，量子關聯性（quantum correlation）。這個效應首次被提出是在1935年由愛因斯坦和波里斯·波多斯基、納森·羅森兩位同事共同發表的論文中，名為EPR悖論的思想實驗³。作者群提出量子關聯性能證明量子理論的不完備。不過我們現在知道愛因斯坦與同事們說的並不正確，量子理論已被證明在其管轄範圍內是完備的。然而，物理學家們依舊無法在不引進量子外的假設下，清楚地解釋量子關聯系統背後的物理⁴。

毫無疑問的是，愛因斯坦一定會對我們現今用重力波來了解宇宙、第一階段的觀測已找到許多先前存在於假設的黑洞，而下一代的重力波探測器將試圖揭露在大爆炸後瞬間的可能訊號。不過我猜他會感到雙倍不可思議，當他知道他和兩位同事在1935年描述的量子關聯性會在今日被當作改善重力波觀測的工具。

量子物理的怪異之處

一般來說，要描述一個量子測量的不確定性分布需要透過對於大量完全相同的系統配置來進行所謂的系綜測量（ensemble measurement）。所有相同的物理系統必須保持在同樣的量子態並進行完全相同的測量，而測量也必須具備足夠精準度來清楚決定不確定度的散布。雖然每次測量的條件是一樣的，但個別的結果還是會分布在一個平均值周圍。這個分布的範圍就是量子不確定度。在多數情況中，不確定度的大小可以透過測量結果的標準差來完全描述。

由於量子理論是完備的故這個散布是完全隨機的；沒有隱藏的變數可以導致特定的測量結果出現。舉例來說，量子光學感興趣的一種系統是傅立葉轉換限制波包。傅立葉轉換的數學和物理確保這種波包的能量（取決於量子態）平均地分布在整個波包範圍內。因此若是測量此波包的能量分布，得到的結果與平均值必隨機的差距。此測量結果可以做為量子亂數，它們完全無法預測，就連量子電腦也做不到，純粹因為它們是真正的隨機。

量子關聯性描述的是這種隨機性之下的規律。任何形式的規律在邏輯上都能被視為隨機性的反證，也因此可以理解量子關聯性的存在使得二十世紀中葉的科學家質疑量子物理是否真正隨機。愛因斯坦、波多斯基、羅森提出所謂隱變數（hidden variables）的猜想，它們不屬於當前量子理論的框架且能準確決定量子測量的結果。隱變數的存在會讓量子理論變得不完備^３，而量子隨機性也不再真實，而僅是表面上的隨機罷了。愛因斯坦奉獻餘生尋找一個完整的理論，但最後沒有成功。

到了1980年代，實驗證據違反所謂貝爾不等式的事實終於證明了量子理論的完備性，其中沒有隱變數，而針對波包的測量結果必定是真正隨機⁴。實驗也證實了量子關聯性可以存在於量子不確定度之中──這似乎和量子測量的隨機性是矛盾的發現。此一怪異之處至今尚未被解決。著名的量子關聯態包括EPR糾纏態，薛丁格的貓，以及壓縮態（squeezed states）。

利用隨機的關聯性

壓縮態光是透過激發（pumping）共振腔內的晶體產生，這方面和傳統雷射沒有差別。不同的地方在於晶體是由雷射光激發，而不是熱燈泡，且激發光頻率必須剛好是目標壓縮態光的兩倍。此外晶體必須有較高的二階非線性項，意即它適合讓雷射頻率加倍。

圖一。產生壓縮態光。（a）圖中的半單片式壓縮共振腔（semimonolithic squeeze resonator）利用週期性極化過的磷酸氧鈦鉀晶體以及背面的反射鏡和另外的共振鏡來產生壓縮態光。晶體由波長532奈米的綠光雷射激發，產生出的壓縮態光則是不可見的1064奈米。（b）要產生可測量的壓縮效應，壓縮共振腔必須安置在溫控裝置中（如圖中）以維持在固定溫度，通常為40°C，以確保兩種不同波長的光在整塊晶體中都維持一樣的傳播速度。（c）若要為了重力波偵測而製造壓縮態光，首先得讓頻率 f 和干涉儀雷射相同的紅光雷射在共振器中進行倍頻。產生的頻率2f 的光線再接著通過分光鏡，此分光鏡對頻率f的光有高反射率而對頻率2f的光則有高穿透率，因此這道綠光便可以用來激發壓縮共振腔（改編自參考資料5）。

壓縮態光的產生是基於簡併光參量下轉換（degenerate optical parametric down-conversion），正是傳統雷射光倍頻的反過程。非線性晶體將光頻率2f的激發場（pumping field）轉換為兩個不可區分且頻率為f的光）。任何光的場振幅都必須有一個量子不確定度，而這一對經過下轉換的場也不例外，因此導致了一個有趣的情況：兩個場的強度不確定，但他們總是一模一樣。結果便是前文中提到的量子關聯性，此一關聯性存在於量子不確定性給出的隨機測量結果之中。

當原雷射略低於其震盪閾值時，產生的壓縮態光可以達到最強的量子關聯性⁵。結果便是光束強度很弱。要造出高亮度的壓縮態雷射光束，就得將一相同波長的傳統雷射以最佳的相位差疊加其之上。測量這種光束會得到壓縮過的光子數雜訊，如圖二（b）圖二和（d）所示。

圖二。光子數的量子統計。（a）在短時間∆𝑇內（∆𝑇≪∆𝑡，∆𝑡是光源的退相干時間）測量到的光子數沒有關聯性。它們對應到的是隨機，互相獨立的光子事件。如果每個時間窗口內的平均光子數較大⟨𝑁⟩∆𝑇≫1，光子數的量子不確定度可以由標準差𝑁∆𝑇=的高斯分布（紅色曲線）描述。（b）對於另一相干時間相同的強度壓縮態而言，光子數是隨機但彼此有關連的，因此產生一較窄的分布，在這裡標準差被縮小了倍。（c）將一正弦重力波訊號加至光子數雜訊便能顯示傳統量子雜訊帶來的干擾。（d）利用壓縮態光改善觀測同樣重力波訊號的訊噪比。（改編自參考資料10）

LIGO和另外兩個重力波觀測站，GEO600和Virgo，現在都使用壓縮態光來減少光源中量子不確定度帶來的雜訊，進而改善觀測站的靈敏度^5-9。圖三展示了其光學架設的示意圖。除了一道傳統雷射之外，還需要另一雷射來製造光學場在時間中有關聯性的壓縮態光。當兩道雷射光在干涉儀中疊加，長臂中的光場便成為EPR糾纏態。更重要的是，光電二極體所接收到的輸出場（其中可能包含各種任何重力波訊號）只會含有壓縮態量子雜訊。壓縮態讓圖二（a）到圖二（b）之間的標準差得以縮減，改善了圖二（c）和圖二（d）中重力波訊號的可見度。

圖三。重力波探測。當一重力波穿過探測器時，會在垂直其行進方向的空間做動態且振幅比為∆𝐿/𝐿的壓縮和延展。此時雷射光若沿著被伸長的空間軸前進會產生紅移，若沿著縮短的時空軸則會產生藍移。此一效應可以透過麥克生干涉儀將頻率變化轉譯為雷射輸出功率來觀測。所有的鏡子都像單擺一樣懸掛，盡所有可能地去除環境因素的影響。壓縮態光可以減少光電二極體所收到光子散粒雜訊，使得藍色數據點中的正弦波訊號得以從雜訊中分析出來。（改編自參考資料10）

就光源本身，頂尖的傳統雷射產生的光子數分布會圍繞平均值⟨N⟩呈現真正的隨機分布。舉例來說，考慮一個準單色雷射光束，其剩餘光譜能量（residual spectral energy）分布是半寬為∆f的高斯分布。傅立葉轉換的數學形式使得雷射光束中的能量必須在一高斯波包中均勻分布，而此分布的半寬為∆t=1/(4π∆f)，其中∆t代表電磁波相干時間的一半。

現在想像光電二極體可以測量到短時間∆T≪2∆t內的光束強度。我們知道測量到的能量值必須是單一光子能量的整數倍。但由於傅立葉轉換迫使光子能量必須在2∆t之間均勻散布，而在短時間∆T內被偵測到的光子必是真正的隨機分佈。

在沒有任何量子關聯性時，光子數的統計會反映彼此獨立的隨機粒子分佈如圖二（a）所示，然而在時間∆T內測量到的光會是所謂的相干態（coherent state）。這種情況下就適用卜松（Poisson）分布的特性：如果在時間∆T內平均偵測到⟨N⟩個光子，標準差就會是。

然而傅立葉轉換的數學是沒辦法規避的！所以若是用壓縮態光而偵測到光的譜寬∆f是定值，其光子還是無法聚集於短短的∆T時間窗口內而這些光子將如同傳統雷射光一樣必須隨機地出現。不過奇怪的是，對於壓縮態光在∆T時間內觀測到光子數的浮動遠小於。此分布出乎意料的尖銳峰值展現了量子奇怪之處，在所有重力波觀測站都能見到此現象。因此數學上傅立葉轉換的限制依舊仍在，故每個時間窗口內量測到的光子數一定都還是來自真正的隨機過程。但與此同時，此過程卻必須保有量子關聯性。不論此怪異現象背後未解的原因為何，都必須反映這兩件事實。

觀測台合作

自2019年四月以來，世界各地所有的重力波觀測站都使用可以產生壓縮態光的雷射來作為額外光源。這些壓縮態光和干涉儀中傳統的，較高強度的雷射光進行空間上的重疊，這樣可以為光電二極體偵測器的測量結果帶來壓縮態光子的統計，藉此減少雜訊（見圖三）。LIGO和Virgo在蒐集數據時平均每個禮拜可以記錄到超過一次重力波事件，而量子雜訊壓縮（quantum-noise squeezing）改善了這些事件的訊噪比^11,12。它同時也讓LIGO以及Virgo對雙中子星併合事件的偵測率分別提升了50% 和20%。壓縮態光所帶來的發現還包括黑洞併合和中子星與黑洞組成的雙體系統，這些都以不同的重力波事件被記錄下來。

重力波偵測器GEO600在2010年時率先配備了壓縮態光（見Physics Today, November 2011, page 11）。圖四的照片是GE600的壓縮態雷射，由我在德國漢諾威萊布尼茲大學的團隊於2009年設計打造。它是第一臺以長期使用和一鍵啟動為目標進行設計的壓縮態光雷射。往後它便持續擔任GEO600尋找重力波的重要功臣，直到今日還在運行^13,14。許多物理學家先前認為量子關聯光源對於重力波偵測站來說太容易出現錯誤，尤其是考慮到這些觀測站的目標是盡可能全年無休24小時運行。但是GEO600偵測器的壓縮態光是如此穩定且可靠，連LIGO和Virgo的科學家都決定開始使用壓縮態光。

圖四。GEO600壓縮態光雷射。此裝置底盤尺寸為135公分乘113公分。為了配合當今重力波觀測站使用的雷射波長，它製造的是波長1064奈米的壓縮態光。白色箭頭所指處是壓縮共振腔。裝置中另外還包括三個商用雷射，一個倍頻共振腔，用於將光耦合進入共振腔的透鏡和反射鏡，和其它對裝置中所有雷射光束進行長時間相位控制的元件。當這台雷射在2011年首次啟用時，它便將GEO600偵測器的訊噪比提高了3.5分貝。此一改善幅度後來增加至6分貝¹⁴。（圖片來源：Henning Vahlbruch）

為何重力波觀測站沒有早點開始引進壓縮態光呢？原因其一是因為技術尚未發展完成。參考資料6提供了相關技術挑戰的總覽。不過主要的原因是：只要簡單地提高干涉儀雙臂中的雷射光功率，壓縮態光就不再必要。當光功率調高十倍，重力波訊號的功率也會提升十倍，然而量子雜訊只會增加 \( \sqrt{10}\) 倍，這樣一來測量的靈敏度便能提升。從一開始，重力波觀測站就是為了高功率雷射設計的。在雙臂中共振腔加大功率，同時配備吸收率最小的鏡面和塗料，都大幅改善了觀測站的測量靈敏度。

在建造進階LIGO、進階Virgo或GEO600的初期，壓縮態光都不是計畫的一部分。不過，情勢在在2000年代初期變得顯而易見：反射鏡和分光鏡的殘餘吸收讓三個觀測站要達到預計靈敏度變得困難且昂貴，甚而要在預期時間範圍內完成近乎不可能。壓縮態光用於重力波偵測最主要的技術突破是在2004到2009這段期間，由澳洲坎培拉澳大利亞國立大學David McClelland 和Ping Koy Lam的研究小組，以及我在漢諾威萊布尼茲大學帶領的團隊完成。而在GEO600中引入壓縮態光的成功經驗也證實了偵測器的靈敏度增加而無須提高光功率。

提升表現

量子關聯性在重力波偵測的應用不只是一場技術的展示。壓縮態光已經證明自己可以用相對其它選項較低的成本來提升性能。建造合適的雷射來製造壓縮態光的成本估計約數十萬歐元；相比之下，增加觀測站的雙臂長度則是昂貴許多的提議。GEO600，LIGO，和Virgo三個觀測站目前都仍以低於設計值的光功率在運作，這個事實反映了壓縮態光用於改善光子統計有多麼價值連城。

截至目前為止，重力波觀測站輸出訊號中達成過最高的壓縮因子（squeeze factor）是在GEO600中，由圖四中的雷射創下。對應到的靈敏度增幅等同於將雙臂中雷射強度提高四倍¹⁴。雖然雷射可以提供高壓縮因子的光束（Virgo雷射的壓縮因子是10），去相干帶來的光學損耗將會限制最終的壓縮因子。舉例來說，如果在通過干涉儀後只有60%的壓縮光能夠抵達光電二極體，壓縮因子便會從10下降到約2.2。目前而言，考慮吸收與散射損耗，壓縮態光束和傳統光束疊加時的誤差，還有光電二極體的有限量子效率這些因素，光學損耗普遍約40%。不過，別忘了目前的觀測站並非為了壓縮態光而打造。未來的觀測站將能達到小於10%的損耗，如此一來壓縮因子10就不再是空談。

然而去相干帶來的損耗是應用量子關聯態會遇到的根本問題。如果能量流失到環境中，量子關聯性的強度就會降低。幸運的是，壓縮態對去相干還相對不靈敏。而且正確看待這個問題的方式應該是：不論有沒有使用量子關聯性，減少光學損耗都依舊是增加重力波觀測站靈敏度的方法。引入壓縮態光只是讓減少損耗帶來更多好處。

光學損耗也是為何雷射干涉太空天線（Laser Interferometer Space Antenna，LISA）至今還未規劃使用量子關聯態。兩百五十萬公里的超長臂長會讓雷射輻射散開，以至於只有一小部分的光子會被偵測。而壓縮態光能帶來的增益也微不足道。不過，壓縮態光已經成為重力波天文學不可或缺的一部分。它將會是下一代地面重力波觀測站（例如愛因斯坦望遠鏡和宇宙探索者）企圖達成更高的測量靈敏度時一項重要的因素。

壓縮的更多用途

當增加輸出光功率不再是最直接簡單的作法，量子不確定度經過壓縮的光便有明顯的優勢。它在鏡子質量不再容易增加時也很有用。組成LIGO觀測站長臂中共振腔的四面反射鏡各重40公斤。這些柱狀形且各面皆拋光的反射鏡是由低光學吸收率，高力學品質的熔融矽製成。而未來的重力波觀測站應會有重達200公斤以上的反射鏡。需要使用質量較大的鏡子是因為雷射光性質不確定性導致鏡子所受的輻射壓力不確定，進而替鏡子帶來不確定的動量和隨機的位置。結果便是所謂的量子輻射壓力雜訊。使用較大的鏡子質量就能減低這個麻煩的效應。

自1990年代以來，人們便知道光電二極體偵測到的統計分布（見圖二）可以和鏡面所受的輻射壓力不確定一同壓縮。原本普遍以為根據海森堡測不準原理，減低一種量子雜訊必定會提高另一種。後來由於關於量子關聯性的突破性理解，我們如今知道同時減低兩種量子雜訊過程會在光場和反射鏡的位移之間帶來量子關聯性。這種關聯性最近也在LIGO其中一個觀測站使用壓縮態光時被觀測到^15,16。

在計畫製造的愛因斯坦望遠鏡中，鏡面位移和反射雷射光之間的量子關聯性應該能協助該裝置在2030年左右達成目標靈敏度，並首次針對宇宙重力波背景進行觀測。以電磁輻射為觀測對象的天文學研究最多可以探測到大爆炸後約三十八萬年，再更早的時期則是電磁輻射無法穿透的。觀測重力波背景可以提供一個難得的機會，供我們一窺大爆炸後不到一秒內的信息。

量子關聯科技

重力波天文學中光學測量技術的進展也可以應用在產業與醫療領域中的類似科技。如果儀器的靈敏度無法簡單地透過提高光輸出來改善，利用量子關聯光可以是一個替代方案，前提是量測方法要能捕捉到夠多的量子關聯光。提高光輸出的困難性可能有很多起因。如果光的強度超過眼睛的安全範圍，便需要支出雷射保護的開銷。光敏度也是用雷射探測醫學或生物樣本時常常會遇到的問題。壓縮態光可以在較低的輸出達到高測量靈敏度，藉此避免破壞細胞。

無數的科學家和政府都在期待著所謂的第二次量子革命。掀起第一次量子革命的推手之一就是雷射技術的發展，而雷射在今天也已經是許多日常電器的一部分。第二次量子革命影響範圍可能更加廣泛。最廣為人知的發展面向就是量子電腦，而它便是以量子關聯的單元作為基礎（見Lieven Vandersypen 和Mark Eriksson所著於Physics Today, August 2019, page 38）。另一個例子是安全通訊和量子密碼學。使用量子關聯的方法讓我們不只可以加密通訊管道，還可以確保雷射裝置與測量儀器的安全。（見Marcos Curty，Koji Azuma和Hoi-Kwong Lo所著於Physics Today, March 2021, page 36）

量子科技產品所仰賴的量子物理不一定要有量子關聯性。但是那些使用量子關聯系統的技術如今確實有所進展，它們可以被適切地稱為量子關聯性科技。雖然壓縮態光目前被發展為重力波觀測站中的終端使用者產品，但它在產業與醫療中的潛在應用或許能帶來第一個商用的量子關聯性裝置。

作者 Roman Schnabel 任教於德國漢堡大學的雷射物理研究所。

本文感謝Physics Today (American Institute of Physics) 同意物理雙月刊進行中文翻譯並授權刊登。原文刊登並收錄於Physics Today, November 2022 雜誌內 (Physics Today 75, 8, 46 (2022); https://doi.org/10.1063/PT.3.5063)。原文作者：Roman Schnabel 。中文編譯：林祉均，國立清華大學學生。

Physics Bimonthly (The Physics Society of Taiwan) appreciates that Physics Today (American Institute of Physics) authorizes Physics Bimonthly to translate and reprint in Mandarin. The article is contributed by Roman Schnabel, and is published on (Physics Today 75, 8, 46 (2022); https://doi.org/10.1063/PT.3.5063)The article in Mandarin is translated and edited by J.L Lin, Studying at the Department of Physics, National Tsing Hua University.