冷原子實驗中等效規範場的量子模擬

  • 物理專文
  • 撰文者:林育如(中央研究院原子與分子科學研究所)
  • 發文日期:2022-10-01
  • 點閱次數:225


自從1985 年物理學家發展出雷射冷卻與捕捉原子的物理與技術(1997 年諾貝爾物理獎),以及其後的蒸發冷卻(evaporative cooling)技術, 原子的絕對溫度可被降到10−5 - 10−10 K(Kelvin)的範圍, 可達到足夠低溫的非古典範疇。此時古典的Maxwell -Boltzmann statistics 統計分布已不再適用,我們必須使用量子統計分布才能正確描述此類物理系統。量子統計分布包括玻色-愛因斯坦統計(Bose-Einstein statistics)與費米-狄拉克統計(Fermi-Dirac statistics)。量子統計分布的種類取決於粒子的自旋角動量(spin angular momentum):以 \( \hbar\)(\(h / 2\pi \),h 為普朗克常數)為單位,自旋為整數的玻色子(boson)遵循玻色-愛因斯坦統計;自旋為半整數(half integer)的費米子遵循費米-狄拉克統計。當溫度冷至絕對零度時,玻色粒子(bosons)都佔據最低能量的能階,形成玻色愛因斯坦凝聚態(Bose-Einstein condensate,BEC),亦可稱為玻色凝聚態;而費米子(fermions)佔據的能階由最低能量態到費米能 \(E_F\)(Fermi energy)(見圖一)。玻色凝聚的原子數一般為105 - 106 ,原子空間密度約為1014 cm−3,因此也稱之為量子氣體。玻色凝聚氣體於1995 年在實驗中實現,亦為2001 年諾貝爾物理獎。

fig1.png

圖一:(a)隨著溫度 \(T\) 降低,德布羅意物質波長 \( \lambda_{dB}\)(de broglie wavelength)增大,當 \( \lambda_{dB}\) 增大到與原子間距 \(d\) 相近時,即達到玻色凝聚的臨界溫度 \(T_c\) 當 \(T=0\),所有的原子都在玻色凝聚態。(圖片來源:Opt. Express, 2:299−313(, 1998)) (b)\(T=0\),玻色子與費米子各自的量子統計分布。




本文將討論的冷原子系統為玻色凝聚態。此凝聚態的所有原子皆佔據同一個量子態,因此我們稱之為巨觀波函數(macroscopic wave function)。巨觀波函數為複數(complex number),具有振幅與相位,振幅的平方代表原子數密度。由於巨觀波函數在空間中是連續的,沿著一個封閉迴圈回到原點的相位差必須是 \(2 \pi \times n\),\(n\) 為整數。\(n \neq 0\) 即此封閉迴圈內有 \(n\) 個量子漩渦(quantized vortices)。我們可用環流量(circulation)來描述漩渦,\(\oint \vec{p}/ m \cdot d \vec{l}\)。不同於古典漩渦的連續環流量,量子漩渦的環流量是量子化的,為 \(h/m\) 的整數倍;\(m\) 為原子質量。玻色凝聚氣體的原理與概論可參考[1]。

冷原子系統具有如下特點:由於將原子侷限在空間的位能阱是以光的電場或磁場精密控制,可達到幾乎無雜質。另外,此系統具有良好的可調控度,例如可利用費甚巴赫共振(Feshbach resonance), 以外加磁場調控原子交互作用強度,並可控制交互作用為互斥或互吸 。因此,冷原子的位能與交互作用為精確可知的,不需做任何近似。由於具有這些特色與優勢,物理學家可用冷原子為平台模擬固態系統中複雜的模型,以及策劃調控(engineer)固態系統中無法產生的新穎物理模型。實驗學家量測冷原子的方法有別於多數固態系統所使用的傳輸(transport,例如量測電流),而是直接偵測原子的光學影像,以得到原子各個自旋態的空間分布。近年來原子的光學成像已經達到微米以下的精密度,可觀察單顆原子的成像。

以冷原子量子氣體系統為平台所作的各種量子模擬當中,有一項為模擬量子霍爾效應[2],即二維空間中帶電粒子在強磁場下的物理。如前段所述,由於冷原子可被精確調控,幾乎無雜質,亦可直接偵測其影像,這些都是以其研究量子霍爾效應相較於固態系統的優勢。在電磁學理論中,我們用規範場(gauge field;gauge potential)\( \vec{A}\) 來描述磁場 \( \vec{B}= \nabla \times \vec{A}\)。由於量子氣體為不帶電的中性原子,因而在外加磁場下並不似帶電粒子會受到勞倫茲力(Lorentz force),\(\vec{F}_L \propto \vec{v} \times \vec{B}\)(圖二a 以及其說明)。因此,物理學家提出「中性冷原子系統的等效規範場 \(\vec{A}^{\ast}\)」之概念,即中性冷原子的等效勞倫茲力。始自2000 年初,實驗學家以機械方式轉動冷原子玻色凝聚,由於在轉動座標系中的科氏力(Coriolis force),\(\vec{F}_c \propto \vec{v} \times \vec{\Omega}\),與帶電粒子在外加磁場下的勞倫茲力有一樣的形式,因此在轉動座標系中可產生「等效磁場 \(\vec{B}^{\ast}\)」。

由於量子氣體為超流體,旋轉量子氣體可觀察到量子漩渦(圖三a)。其他超流體系統的例子包括氦超流體,其漩渦核心(vortex core)很小而難以偵測,相較之下冷原子量子氣體的漩渦核心是可以光學影像偵測到的。另外,超導體在外加磁場下有漩渦出現,如同旋轉超流體原子亦可產生漩渦,可見旋轉具有等效磁場的效應。

然而,機械旋轉的實驗方式會受到技術性的限制而無法旋轉得夠快以產生強等效磁場,因而不足以達到量子霍爾效應所需的磁場強度。此技術性限制的主要原因是原子的侷限位能阱無法調控到具有完美的柱狀對稱性(cylindrical symmetry),如此在轉動座標系中會產生一個反方向旋轉的微小擾動位能(perturbing potential)。

為了避免轉動坐標系的技術性困難,物理學家尋找在實驗室座標系中產生等效規範場的方法。理論學家提出以雷射光耦合原子並控制原子的相位,以此產生等效規範場。此基本原理為藉由雷射光轉移光子的動量給原子(圖三b),等效於印記(imprint)相位給原子,如此改變了原子的力學動量(kinetic momentum)型態,成為 \( \vec{p}_K= \vec{p}-\vec{A}^{\ast}=mv\),力學動量 \(\vec{p}_K\) 等於質量乘以速度,\(\vec{p}\) 為正則動量(canonical momentum)。在沒有雷射光耦合原子之下,等效規範場 \(\vec{A}^{\ast}\) 不存在,力學動量等於正則動量。中性冷原子在等效規範場 \(\vec{A}^{\ast}\) 之下具有 \( \vec{p}_K= \vec{p}-\vec{A}^{\ast}\),如同帶電粒子在外加磁場之下的 \( \vec{p}_K= \vec{p}-q \vec{A}\)(圖二b)。為了方便討論起見,我們一般設定等效規範場的 \(q^{\ast}=1\)。

fig2.png

圖二:(a)帶電荷 \( q \) 的粒子在外加磁場 \(\vec{B}\) 之下受到勞倫茲力而作迴旋運動(cyclotron motion)。(b)不帶電荷的中性原子在等效磁場 \(\vec{B}^*\) 之下的迴旋運動,力學動量 \( \vec{p}_K= \vec{p}- \vec{A}^*\),\(KE\) 為動能。(c)Aharonov-Bohm effect:通電流的螺線管(solenoid)產生的磁場侷限於螺線管內,螺線管外的磁場 \(\vec{B}=\nabla \times \vec{A}\) 為零,仍具有向量勢 \(\vec{A} \neq 0\)。帶電粒子沿著路徑1 以及路徑2 到達粒子數偵測器位置的相位差為 \( \phi_2 - \phi_1\) 而有干涉效應,粒子數\( \propto 1+ \cos( \phi_2 - \phi_1)\)。磁通量 \( \Phi \propto (\phi_2 - \phi_1 )\)。



 

fig3.png

圖三:(a)傳統機械旋轉方式在玻色凝聚中產生量子漩渦的晶格陣列。(b)以雷射光耦合玻色凝聚原子:兩道不同傳遞方向的拉曼雷射光可轉移雙光子的動量給原子,產生在實驗室座標系中的等效規範場,有別於(a)。玻色凝聚的影像亦顯示量子漩渦,證實了等效磁場的產生。(原子影像數據來源:(a)Phys. Rev. Lett. 84, 806(2000)、 Phys. Rev. Lett. 90, 170405(2003);( b)Ref.[3] )

 

2009 年實驗學家首次在冷原子玻色凝聚系統實現了等效磁場[3] 與「自旋軌道耦合」(spin-orbit coupling,SOC),為一維自旋軌道耦合 [4]( 圖四 a);此自旋軌道耦合為原子的自旋與原子質心運動(可為動量或角動量)之耦合,並對應到等效規範場[5]。類似的實驗方式也被應用在費米量子氣體中以實現自旋軌道耦合。二維以上的自旋軌道耦合對應到非阿貝爾等效規範場(non-abelian gauge field)。

fig4.png

圖四:(a)一維自旋軌道耦合的energy dispersion:能量對動量的關係 \(E(p_x)\);(b)二維自旋軌道耦合的例子之一:Rashba SOC,\(E( p_x , p_y)\)(圖片來源:Phys. Rev. A, 78, 02361(2008));(c)拓樸絕緣體:紅色表示導電帶,藍色表示價帶,綠色曲線為表面態。

 

等效規範場可連結到拓樸態
一般來說,系統或材料的拓樸可用「拓樸不變量」(topological invariant number)來量化表示[6]。固態材料中的拓樸態包括拓樸絕緣體(topological insulator)(見圖四c)與拓樸超導體(topological superconductor);拓樸絕緣體的拓樸不變量為非零的整數,而一般絕緣體和真空的拓樸不變量為零。如同固態系統在有自旋軌道耦合的作用下可產生拓樸絕緣體,冷原子系統在有等效自旋軌道耦合的作用下可產生類似拓樸絕緣態,例如量子自旋霍爾效應(quantum spin Hall effect)[7],並且在具有交互作用之下可產生拓樸超導體[8]。在2016以及2021 年,實驗學家已實現了二維[9,10]以及三維[11] 的自旋軌道耦合,由此可見實現冷原子拓樸態具有的潛力,可預期未來實驗的繼續蓬勃發展。

冷原子系統在光學晶格下的等效規範場
在導論提到的2009 年實現冷原子等效磁場的實驗,其較為適用的幾何形狀為長條形,以利於產生強(等效)磁場。在這個章節我們討論另一個可適用於一般幾何形狀的方式,為使用光學晶格(optical lattices)。光學晶格為以雷射光產生駐波形成的週期性位能阱,可將原子侷限在各個晶格位置,相鄰晶格的原子可藉由互相穿隧(tunnel)而耦合。在二維空間 \( (x , y) \) 中,物理學家可設計在 \( y \) 方向以雷射光配合能階調控以耦合相鄰晶格的原子,此耦合為複數 \(J\)(見圖五a),此複數的相位(phase)來自雷射光的印記(imprint)。此相位具有沿著 \( x \) 方向的梯度,可由適當雷射光傳遞方向而產生。如此,原子沿著一個單位晶格耦合到相鄰晶格,繞過一圈回到原本的晶格位置後可得到一個非零的相位累積(見圖五b),類比於帶電粒子在真實磁場下的AB 效應(Aharonov-Bohm effect)之相位累積(見圖二c)。物理學家可設計此相位為 \(2\pi \) 的分數倍( \(2\pi \times s\) ,\(s\) 為有理數),亦即在單位晶格的面積內產生磁通量 \(\Phi = h\times s\) ,也就是產生了等效磁場。此系統實現了哈伯-霍夫斯塔德模型(Harper-Hofstadter model)[12]。

fig5.png

圖五:(a)哈伯-霍夫斯塔德模型(Harper-Hofstadter model):原子在二維的光學晶格中, \(x\) 方向相鄰晶格原子的耦合振幅為 \(K\),其相位為零。\(y\) 方向相鄰晶格原子的耦合為 \( J(x_n) \propto e^{-i \phi_n}\),其相位 \(\phi_n\) 具有沿著 \(x\) 方向的梯度,因此 \( \phi_{n+1}-\phi_n \neq 0\)。(b)原子沿著一個單位晶格耦合到相鄰晶格,繞過一圈得到一個非零的相位累積,因而產生等效磁通量 \( \Phi \)。

 

等效維度
於2014 年,物理學家引進一個新穎的想法:在本文前一段「使用光學晶格系統產生等效規範場」的概念與架設中,將真實二維空間 \( (x , y) \) 中的 \( y \) 維度改為非真實空間的「等效維度」(synthetic dimension)[12,13],此等效維度為原子的自旋自由度,稱為 \( y' \) 維度。如此,沿著等效維度 \( y' \) 方向相鄰的「晶格位置」的原子的互相耦合,亦即原子的自旋態 \(m_F\) 與 \(m_F + 1\) 由雷射光引起的互相耦合。此耦合的相位具有沿著 \( x \) 方向的梯度,因而在 \( (x , y') \) 沿著一個「等效單位晶格」繞一圈可得到相位累積(見圖六a),如同在真實空間 \( (x , y) \)中的相位累積。 等效維度具有一個重要的性質:由於此維度為自旋態,最高和最低的自旋角動量對應到等效維度兩端的邊界,此邊界如同無限位能阱(infinite potential well)的不可穿隧之邊界(impenetrable wall)。於2015年,兩個實驗團隊實現了等效維度[14,15]。如圖六b 所示,在Ref.[14] 中,作者量測了沿著 \(x\) 方向移動並侷限在 \(y'\) 方向兩個邊界處的邊緣態(edge states),以及原子碰到邊界反彈而形成的skipping orbits:原子在等效勞倫茲力作用下轉圈,轉了半圈後碰到不可穿隧之 \(y'\) 邊界而彈回。作者由直接偵測原子的光學影像量測各個自旋態的速度,因此直接觀測到手徵邊緣態(chiral edge states);這兩個邊緣態為沿著 \(+x\) 與 \(−x\) 方向移動,而等效磁場的方向決定了skipping orbits 轉圈的方向為順時針(chirality)。


fig6.png

圖六:(a)等效維度:\(x\) 方向為真實空間的維度,\(y'\) 方向為代表自旋自由度的等效維度:\(m_F\)。藉由調控自旋態彼此耦合 \(j'(x_n) \propto e^{-i \theta_n}\),使其相位 \(\theta_n\) 具有沿著 \(x\) 方向的梯度,可產生等效維度 \( (x,y') \) 中的等效磁通量。(b)上圖:\(y'\) 方向位於 \(m_F= -1\) 的邊緣態沿著 \(x\) 方向移動,顯示了skipping orbits。下圖:\(y'\) 方向位於 \(m_F= -1\) (藍)與 \(m_F= 1\) (粉紅)的手徵邊緣態。((b)數據來源:Ref.[14] )



未來展望
目前,致力於在冷原子系統中建立與調控等效規範場的實驗著重於以下:實現強交互作用下的拓樸態以及模擬晶格規範理論(lattice gauge theory)。強交互作用下之拓樸態的例子之一為分數量子霍爾態(fractional quantum Hall state)。於2017 年,物理學家在Harper-Hofstadter model 的模擬實驗中量測兩個原子在等效磁場下的動力學,並觀察到原子交互作用對於此系統動力學的影響[16]。此實驗可做為實現分數量子霍爾態的前導(precursor),預計將來可將冷原子製備於基態(ground state)以觀測到此量子態有趣的表現,例如直接偵測邊緣態的光學影像[17]。另一個研究焦點為以實驗模擬動態規範場(dynamical gauge field),亦即超越先前以實驗參數控制等效規範場的靜態規範場(static gauge field)。靜態規範場只會受到實驗參數的影響;更進一步的研究為達到動態規範場,亦即,使原子在等效規範場的作用下的運動亦可影響等效規範場,因此稱之為「此規範場有其動力學」,也就是動態規範場:此研究可做為模擬晶格規範理論的導引,目前,帶來開創性進展的實驗包括Ref.[18-20]。


筆者的等效規範場實驗研究
自2018 年,筆者與合作者使用拉曼雷射光耦合(Raman laser coupling)實現了玻色凝聚態的自旋-原子質心軌道角動量耦合(spin-orbital-angular-momentum coupling,SOAMC)[21,22]。此系統為帶有自旋自由度的玻色凝聚,因此稱其為「旋量玻色凝聚」(spinor Bose-Einstein condensate)。我們使用兩道同方向傳遞的拉曼雷射光,其中一道光為橫向模態TEM00 的高斯光束(fundamental TEM00 transverse Gaussian mode),我們簡稱此道光為 G。另一道光為高階橫向模態的高斯光束,其橫向模態具有柱狀對稱,是為Laguerre-Gaussian modes,簡稱此道光為LG。LG 光的相位環繞數(phase winding number)為1(見圖七b),亦即帶有光的軌道角動量 \(\hbar\)。拉曼光躍遷也就是雙光子躍遷(two photo ntransition):如圖七a,自旋態為 \(m_F = −1\) 的原子從雷射LG 吸收一個光軌道角動量為 \(\hbar\) 的光子,然後放射出一個光軌道角動量為零的光子到雷射G。在兩道雷射光頻率差 \(\Delta \omega_L\) 接近於自旋 \(m_F = −1\) 與自旋 \(m_F = 0\) 的能階差 \( \omega_Z \) 的情況下是為接近雙光子共振(two photon resonance),如此自旋態為 \(m_F = −1\) 的原子可躍遷到自旋態 \(m_F = 0\);同時原子吸放光子而獲得光的軌道角動量 \(\hbar\)。因此,拉曼光可耦合原子的‘‘ 自旋態 \(m_F = −1\),質心軌道角動量  \( \tilde{l}\) ’’ 與‘‘ 自旋態  \(m_F = 0\),質心軌道角動量 \( \tilde{l}+ \hbar\) ’’。同理,‘‘ 自旋態 \(m_F = 0\),質心軌道角動量 \( \tilde{l}+ \hbar\) ’’ 可耦合到‘‘ 自旋態 \(m_F = 1\),質心軌道角動量 \( \tilde{l}+ 2\hbar\) ’’,也就是實現了自旋-原子質心軌道角動量耦合(見圖七c)。由於三個自旋態的軌道角動量有相關性:自旋態 \(m_F\) 與其軌道角動量為 \( \{ |m_F = −1 , \tilde{l} \rangle,|m_F = 0, \tilde{l} + \hbar \rangle,|m_F = 1, \tilde{l} +2 \hbar \rangle\}\),因此只需以 \( \tilde{l}\) 即可描述此旋量玻色凝聚; \( \tilde{l}\) 為「準角動量」(quasi orbital-angular momentum)。

fig7.png

圖七:(a)原子能階:自旋角動量 \(m_F= -1,0,1\) 的三個自旋態能階在外加磁場下分裂,能階距離為 \( \omega_Z\)。兩道拉曼光LG(藍色)與G(橘色)的角頻率差為 \( \Delta \omega_L\),Raman detuning 為 \( \delta = \Delta \omega_L -\omega_Z\),當 \( \delta\) 足夠小,拉曼光可耦合 \(m_F\) 與 \(m_F + 1\) 自旋態。(b)LG 拉曼光的光強度與相位的空間分布(c)旋量玻色凝聚在拉曼光作用下的自旋-原子質心軌道角動量耦合。實驗量測三個自旋態於 \( (x,y) \) 平面的二維密度空間分布;相位空間分布為簡單示意圖。準角動量 \( \tilde{l}=0 \),\(m_F=-1,0,1\)  各自的軌道角動量為 \(0,\hbar,2 \hbar\)。具有 \(\hbar,2 \hbar\) 的原子之相位環繞數 \( \neq 0\),因此 \(r=0\) 為相位奇異點(singularity),在此點密度為零。\( \delta / 2 \pi =250 \hspace{1mm} \text{Hz}\)。((c)圖片來源:Ref.[22] )



「自旋-原子質心軌道角動量耦合」等效於產生沿方位角(azimuthal)方向之規範場 \( \vec{A}^{\ast}=A^{\ast}(r) \hat{\phi}\),與等效磁場 \( \vec{B}^{\ast}=\nabla \times \vec{A}^{\ast}=B^{\ast}(r) \hat{z}\) ;此處使用柱座標 \( (r, \phi, z)\)。磁場 \(B^{\ast}(r)\)隨著 \(r\) 增加而遞減,見圖八。相較之下,傳統的機械轉動方式產生的等效規範場亦為沿著方位角方向 \( \hat{\phi}\),然而其沿著軸向 \( \hat{z}\) 的等效磁場有均勻的空間分布。圖八亦展示了旋量玻色凝聚的自旋角動量 \(  \langle \vec{F} \rangle\) 之空間分布,等效規範場可由其導出[22]。

fig8.png圖八 :(a)旋量玻色凝聚的自旋角動量 \( \langle \vec{F}\rangle \) 方向的空間分布 \(- \langle \vec{F}\rangle (x,y,z)\)。(b)等效規範場 \(A^*(r)\) 與等效磁場 \(B^* (r)\)。

本實驗的設置為以接近柱對稱(cylindrical symmetry)的方式旋轉,如同用以量測超流體分量(superfluid fraction)的「旋轉容器實驗」(rotating bucket experiment)[23-25]。早期,此實驗為旋轉盛裝氦流體的容器(見圖九a),用以量測超流體分量對溫度的關係。在臨界溫度 \(T_c\) 以上流體均為正常態(normal state),超流體分量為零;當溫度降到 \(T_c\) 以下,超流體分量出現並且隨著溫度下降而增加,理論上在絕對零度時超流體分量為100%。


圖九:(a)旋轉容器實驗(rotating bucket experiment)例子之一。旋轉的圓柱狀容器內盛氦流體He4,量測氦在超流體態的角動量 \(L\) 對旋轉角頻率 \( \Omega\) 的關係:氦超流體的赫斯-費爾班克效應。\( \Omega\)  在臨界值之下,\( L=0\)。(圖片來源:Ref.[26] )(b)超導體的麥士納效應:外加磁場小於臨界磁場之下,超導體內部磁場 \(B_{interior}=0\)。(c)旋量玻色凝聚量子氣體的旋轉容器實驗:玻色凝聚為超流體態,展現赫斯-費爾班克效應。Raman detuning \(\delta\) 可調控等效轉動,此轉動的臨界值對應到 \( \delta / 2 \pi = 210 \hspace{1mm} \text{Hz}\);在臨界值之下(之上),準角動量 \( \tilde{l}\) 的理論值為 \(0(- \hbar)\),而我們量測到的 \(m_F=-1\) 原子密度空間分布與理論相符。(圖片來源:Ref.[22] )



我們也觀察到此等效規範場下關聯的物理現象:以等效規範場轉動冷原子玻色凝聚,觀察超流體的赫斯-費爾班克效應(Hess-Fairbank effect)[26],是為第一個超冷原子量子氣體的旋轉容器實驗。赫斯-費爾班克效應等效於第一類超導體(type I superconductor)的麥士納效應(Meissner effect),即超導體在外加磁場下,當磁場小於一臨界值時超導體內的總磁場為零(見圖九b)。我們的實驗步驟如下:在遵循Maxwell Boltzmann 統計分布的熱原子狀態下,我們等效轉動此原子系統,由於在臨界溫度之上的熱原子為正常態,熱原子即獲得角動量。然後我們將原子冷卻至玻色凝聚態成為超流體。 在超流體態,當等效轉動足夠小時我們量測到玻色凝聚的準角動量 \( \tilde{l}\) 為零;而在等效轉動超越一臨界值之後 \( \tilde{l}\) 從零跳躍到 \(- \hbar\)(見圖九c)。此研究為轉動量子氣體開啟新的契機,未來可延續並致力於測試量測超流體分量的精確度,並與理論比較。

參考文獻:

  1. A. J. Leggett, “Bose-Einstein condensation in the alkali gases: Some fundamental concepts,” Rev. Mod. Phys.,vol. 73, no. 2, pp. 307 -356, Apr. 2001.
  2. J. E. Avron, D. Osadchy, and R. Seiler, “A Topological Look at the Quantum Hall Effect,” Phys. Today, vol. 56,no. 8, p. 38, Jan. 2007.
  3. Y.-J. Lin, R. L. Compton, K. Jiménez-García, J. V. Porto, and I. B. Spielman, “Synthetic magnetic fields for ultracold neutral atoms,” Nature, vol. 462, no. 7273, pp. 628 -632, Dec. 2009.
  4. Y.-J. Lin, K. Jiménez-García, and I. B. Spielman, “Spin-orbit-coupled Bose-Einstein condensates,” Nature, vol. 471, no. 7336, pp. 83 -86, Mar. 2011.
  5. N. Goldman, G. Juzeliunas, P. Öhberg, and I. B. Spielman, “Light-induced gauge fields for ultracold atoms,” Rep. Prog. Phys., vol. 77, no. 12, p. 126401, 2014.
  6. T.-R. Chang, “ 拓樸材料與拓樸能帶理論,” 物理雙月刊, vol. 39, no. 5, p. 21, 2017.
  7. X.-L. Qi and S.-C. Zhang, “The quantum spin Hall effect and topological insulators,” Phys. Today, vol. 63, no. 1, p. 33, Dec. 2009.
  8. C. Zhang, S. Tewari, R. M. Lutchyn, and S. Das Sarma, “Px+ipy superfluid from s-wave interactions of fermionic cold atoms,” Phys. Rev. Lett., vol. 101, no. 16, p. 160401, Oct. 2008.
  9. L. Huang et al., “Experimental realization of two-dimensional synthetic spin–orbit coupling in ultracold Fermi gases,” Nat. Phys., vol. 12, no. 6, pp. 540-544, Feb. 2016.
  10. Z. Wu et al., “Realization of two-dimensional spin-orbit coupling for Bose-Einstein condensates.,” Science, vol. 354, no. 6308, pp. 83 -88, Oct. 2016.
  11. Z. Y. Wang et al., “Realization of an ideal Weyl semimetal band in a quantum gas with 3D spin-orbit coupling,” Science (80-. )., vol. 372, no. 6539, pp. 271 -276, Apr. 2021.
  12. N. Goldman, J. C. Budich, and P. Zoller, “Topological quantum matter with ultracold gases in optical lattices,” Nat. Phys., vol. 12, no. 7, pp. 639 -645, Jun. 2016.
  13. T. Ozawa and H. M. Price, “T opological quantum matter in synthetic dimensions,” Nat. Rev. Phys., vol. 1, no. 5, pp. 349-357, May 2019.
  14. B. K. Stuhl, H.-I. Lu, L. M. Aycock, D. Genkina, and I. B. Spielman, “Visualizing edge states with an atomic Bose gas in the quantum Hall regime.,” Science (80-. )., vol. 349, no. 6255, pp. 1514 -8, Sep. 2015.
  15. M. Mancini et al., “Observation of chiral edge states with neutral fermions in synthetic Hall ribbons,” Science(80-. )., vol. 349, no. 6255, pp. 1510 -1513, Sep. 2015.
  16. M. E. Tai et al., “Microscopy of the interacting Harper{\textendash}Hofstadter model in the two-body limit,” Nature, vol. 546, no. 7659, pp. 519-523, Jun. 2017.
  17. N. Goldman et al., “Direct imaging of topological edge states in cold-atom systems,” Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A., vol. 110, no. 17, pp. 6736 -6741, Apr. 2013.
  18. C. Schweizer et al., “Floquet approach to \( \mathbb{Z}\)2 lattice gauge theories with ultracold atoms in optical lattices,” Nat. Phys., vol. 15, no. 11, pp. 1168-1173, Nov. 2019.
  19. A. Mil et al., “A scalable realization of local U(1) gauge invariance in cold atomic mixtures,” Science (80-. ).,vol. 367, no. 6482, pp. 1 128-1130, Mar. 2020.
  20. B. Yang et al., “Observation of gauge invariance in a 71-site Bose-Hubbard quantum simulator,” Nature, vol. 587, no. 7834, pp. 392 -396, Nov. 2020.
  21. H.-R. Chen et al., “Spin-Orbital-Angular-Momentum Coupled Bose-Einstein Condensates,” Phys. Rev. Lett., vol. 121, p. 113204, Sep. 2018.