量子霍爾平台-平台相變

量子霍爾平台-平台相變

圖一顯示量測霍爾電壓與縱向電壓的示意圖。在我們熟悉的霍爾效應中，霍爾電阻會隨著磁場呈現線性的增加。然而，當溫度極低且磁場極強時，在二維電子系統中，會出現一種稱為量子霍爾效應的現象。量子霍爾效應有兩個顯著特徵：首先，霍爾電阻會被量化，即電阻的值會固定在特定的數值上，計算公式為[h/(ie2)]，其中h為普朗克常數、e是基本電荷而i是藍道能階填充係數。此外，會有伴隨之近乎零的縱向電阻。當i是整數時，稱為整數量子霍爾效應，並與拓樸相變有密切關係[1]，相關數據請見圖二左圖。當i是分數(如1/3與2/3)時，則稱為分數量子霍爾效應。中興大學孫允武教授之前在物理雙月刊有詳盡介紹此量子特性[2]。除此之外，量子霍爾電阻目前是國際公認用來維持電阻標準(正確量化值(accurately quantized)通常可達10^-8)，其元件從原本的砷化鎵/砷化鋁鎵半導體異質結構變成在碳化矽基板上之公厘尺度的單層石墨烯[3]。

圖一: 量測霍爾電壓(V_H)與縱向電壓(V_L)的示意圖，外加磁場B指出頁面。霍爾電壓/電流(I)=霍爾電阻。縱向電壓/電流=縱向電阻。

圖二: 左: 砷化銦鎵為基二維電子氣在不同溫度下縱向電阻率、霍爾電阻率與霍爾電阻率對磁場微分圖。右: 霍爾電阻率對磁場微分極值對溫度的對數圖與縱向電阻寬度對溫度的對數圖。取自參考文獻[4]。

本文著重於相鄰量子霍爾電阻平台間之相變[4, 5] (圖二左圖)。如圖二右圖所示，在InGaAs/InP半導體系統中在量子霍爾平台-平台相變區域霍爾電阻對磁場的微分極大值(電阻峰寬度)對溫度會顯示冪定律(power law): $$(dR_{xy}/dB)_{max}\sim T^{-k}$$其中$$\boldsymbol{k}$$為臨界指數(critical exponent)，為重要指數。在諾貝爾桂冠崔琦團隊開創性的實驗工作顯示$$k\approx =0.42$$且不受藍道能階影響[4]，被稱為一致性(universal)。在另一諾貝爾桂冠馮克青(von Klitzing)團隊則報導在砷化鎵/砷化鋁鎵異質結構中$$\boldsymbol{k}$$有隨著樣品遷移率降低而升高的趨勢[6]。這引發了學術界的討論，有些學者認為$$\boldsymbol{k}$$可能並不具有一致性(non-universal) [7,8]，但這不是本文企圖嘗試解決的難題。筆者想提一下在最近三層石墨烯實驗顯示在整數及分數量子霍爾相變中$$\boldsymbol{k}$$=0.41，該團隊指出短距離的散射有助於觀察到universal$$\boldsymbol{k}$$[9]。雖然第一個有關臨界指數的工作是在1988年被報導，但是後續還是值得觀察與研究[10]。

值得注意的是，在量子霍爾平台-平台相變中，雖然有時並不會觀察到不隨溫度變化的固定點(temperature-independent point)。然而有一些實驗結果確實顯示了固定點的存在。其中最具代表性的例子之一，來自於姜弘文(Hong Wen Jiang)教授團隊。他們觀察到對應於安德森侷限效應[11]到整數量子霍爾效應再回到安德森侷限效應的不隨溫度變化之縱向電阻[12](圖三)，其臨界磁場大約是2.6 T與4.3 T。值得一提的是，筆者在博士班時學長Robert Hughes也完成類似的工作[13]。此固定點可被視為量子相變的邊界，在此臨界點附近會有簡單尺度表現(scaling behavior)。此外，台大物理系張顏暉教授團隊也在此領域有卓越的貢獻[14, 15]。

圖三: 低遷移率砷化鎵為基之二維電子氣在不同溫度下之縱向電的阻與霍爾電阻圖。取自參考文獻[12]。

圖四: 左側: (上)中遷移率砷化鎵為基之二維電子氣在不同溫度下之霍爾電阻與縱向電阻。右側: (下)霍爾電阻率對磁場微分極值對溫度於臨界磁場差值對溫度的對數圖。擬合均可求$$\boldsymbol{k}$$。 自參考文獻[17]。

國際知名理論大師Pruisken曾預測在量子霍爾平台-平台相變中，縱向電阻會有一不隨溫度變化的固定點，其電阻峰值所在之磁場值相對其固定點同樣會有冪定律$$(\boldsymbol{B})^{max}-\boldsymbol{B}_{c}\sim \boldsymbol{T}^{k}[16]$$，不過，這項理論預測過去從未被觀察到。筆者團隊葉勁辰、王翔麒與陽明交通大學電子物理系羅舜聰教授、韓國成均館大學金吉浩教授、奧地利維也納科技大學Gottfried Strasser教授以及英國劍橋大學David Ritchie教授合作，首次成功驗證Pruisken的理論(見圖四) [17]。我們發現利用電阻峰值所在之磁場值相對其固定點的結果與廣泛被使用霍爾電阻對磁場的微分對溫度關係之方法所求得的$$\boldsymbol{k}\approx 0.21$$與自旋簡併二維電子氣的結果一致[18]。但是若其電阻峰值所在之磁場值遠離臨界點，則所求值(0.54)會遠遠偏離其預測值0.21(見圖四)。

我們延續在中遷移率(moderate mobility)二維電子氣的工作[17]來研究在碳化矽基板上之公厘尺度的單層石墨烯。我們有幸與美國國家標準暨技術研究院(NIST)合作[19]，利用中原大學電子系莊家翔系主任之前擔任NIST客座訪問研究學者時所首創的低溫真空加熱方式[20]來調整適合的電子濃度後，來量測霍爾電阻率與縱向電阻率。在臨界磁場Bc我們觀察到不隨溫度變化之縱向電阻率以及霍爾電導率(圖五(a)與(b))。這關鍵讓我們能夠量測universal exponent$$\gamma [21,22]$$。在量子霍爾平台-平台相變中$$\boldsymbol{k=}\boldsymbol{p}/(2\gamma )$$[4, 5]，其中$$\boldsymbol{p}$$為非彈性散射指數(inelastic scattering exponent)。如果universal $$\boldsymbol{k}$$值為0.42，$$\boldsymbol{p}\approx 2$$，而在量子渗透(quantum percolation)條件下$$\gamma $$被預測為7/3[23]。在此條件下，各指數之間達成一致，顯示了穩定的結果[24]。然而，若$$\boldsymbol{k}$$並非universal，則$$\boldsymbol{p}$$可能是更基本的指數，值得進一步研究。此外，有關利用低磁場弱侷限效應來驗證$$\boldsymbol{p}\approx 2$$的方法未必能適用在高磁場下的量子霍爾平台-平台相變區域。近期筆者團隊葉勁辰、廖品棋、林韋承與NIST團隊Yanfei Yang、Alireza Panna、Albert Rigosi與Randolph Elmquist的結果顯示，在單層石墨烯中，在高磁場$$\boldsymbol{p}$$=2($$\boldsymbol{k}=$$0.31±0.01)($$\boldsymbol{r}$$=3.19±0.03)=1.98±0.07$$\approx $$2 (圖五(c))，在低磁場$$\boldsymbol{p}\approx 1$$[19]。然而在中等遷移率的砷化鎵為基的二維電子氣中高磁場與低磁場下$$\boldsymbol{p}\approx 1$$。我們證明了$$\boldsymbol{p}$$值未必是2，就算在高磁場下$$\boldsymbol{p}\approx 2$$在低磁場下$$\boldsymbol{p}$$竟然是1，在不同二維系統中$$\boldsymbol{r}$$與$$\boldsymbol{k}$$並非為universal values[19]。相信這新穎的實驗結果能夠重新點燃量子霍爾平台-平台相變研究領域。

致謝：感謝《物理雙月刊》前總編輯高賢忠教授邀稿。謝謝長期合作夥伴張顏暉、陳永芳、黃俊峰、黃才育、金吉浩、羅舜聰、莊家翔、林聖迪、David Ritchie、Yanfei Yang、Randolph Elmquist、林立弘、青木伸之與落合勇一等多年來在量子霍爾相變研究領域的幫助。筆者感謝科技部與國科會的支持與葉勁辰博士和林韋承潤稿與校對。

圖五: 在碳化矽基板上公厘尺度之單層石墨烯在不同溫度下的(a)縱向電阻率與霍爾電阻率(b)霍爾電導率與縱向電導率。(c) universal exponent $$\gamma $$之擬合，由此可求非彈性散射係數$$\boldsymbol{p}$$。取自參考文獻[19]。

參考文獻
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