真實的蝴蝶效應和有蛆的蘋果

即使納維-斯托克斯（Navier-Stokes）方程式是命定性的（deterministic），但似乎無論初始不確定性有多小，你都無法做出超過固定時間範圍的預測。

       正如詹姆斯·格雷克（James Gleick）在1987年混沌理論（chaos theory）的精湛論述中所描述的1，蝴蝶效應的發現通常歸功於麻省理工學院的氣象學家愛德華·勞侖次（Edward Lorenz）。1963年，他著名地基於三個命定性的耦合非線性微分方程式構建了一個混沌模型。²由於系統狀態的演變是混沌的，對初始條件的規範極為敏感。因此，勞侖次的三要素模型描述了蝴蝶效應和天氣的不可預測性。

       這個說法雖然廣為流傳，但並不完全正確。蝴蝶效應最初是由勞侖次在1972年美國科學促進會（American Association for the Advancement of Science）會議上的演講中描述的。³演講的題目確實是“可預測性：巴西一隻蝴蝶翅膀的扇動會引發一場在德州的龍捲風嗎？”勞侖次在演講中指出，對低壓氣旋天氣系統的位置和強度的預報誤差往往大約每三天翻倍一次。然而，嵌入這些天氣系統中的個別雲層的誤差則往往在更短的時間尺度上翻倍。而雲下層（subcloud）湍流（turbulence）中的個別渦流（eddies）的誤差又在更短的時間尺度上翻倍。

       流體力學中的非線性納維-斯托克斯方程式將雲下層、雲層和氣旋尺度耦合在一起。因此，勞侖次指出，即使你可以完美地觀測低壓系統1000公里規模內的大氣，你仍然無法無限期地預測未來天氣系統的結構和強度。公里或更小長度尺度上的初始不確定性最終會限制你預測更大氣旋的能力。勞侖次提出的問題是：在雲下層尺度上初始條件的不確定性需要多長時間才能影響預報員在更大氣旋尺度上預測位置和強度的能力？（見圖1。）

圖1. 一個低壓氣旋系統包含許多單個雲層。每個單獨的雲層都是一個由許多小渦流組成的湍流系統。真實的蝴蝶效應闡明任何這些旋渦（whirls）的起始條件的不確定性如何影響我們預測氣旋系統本身的能力。（圖片來源：NASA/GSFC MODIS快速反應小組的Jacques Descloitres）

真實的蝴蝶效應
勞侖次1963年的論文無法處理這個問題—因此也無法處理勞侖次在1972年演講中所意指的蝴蝶效應概念—因為1963年的模型方程式並未描述不同空間尺度的流體流動如何相互作用。事實上，勞侖次在他1972年的演講中，非正式地討論了他1969年在瑞典期刊《忒勒斯》（Tellus）上發表的一篇高度技術性的論文的結果。這篇論文的標題為“具有多尺度運動的(流體)流動的可預測性”（The predictability of a flow which possesses many scales of motion），摘要開頭如下：

       提出某些形式上命定性的流體系統，具有多種運動尺度，在觀測上與非命定性的系統無法區分；具體而言，系統的兩個狀態最初相差很小的“觀測誤差”，將在有限的時間間隔內演變成兩個狀態，其差異將大到如同隨機選擇的系統狀態一樣，且這一時間間隔無法透過減小初始誤差的幅度來延長。⁴

       最後一句話特別值得多讀幾遍，因為它非常令人驚訝。勞侖次描述的正是極端的混沌不可預測性。這種不可預測性遠遠超過他1963年的混沌模型中的不可預測性。在早期模型中，你可以透過使初始誤差足夠小來預測任意遠的時間。從數學角度看，勞侖次1963年的模型具有演化狀態持續依賴初始狀態的性質。隨著初始狀態趨於真實狀態，預報狀態也會隨之趨近。

       基於納維-斯托克斯偏微分方程，勞侖次1969年的論文描述了不太可能具有這種連續性特性的系統。實際上，讓初始誤差趨近於零的極限，即我將在下文中更詳細討論的內容，是所謂的奇異極限（singular limit）。

聚焦於勞侖次
       為了更好地理解勞侖次在1969年論文中提出的觀點，假設我們可以完美地觀察到大氣的初始狀態，沒有誤差或缺失。但這並不意味著我們可以完美地預測天氣，因為要預測天氣，必須將觀測數據同化（assimilate）到計算天氣模型中，從而為模型創建一組初始條件。(譯者按:數據同化，或稱資料同化，是通過數學模型擬合逐漸逼近觀測數據的方法，通常用於複雜系統的建模和動態預測。數據同化過程主要為兩個步驟的循環。第一步可以稱為分析，其中實際系統的觀測量與模型產生的預報值相比較/融合，得到系統現在狀態的最佳估計。在第二步，根據觀測數據和模型兩者包含的不確定度性信息，平衡二者得到關於未來系統狀態的預報值（具體時間點由下一批觀測值給出）。這就完成了一個分析-預報循環。)

       天氣模型使用叫做網格盒（gridboxes）的有限三維陣列來近似納維-斯托克斯方程式和其他相關大氣方程式。整體來看，網格盒覆蓋了整個大氣層和海洋。 （有些模型使用有限集的正交（orthogonal）函數，例如球諧函數（spherical harmonics），但這並不會改變論點。）在網格盒內，天氣模型錯誤地假設大氣是完全均勻的。在最好的全球天氣預報模型中，每個網格盒的水平尺寸目前約為10公里。

       接下來，假設我們可以用我們的天氣模型準確地對低壓系統進行平均可提前七天的天氣預報。在完美觀測的理想情況下，限制預測準確度的誤差來源在於網格盒的同質性假設。因此，要求（我們的雇主）提供更大的計算機是合理的，這樣可以將天氣方程式與一半大小的網格盒整合。錯誤的同質性假設將這樣被限制在比以前小一倍的尺度上。

       這個倍數能將預報準確範圍從7天翻倍到14天嗎？勞侖次在他1969年的論文中認為並不會。在舊模型中未能解析的小尺度誤差，在新模型中得以解析後，其增長速度會比舊模型中已解析的最小尺度誤差增長得更快。例如，如果新解析尺度的誤差倍增時間是之前解析尺度的誤差倍增時間的一半—這意味著誤差增長速度是之前的兩倍—新天氣模型的可預測時間只會增加 ( 1 + 1⁄2) 倍，這遠遠少於兩倍。

       事實上，如果我們之後還能負擔得起一台允許網格盒大小進一步減半的計算機，可預測時間將只會從(1 + ½) × 7天增加到(1 + ½ + ¼) × 7天。如果你繼續這樣做—將網格盒無限次地減半—可預測時間不會是無限的。相反，它將是 (1 + ½ + ¼ + ⅛ + 1/16 …) × 7，即14天。使用無限小的網格盒，預報員會僅僅將原始模型的可預測時間增加一倍。（這個有限極限的存在與三維流體湍流的科摩哥洛夫（Kolmogorov）能譜一致。）

奇異極限
但這聽起來很矛盾。經過無限次的網格單元減半後，（現在無限強大的）計算機可以精確地表示納維-斯托克斯方程式。而且由於這些方程是完全命定性的，所以我們應該能夠無限遠地預測。

為了理解預測範圍短的原因，想像一下有一桶含有蛆的蘋果。如果你咬了一口蘋果，發現了半條蛆，那麼你已經吃了半條蛆—這是一次不愉快的經歷。然而，如果你咬了一口蘋果，發現了四分之一條蛆，那麼就更糟了，因為你已經吃了四分之三條的蛆。更一般性地說，如果你咬了一口蘋果並發現了1/n條的蛆，你已經吃了1-1/n條的蛆。

n的值越大，你吃掉的蛆的比例就越大，經歷就越不愉快。因此，你可能會想像n值在趨向無窮大的這一序列極限時，描述了咬蘋果最不愉快的經歷。但並非如此。如果你咬了一口蘋果，發現沒有蛆，你可能根本沒有吃到蛆！（極小部分蛆與沒有蛆在性質上是不同的。）

       這個例子，最早由理論物理學家麥可·貝里（Michael Berry）描述，被稱為奇異極限（參見他的觀點欄目（Reference Frame），《PHYSICS TODAY》，2002年5月，第10頁）。此類極限在物理學中屢見不鮮。例如，只要普朗克常數h保持非零（無論它有多小），黑體輻射器就永遠不會經歷紫外災變—即預測其發射的輻射強度會隨著波長的減少而趨於無窮大。然而，將h精確地設為零，古典的瑞利-金斯（Rayleigh–Jeans）光譜公式就會發散。

       在另一個例子中，只要流體的黏度（viscosity）保持非零，無論黏度有多小，它就能夠在機翼面上產生空氣動力的（aerodynamic）升力。然而，如果黏度設定為零，機翼面上的邊界條件就會發生質變。三維物體在不可壓縮、無黏性、無旋流中的升力為零，這一現象被稱為達朗貝爾悖論（d’Alembert’s paradox）。

       在我所說的真實蝴蝶效應的核心，也存在一個奇異極限。5無論初始不確定性多麼小，蝴蝶效應都將可預測性限制在一個有限的時間範圍內。只有當初始不確定性完全為零時，你才有可能用納維-斯托克斯方程預測任意遠的未來。當然，這是一個不切實際的限制。奇異可預測性極限是納維-斯托克斯方程式的一個嚴格數學性質嗎？沒有人知道。解是否連續依賴於初始條件這一問題，與克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute）的千禧年大獎難題（Millennium Prize Problem），納維-斯托克斯方程式是否存在平滑、唯一的解有關。

非命定性的結果
       這並不是說勞侖次1963年更著名的混沌模型對天氣的可預測性沒有任何用處。我曾多次使用該模型來展示非線性系統的可預測性不是一個固定的量。它隨著初始條件的不同而變化，如圖2所示。因此，雖然日常天氣的平均可預測性大約是兩週，但有時會更長，有時會更短。氣象學家可以透過運行系集預報（ensembles of forecasts）來估計這種依賴流動的可預測性—通常有 50 個預報是在幾乎但不完全相同的初始條件下運行的。當大氣處於可預測狀態時，系集預報的離散度（spread）會相對較小。當大氣層處於不可預測的狀態時，離散度會比較大。

圖2. 非線性系統，例如勞侖次吸引子（attractor），的可預測性取決於初始條件，其不確定性由一個圓環的大小和位置表示。 (a) 不確定性的圓環完全不會隨時間增長。(b) 從較低的位置開始，不確定性的圓環變形為香蕉和迴旋鏢形狀，使得無法確定實際系統是否經歷了從左側葉瓣到右側葉瓣的轉變。(c) 當圓環在幾乎位於葉瓣中間的位置開始時，吸引子的時間演化現在非常不確定，並且沒有可預測性。（摘自參考文獻11。）

       系集預報改變了近幾年的天氣預報。例如，它決定了你天氣應用程式中的降水機率。更重要的是，它正在改變人道救援和救災機構應對極端天氣事件的方式。在過去，命定性預測的不可靠性意味著他們通常會等到極端事件發生後才向受災地區送去藥品、食物、水和緊急避難所。現在，基於成本效益分析，這些機構預先確定了一個極端天氣的閾值機率。如果基於系集預報的機率超過閾值，各機構會採取所謂的“預防性行動”，在天氣事件發生之前發送緊急物資。

       真實的蝴蝶效應暗示著，儘管主導的偏微分方程式是命定性的，但任何對這些方程式的計算陳述都將是非命定性的。然而，這並不是天氣和氣候模型傳統上所制定的方式。此類模型中無法明確解析的過程—例如雲的形成、小山上的空氣流動和海洋混合—已透過模擬的分子黏度和擴散的命定性參數化公式來呈現。

       然而，真實的蝴蝶效應隱含著不存在以命定性公式表示這些子網格過程的一致方法。緩解這個問題的一種方法是使天氣和氣候模型中的參數化公式明確地隨機化。6,7第一個隨機參數化方案於1999年被引入天氣預報模型。如今，大多數的天氣模型都包含有某種形式的隨機參數化。

       即便如此，許多氣候模型—甚至那些為政府間氣候變化專門委員會（Intergovernmental Panel on Climate Change）的評估報告做出貢獻的模型—仍然以命定性閉合方案制定。這些模型與納維-斯托克斯方程式的尺度對稱性（scaling symmetries）不一致，這導致它們的（有時是相當大的）長期系統誤差。8隨機性可以在非線性模型中可能產生意想不到的效果。9例如，圖3顯示了向勞侖次1963年的方程式中添加雜訊有助於穩定勞侖次吸引子的狀態。這種穩定效應相當違背直覺，直到你意識到模型在狀態空間（state space）的小區域內從一種狀態過渡到另一種狀態。這些轉變可以被少量的雜訊打斷（從而使狀態穩定）。

圖 3. 向愛德華·勞侖次1963年描述混沌的方程組中加入雜訊會以非直觀的方式影響其動態行為。頂部圖顯示了X變量在標準的（命定性的）勞侖次模型中的時間序列。底部圖（隨機性的）由於存在雜訊而顯示出更明顯的結構。雜訊有效地穩定了勞侖次吸引子的狀態，如圖2所示。（改編自參考文獻11。）（橫軸為時間，無量綱單位。）

使用人工智慧進行天氣預報？
       人工智慧（artificial intelligence, AI）現在被用來進行天氣預報，其技能水準可與更傳統的基於物理的模型相媲美。在訓練和預報過程中，這些基於AI的模型仍然使用網格化的全球大氣狀態集，其中大氣觀測數據已被同化到一個基於物理的全球模型中。這樣的AI預報系統能模擬真實的蝴蝶效應嗎？

       為了解答這個問題，托比亞斯·塞爾茲（Tobias Selz）和喬治·克雷格（George Craig）（均在奧伯法芬霍芬（Oberpfaffenhofen）的德國航空航天中心（German Aerospace Center）），去年比較了使用AI和基於物理模型的預報不確定性增長的估算。¹⁰
       他們在用於系集天氣預報的系集中隨機選擇兩組數據同化，用這兩者間的差異來估算初始不確定性。系集成員之間的差異僅在於被用來做模型數據同化的觀測數值—這些數值的變化範圍與觀測誤差一致。

       天氣預報的初始誤差分佈被特意選在在一系列的尺度上—從水平波長（horizontal wavelength）達數千公里的天氣系統到模型的網格尺度(10公里左右)。數據同化理論的預測為：如果大氣觀測之間的間距通常為幾十公里，那麼觀測數據就可以很好地預測大尺度的初始天氣模式，而且誤差很小。然而，到了公里尺度，誤差幾乎是能有多大就有多大。初始條件中的小尺度誤差因此幾乎達到飽和，而大尺度誤差還有大量機會增長。因此，誤差幾乎會立即在大尺度上增長，但在小尺度上則根本不增長。

       為了研究真實的蝴蝶效應，塞爾茲和克雷格將初始誤差場縮小了1000倍。在這個情況下，小尺度誤差遠未飽和。由於它們的增長速度比大尺度誤差快得多，誤差主要來自小尺度誤差。這正是使用基於物理的模型時所見到的現象。塞爾茲和克雷格同時使用了低解析度和高解析度的基於物理的模型來闡明這一點。圖4顯示了初始差異很小的兩個預報間分歧情況。

圖4. 大氣動能測量值在預報對之間的差異隨預報時間的變化。當預報對之間的初始差異與初始條件的典型不確定性相當時，實線黑色和橙色線分別顯示了基於物理的模型（Icon）和人工智慧模型（Pangu）的結果。虛線顯示了初始差異減少1000倍時動能的差異。藍色和黑色虛線分別顯示了高解析度和低解析度的基於物理模型的差異。橙色虛線顯示了具有類似初始擾動減少的AI模型的缺乏增長。AI預報系統無法捕捉到真實蝴蝶效應的物理機制。 (改編自參考文獻10。)（橫軸：預報提前時間，單位：小時 ; 縱軸：動能差異，單位：平方米每平方秒）

       高解析度模型在模擬小尺度誤差的快速增長方面表現得更好，但低解析度模型也並非完全無望；其增長只是沒那麼顯著。相比之下，AI系統完全無法預測小尺度誤差的增長。這或許並不令人驚訝。在真實世界中，正如我所提到的，小尺度誤差在初始時就已經飽和了。AI系統從其訓練資料中從未學習到真實的蝴蝶效應。結果表明，在將AI應用於天氣預報問題時必須謹慎；它不包含真實蝴蝶效應的物理機制。

       正如我在我的書《懷疑的首要性》（The Primacy of Doubt）11中所討論的，研究天氣和氣候的可預測性揭示了一些非線性系統的深刻且重要的特性。它們與應用科學和基礎科學的許多問題相關—涉及各個領域，包括社會科學和量子物理學的基礎。簡而言之，採取嚴謹的方法來研究不確定性科學可以幫助我們提高預測和理解這個非常混沌的世界的能力。

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蒂姆·帕爾默（Tim Palmer）是英國牛津大學皇家學會（Royal Society）的氣候物理學研究教授。

本文感謝Physics Today (American Institute of Physics) 同意物理雙月刊進行中文翻譯並授權刊登。原文刊登並收錄於Physics Today, May 2024雜誌內 (Physics Today 77 (5), 30–35 (2024);https://doi.org/10.1063/pt.eike.hsbz)。原文作者：Tim Palmer。中文編譯：林祉均，國立清華大學物理所研究生。

Physics Bimonthly (The Physics Society of Taiwan) appreciates Physics Today (American Institute of Physics) authorizing Physics Bimonthly to translate and reprint in Mandarin. The article is contributed by Tim Palmer and was published in (Physics Today 77 (5), 30–35 (2024);https://doi.org/10.1063/pt.eike.hsbz).The article in Mandarin is translated and edited by J.R Lin（National Tsing Hua University）.