普物實驗背後的故事(二) 邁克生干涉實驗

阿文上次介紹了，在大一普物實驗中常會安排的密立根油滴實驗。接下來要介紹一個一樣有名的實驗。那就是「邁克生干涉實驗」。這也是在許多大學的大一普物實驗都會排進來的實驗，而且這也是少數大一新生能夠得到成就感的實驗，因為現在的實驗室都會用氦氖雷射來當作光源，所以實驗難度大幅減低，精準度也大幅提升。

       過去學生遇到最大的問題，是調不出呈同心圓狀的明暗條紋，後來有些學校索性把儀器固定，就解決了。現在唯一會讓學生抱怨的是，通常我們會要求學生調整干涉儀，觀察到一百次的明暗交替來算光速，沒有耐心的學生就會唉唉叫了。但是大部分學生都把它當作測量光速的簡單實驗，卻不知道這個實驗在科學史上的輝煌歷史，實在是暴殄天物。希望阿文這篇文章不僅能勾起眾多人的回憶，也能讓高中生日後上大學，進普物實驗室的時候，能夠感受一下歷史的溫度!

       要介紹邁克生干涉實驗，當然要從邁克生介紹起。邁克生(Albert Abraham Michelson, 1852 –1931)雖然是第一位榮獲諾貝爾獎的美國人，但是他出生在今天波蘭的小鎮史翠諾（當時屬於普魯士帝國的波茲南省）的一個猶太商人家庭。他兩歲時的時候，全家移民到美國。他跟著經商的父親，在加利福尼亞的礦業小鎮Murphys Camp以及內華達州的維吉尼亞城度過。有一部描寫當年西部的影集「牧野風雲」(Bonanza)描寫年輕的邁克生因為種族因素被趕出學校，但是他天資聰穎，就在學校外教起其他一樣被學校趕出來的學生。劇情大概不是事實，不過他倒是真的在這種充滿西部草莽風情的環境成長。

       1869年，邁克生進入位於馬里蘭州首府安納波利斯的海軍官校，在美國，進軍校需要有人推薦的，而推薦邁克生的居然是當時的美國總統，也曾在南北戰爭時率領北軍的格蘭特將軍呢!邁克生於1873年從海軍官校畢業後，他在海上服役兩，之後回到海軍官校任教。在海軍官校教了四年書之後，他到隸屬美國海軍天文台的天文曆編制局工作，他會到那裡工作是由於西門·紐康(Simon Newcomb，1835－1909）。紐康於1877年成為美國航海天文曆編制局局長，並且在美國天文學家喬治·希爾的大力協助下，進行重新計算所有主要天文常數的計畫。1878年紐康開始計畫新的精確量測光速的方式，而他的方式需要使用到相當精確的天文常數。所以紐康著手改良萊昂·傅科(Jean Bernard Léon Foucault，1819－1868）的光速測量方式。他收到邁克生的來信是由於邁克生當時也正計畫進行光速量測實驗。就這樣，紐康和邁克生建立起終生的友誼，並展開長期的合作。1880年時，邁克生協助紐康在邁爾斯堡和美國海軍天文台之間進行最初實驗，之後則是在波托馬克河進行實驗。1881年，海軍委派邁克生到歐洲學習兩年，他到了柏林與海德堡大學，還到巴黎綜合理工學院學習。他的第一次干涉實驗就是在歐洲的時候做的。先前邁克生設計了一款儀器來測量光速，這款儀器就是有名的邁克生干涉儀。這個儀器的想法非常簡單，就是將某個光源的光透過一個分光鏡分成兩股光，兩股光分別被反射鏡反射以後匯集在一起，形成干涉條紋。

       決定干涉條紋的是兩束光的相位差，相位差等於光程差除以光的波長，也就是光程差除以光速再乘上光的頻率。既然兩束光從同一個光源發出，頻率自然是相同的。如果光速與光的路徑，方向無關的話，那麼兩個反射鏡的位置就足以決定兩束光的相位差，這也就是現在普物實驗的作法:學生靠著調整某個反射鏡前進，後退，造成干涉條紋明暗交替變化，就可以決定光速了。有時候也有的學校是給學生光速值，反過來要學生求光的波長值。當時邁克生用的是鈉光燈，鈉光波長早已給定，目標當然是光速。可是邁克生的干涉實驗在當時，並不是單單只是為了這麼簡單的目的，那麼，它的目的是什麼呢?

       這可就說來話長了!十九世紀最大的科學成就就是發現光是電磁波，既然是波，那麼波速就應該以波的介質為準。當時科學家普遍接受光的介質是所謂的「光以太, Luminiferous aether」 (Luminiferous這個字的字根Lumen 是拉丁文的「光」，而aether 則是源自亞里斯多德在《論天》等著作中所主張的第五元素，與地面上的四大元素不同，是構成永恆天體的質料。但是科學上的「光以太」與亞里斯多德的第五元素完全無關就是了)。為了方便起見，後頭我們就把「光以太」直接叫做「以太」。既然光是以太振動所形成的波，那麼我們量到的光速，照理說就應該是光波相對於以太的速度，再加上我們相對於以太的速度。而一個天文現象的確就支持這樣的想法，這個天文現象就是光行差。

       早在1728年，英國第三任皇家天文學家詹姆斯·布拉德利(James Bradley，1693－1762)就發現，從地球觀測天棓四 ( γ Dra /天龍座γ)的仰角，會隨著季節而改變。當時還是光微粒說的時代，所以布拉德利是這樣來解釋的:從天棓四發出來的光可以分成與黃道面垂直的垂直分量cy和平行於黃道面的水平分量 cx。但是在地球的觀測者必須把地球公轉的速度V加上來，所以仰角的正切值應該是cy/(cx+V)。V的值隨著季節改變，冬夏兩季時，地球公轉速度與cx  垂直，所以不會影響仰角，到了春季的時候，V與cx  平行，而秋季時則是反平行，所以天棓四的仰角在春季最低，逐漸提高，直到秋季達到最高，然後再降低。這個效應大小就約為V/c≈20角秒。

       光微粒說被光波動說取代以後，只要假設以太相對於太陽這類恆星是靜止的，這樣的解釋還是行得通。但是法國科學家阿拉戈在望遠鏡前裝了一個三稜鏡，由於透過三稜鏡時光速變慢，光速與地球公轉速度的比值變小，星光仰角應該要改變，但是結果卻沒有任何變化，這實在說不過去。1871年第七任皇家天文學家艾里(Sir George Biddell Airy，1801－1892）把望遠鏡灌水，除了先前的光行差效應大小應該提高n倍之外，還要再考慮光進入水中產生偏折，所以望遠鏡的仰角應該提高n2 倍才對，可是天棓四的仰角仍然看不到任何變化，這個棘手的問題要怎麼處理呢?

       這時候你不得不佩服科學家的巧思。早在1818年，法國科學家菲涅爾發現，只要當水這種介質與以太存在著相對運動V時，假設以太會被介質拖著跑，但是以太被拖著跑的速度卻不是V，而是V(1-1/n2)。所以光速的水平分量就不是cx /n ，而是cx /n-V(1-1/n2)，因為這樣一來，仰角的正切值會變成

$$\frac{\frac{c_y}{n}}{\frac{c_x}{n}-V\left(1-\frac{1}{n^2}\right)+V}
=\frac{\frac{c_y}{n}}{\frac{c_x}{n}+\frac{V}{n^2}}$$

     如此一來，光行差的大小不是提高n 倍，而是變成1/n 。此時再考慮光進入望遠鏡時的偏折，就會發現望遠鏡的仰角與先前沒灌水的時候一樣!這就是「菲涅爾的以太牽曳假設」。

       菲涅爾的以太牽曳假說雖然可以完美解釋實驗，但是鑿斧太深，一看就覺得是在湊答案，所以1845年的時候，英國的數學家，也是流體力學高手，斯托克斯，主張在介質內的以太應該被介質整個拖著走，以流體力學的角度看來，這聽起來合理多了，可是這樣一來，以太跟著地球跑，星光仰角就單純是cy/cx，那要怎麼解釋光行差呢?這可難不倒數學高手斯托克斯，他假設以太是不可壓縮也不旋轉的流體，在這些假設下，可以證明入射在地球上的光波的法線在其接近期間偏轉，使得恆星位置的明顯移動，至少在一階V/c效應範圍內，與觀察到的值一致。

       斯托克斯的推論其實很簡單，從波動理論可以得到光的偏折角度α等於是將「徑向光速」沿著橫向的變化率加總起來，再除以光速，但是既然以太是旋度為零的流體，「徑向光速」沿著橫向的變化率就等於是「橫向光速」沿著徑向的變化率的加總。斯托克斯把以太在遠離地球時的橫向速度設做零，以太在地球表面的橫向速度等於地球公轉的速度V，那麼α=(V-0)/c=V/c，就這樣解決光行差的問題。斯托克斯進一步假設以太進入介質時密度變大，離開介質密度變小，假設以太是不可壓縮流，所以以太流速與以太密度成反比。在介質中的光速與折射率成反比，而介質中的光速與介質內以太的密度平方根成反比，所以在介質中以太密度與折射率平方成正比，換言之，介質內的以太流速與折射率平方成反比。假如地球相對於公轉軌道速度為V，而以太完全被地球牽曳，速度也是V，那麼介質內以太的速度就是V/n2 ，換到地球為靜止的座標系，地球與以太都變成靜止，那介質裡的以太的速度就變成(1-1/n2 )V，這與菲涅爾牽曳係數相符，由此就可以解釋艾里的灌水望遠鏡實驗了。

       1851年法國科學家費佐（Armand Hippolyte Louis Fizeau，1819－1896）完成了著名的費佐實驗，他讓通過水流的光與沒有通過水流的光產生干涉，他的實驗結果證實了在水流中的光速果真是c /n-V(1-1/n2)而不單只是c /n。實驗也驗證了在水流中的光速公式中，以太被牽曳的速度相關的折射率與通過靜止水的折射率一樣，都與光的頻率有關，這可就奇了，不管是斯托克斯還是菲涅爾，都是將這個效應歸諸於以太密度的變化，難道不同頻率的光有各自不同的以太?這讓科學家難以信服。

       這就是1881年邁克生面對的僵局，而要打破僵局，就必須找出以太的風向，既然一階效應難以在菲涅爾與斯托克斯的主張中做出抉擇，那就只好尋找二階效應了! 也就是尋找數值與(V/c)2 約莫相近的證據。這是一項非常艱鉅的任務，但是邁克生在靠近柏林的波茲坦，第一次使用他發明的干涉儀，干涉儀的臂長為1.2米，他沒有觀察到預計的條紋變化，從儀器的靈敏度反推，以太風的速度上限為20 公里/小時，比地球公轉速度 30 公里/小時還小，邁克生的結論是，斯托克斯是對的!以太跟地球走，兩者沒有相對運動! 不過沒多久，他的結果就遭到法國學者Alfred Potier (後來羅倫茲)指出邁克生的計算有誤，校正後邁克生發現儀器誤差範圍與他預計看到的效應居然差不多大，所以他還需要改進他的儀器才行。

    1883年，邁克生離開海軍，接受了位於俄亥俄州克利夫蘭的凱斯西儲大學的邀請，成為那裡的物理教授。他與在化學系任教的愛德華·莫雷(1838-1923)合作，專心研究改進他在1881年設計的干涉儀。他們首先重覆了費佐先前的實驗，證實了費佐的結果，之後，他們把干涉儀臂長加長到11公尺，這次他們把以太風的上限壓到4-8公里/小時，而且實驗誤差範圍只有預期看到效應的1/40。這一次邁克生終於可以宣稱斯托克斯的以太完全牽曳理論才是正確了吧?

       不幸的是，羅倫茲在前一年 ，1886 年提出，斯托克斯理論的假設是相互矛盾的，因為球體周圍的流體速度場不可能在球體表面給出零速度。相反地，地球表面以太風的速度會隨位置而變化，星光的光行差也會如此。所以斯托克斯提出的所有條件不能同時滿足。這樣一來，斯托克斯就不能解釋光行差了。德國科學家普朗克提出一個解套的方法，就是假設以太是可壓縮的。羅倫茲承認普朗克的說法在數學上是可能的，但前提是我們還假設光在以太中的傳播速度不受以太密度變化的影響，這一假設顯然與一般波在普通物質中的傳播行為相矛盾。

       所以邁克生-莫雷實驗似乎讓物理陷入更大的僵局!但是危機就是轉機。第一個正面迎戰的是愛爾蘭科學家，喬治·費茲傑羅(George FitzGerald，1851－1901），他在1889年主張，物體在沿著以太風的方向，產生收縮，而且收縮的大小與以太風的速度V有關，物體的長度若是L，那麼收縮的程度則是L乘上 (1－(V/c)2)1/2，這樣的收縮正好讓邁克生干涉實驗偵測不到!怎麼說呢? 讓阿文我來稍微解釋一下:

假設以太的風沿著水平臂，臂長是L，那麼光在水平方向往返的時間就應該是

T1=L/(c-V)+L/(c+V)=2L/c [1-(V/c)2]-1

       那麼垂直於以太風的方向的光是不是花了 2L/c 的時間往返到分光鏡呢? 答案是非也! 這就是邁克生在1881年犯的錯誤。不要忘了，這裡光的速度必須是在相對於以太的光速c再加上以太對觀測系統的速度。所以我們應該把光在垂直方向往返的運動小心地分析一下。站在以太的角度，分光鏡與反射鏡都沿著水平方向，反向地以V漂流，所以光從分光鏡到反光鏡的時間是t的話，光走了ct長等於是斜邊，垂直距離是L，水平距離是vt

那麼根據畢氏定理，可以得到ct=[L2+(Vt)2]1/2 ，那就等於t=L/c [1－(V/c)2]-1/2
由此可以得知光在水平方向往返的時間就應該是

T2=2L/c [1－(V/c)2]-1/2

        既然T1≠T2 ，兩束光就存在相位差，調整實驗儀器的擺設，就能改變V值，干涉圖案就會有改變，但是若是讓沿著以太風的距離L收縮成為L(1－(V/c)2)1/2 ，那麼T1=T2 。，如此一來，這兩束光就不會隨著擺設方位而產生相位差的變化了!當然，這樣的主張壓根兒就像是菲涅爾的以太牽曳一般，純粹只是湊答案。但是1982年荷蘭的電動力學大師，羅倫茲也發表了解決邁克生-莫雷實驗造成疑惑的方案。他讓以太完全不受介質的影響，而光在以太中的速度也完全由馬克士威方程式來決定，但是他提出從以太座標系變換到相對於以太做等速直線的座標系的座標變換卻不是一般的伽利略變換，不僅沿著相對速度的空間座標乘上與費滋傑羅相同的因子 (1－(V/c)2)1/2 之外，他還讓時間也跟著變換成以太座標中的時間與空間的線性組合，這是為了同時解釋光行差，費佐實驗與邁克生-莫雷干涉實驗。羅倫茲前前後後花了七年的時間才終於寫下今天我們稱為羅倫茲變換的公式。但是羅倫茲強調這個變換下非以太座標中的「時間」，並不是物理的真實時間。後來大數學家彭加略也加入戰局，提出用光來校正時間而賦予羅倫茲變換中非以太座標系的「時間」物理意義，但是不管是羅倫茲也好，彭加略也好，他們都視以太座標系為當然，也認為電磁波方程式也有在以太座標系才適用，而我們一般認定的時間，也應該拿以太座標系的為準。

       愛因斯坦在1905年提出特殊相對論，直接把以太給踢出物理，用羅倫茲變換取代伽利略變換，由此可以得到，任何慣性系中，真空的光速都相同，由此可知，速度相加律一定需要更動。其實只要接連做兩次羅倫茲變換就能得到正確的速度相加律。而馬克斯·馮勞厄利用它一下子就得到了菲涅爾的公式，當時的科學家心中大概有一股涼風吹過的感覺吧。雖然對於後代的學生而言，會覺得老愛一刀斬斷哥丁結，化繁為簡，真是可喜可賀，但是當代的人而言，想來是深深地不是滋味。好比一幅精心設計的鑲嵌畫臂小孩手一撥全毀了一般的感嘆。所以不意外的，邁克生與莫雷，終生都還是抱著以太這個觀念。1889年開始，邁克生在麻薩諸塞州伍斯特的克拉克大學任教授。1892年被指派到一個全新的大學——芝加哥大學任物理學系第一任主任。1907年，邁克生因為「發明光學干涉儀並使用其進行光譜學和基本度量學研究」而成為美國第一個諾貝爾物理學獎得主；同年，他還獲得了英國皇家學會的科普利獎章。可以說是功成名就，而莫雷則一直待在凱斯西儲大學，他始終不確信他自己的結論，繼續與戴頓·米勒做更多的實驗。米勒製作了更大的實驗設備，最大的安裝於威爾遜山天文台的臂長32米（有效長度）的儀器。米勒於1928年在一份會議報告自己似乎發現了疑似以太風的訊號，後來的實驗沒能重新獲得米勒的結果，現代實驗的精度推翻了此實驗結論。倒是1920年到1921年間，邁克生和皮斯在人類史上首次測量出太陽以外的星體的直徑。他們在威爾遜山天文台用天文光學干涉儀測量出紅巨星參宿四的直徑。在此之後，邁克生繼續在對恆星直徑和雙星間距離的測量上花費了更多的精力，他於1931年5月9日逝世於加利福尼亞的帕薩迪納。

       有趣的是，雖然愛因斯坦在他的特殊相對論中沒有附上任何參考文獻，但是有人認為，愛因斯坦在提出狹義相對論的過程中，曾經受到過邁克生－莫雷實驗結果的影響。約翰·施塔赫爾在《愛因斯坦和以太漂移實驗》（Einstein and aether drift experiments）一文中指出，有間接的有力證據表明，愛因斯坦在1889年一定知道邁克生－莫雷實驗，並從1889～1901年間，持續感興趣於設計光學實驗，以檢查地球穿行於以太的假定運動。愛因斯坦後來在1922年，在《我是怎樣創造了相對論》中說道：「那時我想用某種方法演示地球相對以太的運動……，在給自己提出這一問題時，我沒有懷疑過以太的存在和地球的運動。於是，我預料如果把光源發出的光線用鏡子反射，則當它的傳播方向是平行或反平行於地球的運動方向時，應該具有不同的能量。所以我提出使用兩個熱電偶，利用測量它們所生熱量的差值，來證實這一點。」愛因斯坦是怎麼走出這個以太的迷宮? 有機會再來詳述。但是看到今天眾多大一新生在普物實驗室中，努力調著干涉儀，小心翼翼地算著一次又一次的明暗條紋變化，還真是有「昔日王謝堂前燕，飛日尋常百姓家」的奇妙感受呢。過去科學家苦思不解的道理，現在成為家喻戶曉的東西，這就是科學的進步吧!

參考資料:
(一) 中文 英文 維基相關條目
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