驗證原子能階量子化的里程碑：法蘭克—赫茲實驗

「他們發現了一個電子撞擊一個原子時所遵循的定律」
——1925年法蘭克與赫茲獲得諾貝爾物理獎頌詞

1. 引言
古斯塔夫・赫茲（Gustav Hertz，生於1887年，卒於1975年）於1911年從柏林洪堡大學獲得博士學位之後，詹姆斯・法蘭克（James Franck，生於1882年，卒於1964年）隨即邀請他一起在柏林大學進行氣體放電相關實驗。他們的合作只持續了三年，到了1914年第一次世界大戰爆發，兩人隨即入伍服役，並都曾在戰爭期間身受（罹）重傷（病），幸而妥善療養之後都痊癒了，兩人並各自得以重返教研崗位。他們在1914年4月撰寫的實驗論文，成為量子力學發展史上的一座里程碑，為波耳原子論模型（發表於1913年7月）預測的電子能階分立（離散而不連續），提供堅實的測量證據，使該項革命性理論預測，從看似不可思議的異想天開「奇想」，搖身成為確鑿的微觀世界的「事實」，「法蘭克—赫茲實驗（Franck-Hertz experiment）」一詞，從此寫入近代物理學課本中，他們兩人並因這一項豐功偉績，共同榮獲1925年諾貝爾物理學獎。

19世紀下半葉，照明以及電氣的使用日趨廣泛，工業及民生需求大幅度增加，研究和解決低壓空氣漏電問題及氣體放電現象因此成為顯學。同一時期，陰極射線於1859年被發現之後將近40年，直到1897年，湯姆森（J. J. Thomson，生於1856年，卒於1940年，1906年諾貝爾物理獎得主）才確定其為電子（粒子），而非傳播於以太中的某種波動。理論方面，以馬克士威和波茲曼為首的氣體動力論和統計力學也逐漸發展成形，趨於完備。這些主客觀條件，都構成了法蘭克—赫茲實驗的研究動機和學理支柱背景。簡言之，當時許多科學家致力於測量低壓氣體放電管中的電子及離子平均自由程、離子遷移率、電子能量分佈和電子親合能，其主要動機在於研究各種（惰性）氣體及金屬原子的游離電勢（ionization potential）或游離能（ionization energy），希望瞭解電和物質的本質；法蘭克和赫茲則企盼建立一個氣體中的電子動力論（a kinetic theory of electrons in gases）理論，未曾想到探究物質的結構。當時，除放電管之外，科學家也使用X光、紫外光和輻射等來照射原（分）子，使其產生游離現象，但他們對原子和分子的內部結構仍一無所知，腦中完全沒有能階分立，遑論能階間之躍遷（transition）和激發（excitation）的概念。

從1911年到1914年間，經過一系列實驗，伴隨著逐步改良和細緻化他們的儀器設計與裝置，法蘭克與赫茲意外地（！）測量到了通過低壓汞原子蒸汽的電流大小與偏壓成週期性起伏，週期為4.9 V（V為伏特）。圖1即是他們發表於1914年的原始數據，其中縱軸為電流（任意單位），橫軸為電壓。隨後，法蘭克與赫茲又非常警覺地測量了放電管外圍的光譜，發現到一條波長為253.6 nm的紫外光譜線。他們驚訝發現，這條譜線的對應頻率乘以普朗克常數h，正好等於4.9 eV（e為電子電荷）。這個定量吻合，顯然蘊含深意，即普朗克黑體輻射能量量子化的概念和電子—（汞）原子碰撞必定隱含千絲萬縷的密切關係。但是，法蘭克和赫茲以及當時身在柏林的許多位近代物理學先驅，如普朗克和愛因斯坦等大家，竟都沒能及時意識到這就是原子的能階量子化現象的直觀反映，雖然此時他們應已知曉波耳發表了氫原子模型理論。

圖1 法蘭克—赫茲低壓汞原子蒸汽通電實驗數據，電流極大值（縱軸）呈週期性出現，峰值間距為4.9 V（橫軸），取自C. A. Gearhart (2014)

在近代物理學教科書裡，法蘭克—赫茲實驗結果常緊接在波耳原子模型之後，只被簡短描述，有時一筆帶過，彷彿它的作用僅在於為量子理論背書。筆者認為，這種教學以及教材編輯方式，可能助長學生在潛意識裡養成輕忽實驗的態度，甚至產生實驗總是輕而易舉，並理當順理成章印證理論計算結果的印象。以下我們檢視法蘭克—赫茲實驗的儀器裝置，以及他們兩人之所以能夠摘得桂冠，而其同時代許多優秀實驗學家之所以功敗垂成，失之交臂的要素。

2. 法蘭克—赫茲實驗裝置及操作要素

圖2是法蘭克—赫茲實驗的儀器裝置示意圖，放電管為一個玻璃製圓柱形管。其中，D為燈絲（負極，溫度約為110 °C），N為柵極（正極），G為集（電）極。D在圓柱軸上，N與G為同心空心圓柱。D與N相距約4 cm，N與G相距約1至2 mm，後者間距約略相當於實驗條件下的電子平均自由程長度，因此只要到達N極並且能量大於0.5 eV的電子就能被G極接收（見下文）。與簡單直線型放電管相較，使用同心圓N和G極，可以收集到更多數目的電子，即較大的電流，使測量更精確，信號變化（起伏）更明晰。進行實驗時，D放出的（熱）電子被加速，撞擊玻璃管中的汞原子蒸汽（蒸汽壓約為1 mm汞柱或更低）。在法蘭克和赫茲的設計中，N極電壓（相對於D極電壓）可調範圍為0至15 V，所以電子能量／動能不高，與陰極射線管中的電子相比屬於低速電子。N與G之間則接上一小反向電壓（0.5 V），所以在N極處能量很小（< 0.5 eV）的被加速電子將無法抵達集（電）極以形成電流。實驗時G極接檢流計，再接地。（註：陰極射線中的電子能量高得多，碰撞後會使得原（分）子游離。又，在法蘭克和赫茲的一系列實驗中，電極的間距和汞原子蒸汽壓常隨測量重點有所調整。）

圖2 法蘭克—赫茲實驗儀器裝置示意圖，取自C. A. Gearhart (2014)

如前所述，在19、20世紀之交，進行實驗測量及理論解釋各種氣體和金屬原（分）子的游離電勢，是一個重大科研課題。然而，當時實驗上還沒能夠準確測出不同氣體的游離電勢值，（如J. S. Townsend的）理論模型也仍是建立在古典物理學之上，因此情勢呈現著渾沌膠著狀態。與眾人不同，法蘭克和赫茲兩人之得以出類拔萃的原因，在於他們極端注重實驗細節，並且能面面俱到。他們細心又耐心的一次次純化氣體，一步步改善和提高玻璃放電管中的真空度（包括管壁的清潔，和D極的選材、加溫與除氣（degassing）等），確實密封通過玻璃管的電極導線，並謹慎處理電線接地（以避免產生迴路電流）等實驗細節。為了提高真空度，他們還在旋轉機械汞幫浦（泵）與放電管之間加裝了液態空氣冷阱（cold trap），以吸附幫浦（泵）油氣，避免它們污染放電管中的被測氣體或金屬原子蒸汽。這些實驗手段，仍是今天實驗物理學家要做出漂亮結果的必備手段和操作要求。反之，在法蘭克和赫茲之前，許多實驗室的待測氣體純度不夠，又受到幫浦（泵）油氣倒灌污染，因此即如著名的萊納德（Philipp Lenard，生於1862年，卒於1947年，1905年諾貝爾物理獎得主）實驗室的測量值也常常難以重複或合理定量。事實上，為了達到最高測量精密度和數據準確度，法蘭克和赫茲採用了1905年才發明的最先進Gaede真空幫浦（泵），並特地請了玻璃吹製技術人員製作放電管，他們實驗時的金屬原子蒸汽壓常能控制到0.03 mm汞柱以下。

除了逐步精進實驗設計和注重操作細節之外，法蘭克和赫茲兩人還明智又巧妙地發揮一流實驗學家本色。在設計實驗和分析數據時，他們直接忽略能量小（於4.9 eV）的低速電子與汞原子碰撞時損失的能量，即他們假設這時的碰撞都是彈性碰撞，之後並以實驗測量印證這項空前假設。（當時的主流Townsend原（分）子游離理論假設所有碰撞都是非彈性碰撞，電子在每次與原子碰撞之後都損失了全部能量。）法蘭克和赫茲的彈性碰撞假設建立在深具啟發性的物理基礎之上，一則因為電子與汞原子質量相差巨大，因此無須考慮每次碰撞之後的極微小電子動能變化。例如，假設碰撞前汞原子靜止，因動量守恆，碰撞後它獲得了一個微小動能。法蘭克和赫茲兩人大膽果斷判定，既然這些微小能量轉移在實驗測量誤差範圍之內，討論該項能量轉移顯然沒有意義。因此，雖然電子從陰極D被加速到正極N的過程中，經過了上百乃至上千次碰撞（視實驗條件如汞原子蒸汽壓而定），但在N極處的能量總是等於電子電荷乘上N-D兩極間的外加偏壓值（電流則隨偏壓／電子漂移速度增大而增大）。直到外加偏壓為4.9 V時，才發生第一次非彈性碰撞，電子並在N極附近把能量完全傳遞給了汞原子。這時，電子因缺乏足夠克服G-N極間的0.5 V反向偏壓的能量，無法抵達G極，電流因此急遽下降。同理，如果N-D極間的偏壓為9.8 V，則電子將在D極和N極中點處發生第一次非彈性碰撞，喪失所有能量；之後又再被加速，並在N極處發生第二次非彈性碰撞，因此產生兩個電流峰，如圖1所示。所以，法蘭克和赫茲實驗得以留名青史，並非兩人只是運氣好，一朝浪得虛名之故。

因為法蘭克和赫茲測量的是相鄰峰值之間的距離，而非出現電流峰值處的絕對外加偏壓值，因此可以很準確測得產生非彈性碰撞所需的能量。如果實驗測量的是電流峰處的偏壓絕對值，則會受到電極電線和接點電阻上的偏壓降的影響，造成數值誤差。

3. 法蘭克—赫茲實驗結果的重大意義

簡要言之，法蘭克—赫茲實驗結果的重大意義有三個層面。（1）印證了波耳原子模型的普適性意義，即波耳模型不是一個僅適用於描述氫原子光譜線的特殊性理論；波耳膽大心細提出的革命性能階量子化概念是微觀世界的本質，是自然界的事實。（2）印證了普朗克提出的革命性黑體輻射能量公式E= hf，其中E為（某種諧振子）能量，h為普朗克常數，f為諧振子或電磁波頻率。法蘭克和赫茲兩人更進而反向操作，他們利用測得的圖1中的峰值間距（4.9 V），和放電管周邊測得的光譜線波長（253.6 nm），實際訂定出當時尚待精確測量的普朗克常數值。令人不禁讚嘆的是，法蘭克和赫茲的h實驗值，與現代被接受的數值相差在1%之內。（3）與拉塞福（Ernest Rutherford，生於1871年，卒於1937年，1908年諾貝爾化學獎得主）的一系列著名α粒子撞擊實驗大約同時，法蘭克和赫茲兩人把原本集中於單純測量游離能的放電管及陰極射線實驗課題，拓展成為一個以研究電子—原（分）子碰撞行為的廣闊新興實驗領域。他們的這個撞擊實驗方法（the bombardment method），與拉塞福高喊的「擊碎原子（“Smash the atom!”）」口號並肩，構成探究微觀物質結構的先鋒利器，更開啟了連綿一個世紀以上的加速器物理學研究的康莊大道。

法蘭克—赫茲實驗結果發表時，不但未曾在文章中提及或引用波耳的1913年論文，當時交流頻繁的歐洲近代物理大師們，竟也沒能很快意識到這個實驗正是以一個簡潔明晰的測量手段，圖像化的結果，直截了當驗證了（令人心中起疑的）波耳原子模型能階量子化的預測。波耳本人則在1915年，已基本看出法蘭克—赫茲實驗測量到的就是汞原子的電子激發，他認為4.9 V應是激發能而不是眾人多年認為和競逐測量的游離能（圖3）。而且，波耳認為253.6 nm譜線即是受激原子躍遷回基態時所放射出光子的波長。法蘭克和赫茲兩人，到了1919年，才如夢初醒，敞開胸襟，熱烈接受波耳的解釋，並成為波耳模型的鼓吹手。其中緣由，除了能階量子化概念的出人意表，橫空出世，令人難以置信，而且理論本身缺乏自洽與嚴謹度之外，或許也由於戰爭期間，生活艱困，人心惶惶，導致眾人無法沉澱和靜思深刻科學問題所致。隨著戰爭結束，玻恩（Max Born，生於1882年，卒於1970年，1954年諾貝爾物理獎得主）可能很快地、又努力地說服並向法蘭克和赫茲解釋波耳原子模型的意義和重要性。到了1921年，斯特恩（Otto Stern，生於1888年，卒於1969年，1943年諾貝爾物理獎得主）評論法蘭克—赫茲實驗說：「這一個基礎性發現，開啟了把譜線系列與量子連結的研究。）」（註：汞原子躍遷回基態時，放射出的253.6 nm紫外光會照射G極，產生光電效應和光電子，形成電流，使電子—原（分）子碰撞實驗的數據分析格外豐富與複雜。）

圖3 汞原子能階示意圖。基態到第一（第二）激發態的能量差為4.9 V（6.7 V），游離能為10.4 V。取自R. Eisberg and R. Resnick, Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles (1985)

4. 玻恩與法蘭克的長年友誼

玻恩與法蘭克同年，他們同一年進海德堡大學就讀，因此結識。從此，兩人成為一生的摯友。玻恩後來寫道：在他的人生旅途中，最重要的並不是當時學校的教授和海德堡的浪漫氛圍，而是與法蘭克的友情。1920年，玻恩和法蘭克同時成為了哥廷根大學的教授，前者主掌理論物理研究所，後者主掌實驗物理研究所，兩人合作無間。玻恩並無私在這一段戰後的經濟艱困時期，奮力為法蘭克爭取購置實驗儀器的經費，他們也獲得愛因斯坦的鼎力相助。此後10多年間，玻恩和

蘭克把哥廷根大學打造成為當時全球量子物理學（原子分子的電子結構研究）的重鎮；直到
1933年，他們因納粹執政而不得不雙雙匆促離開德國。在玻恩與愛因斯坦的230頁來往書信集中（請參考林志忠〈科學家之間——從《玻恩—愛因斯坦書信集》談起〉，《物理》2016年45卷9期），竟有40多次提到法蘭克的名字。邁特納（LiseMeitner，生於1878年，卒於1968年）也是法蘭克的長年好友（圖4），她提到當愛因斯坦（可能是在一戰大戰結束前後）在柏林聽完法蘭克的法蘭克—赫茲實驗結果演講後，對她說：「這結果太漂亮了，令人想哭！（“It’s so lovely, it makes you cry!”）」（註：法蘭克對（雙原子）分子的轉動和振動能階及譜線的研究，也貢獻卓著。）

圖4 赫茲（左）、邁特納（中）和法蘭克三人從20世紀初年起，建立了超過半世紀的友誼。照片拍攝於1964年，法蘭克和邁特納一同越過柏林圍牆，前往東柏林探望當時任教於萊比錫大學的赫茲。取自C. A. Gearhart (2014)

逃離納粹德國後，法蘭克遷徙美國，先任教於約翰霍普金斯大學，最後落腳於芝加哥大學。由於他對光合作用研究領域的開創性貢獻，和積極參與並履行社會責任——他關心如種族平等、科學家遭受迫害，和核子武器管制等議題，並付諸具體行動——，在他去世後，芝加哥大學的化學物理與固態物理跨領域研究所，即改名為詹姆斯・法蘭克研究所（James Franck Institute），以資緬懷和紀念。

後記：
玻恩想必是位謙謙君子，在林志忠〈斯特恩—革拉赫實驗其人其事〉（《物理》2021年50卷2期）一文裡，我們曾經描述在一次戰後的艱困德國科學重建時期，玻恩如何說服愛因斯坦一起鼎力幫助在法蘭克福大學任教的斯特恩籌措購買儀器和進行實驗的經費。大戰期間，德國著名化學家哈伯（Fritz Haber，生於1868年，卒於1934年，1918年諾貝爾化學獎得主）受命發展致命毒氣，以在戰場上協助德軍取勝。哈伯曾經邀請玻恩參加該項計畫，但被玻恩拒絕了（法蘭克則在哈伯

手下服役過一段時間）。注定成為人類文明長河中的智慧偉柱之一的「量子力學」一詞，是玻恩於
1924年在一篇論文中首次命名的。（玻恩提出「量子力學」一詞的論文，請參考玻恩著、曹則賢翻譯〈論量子力學〉（《物理》2024年53卷2期）。）

圖5 赫茲做實驗，拍攝於1912至1913年間，取自Hertz, Gustav : Photographic Archive : The University of Chicago (uchicago.edu)

圖5拍攝於1912至1913年間柏林大學實驗室，坐者是赫茲。奠立量子力學大廈深厚基礎的關鍵拍版定案（！）實驗，如驗證原子能階量子化的「法蘭克—赫茲實驗」及發現電子自旋的「斯特恩—格拉赫實驗」，都是在玻璃放電管中進行，並無壯觀閃亮的驚人大型儀器設備與豪華寬敞的實驗室空間。這些玻璃管的長度只約15 cm或更短，直徑也不到4 cm，當時的真空技術和氣體及金屬純化技術與今日相比，完全不可同日而語。他們這些開闢今日量子電腦科技基礎的先驅（包括實驗成果和實驗學家），恍如當年寂寥著書黃葉村的曹雪芹為後世帶來了斑斕絢麗的《紅樓夢》，亙久照耀人類文明。

Stuart A. Rice和Joshua Jortner曾在2010年為美國國家科學院Biographical Memoirs檔案庫合寫了一篇回憶法蘭克的文章：“James Franck: 1882–1964”。文章開宗明義指出，著名科學家贏得聲望通常來自三個方面，一是科學成就，二是道德勇氣，三是科學應用的政治立場（即社會責任）。作者說，只有極少數科學家能在這三方面都做出重大貢獻，而法蘭克是其中之一。法蘭克的科學成就來自於他的實驗解開了原子和分子的量子結構（以及光化學反應和光合作用的物理過程），他的道德勇氣表現於1933年納粹當政時率先眾人果斷冒著人身危險辭去哥廷根大學教授職位，他的科學應用的政治立場則展現於領導反對使用原子彈與倡議控制核武軍備競賽。法蘭克的這三項成就，有如立德、立功和立言，三項皆備。（註：曼哈頓計畫末期，法蘭克主張同盟國邀集日本在沙漠或無人島展示原子彈的威力，不要直接投擲人口密集的大城市。這項主張失敗了，但法蘭克的另外一些建議後來被寫入了美國國家核武使用章程裡。）

致謝：

感謝中央大學楊仲準教授、天津大學李志青教授和輔仁大學吳至原副教授仔細閱讀文稿及提出修正意見。

本文綜合參考了下列文獻：(1) J. Franck, Nobel Lecture (1926). (2) G. Hon, Physics in Perspective 5, 150–173 (2003). (3) C. A. Gearhart, Physics in Perspective 16, 293–343 (2014). (4) S. A. Rice and J. Jortner, James Franck: A Biographical Memoir (National Academy of Sciences, 2010). (5) R. Williams, APS News: This Month in Physics History (April 2017, vol. 26, no. 4).

林志忠
台灣陽明交通大學電子物理系
(2024.05.06)

附圖：澳洲昆士蘭大學「物理博物館」館藏的訂製氣體放電管，用於重複法蘭克—赫茲實驗。管長15 cm、直徑3.5 cm，由德國Leybold公司製作。

The University of Queensland Physics Museum, Austrlia: Franck- Hertz tube - Physics Museum - The University of Queensland, Australia (uq.edu.au)

Professor James Franck, a German-born physicist, in his laboratory in Germany, circa 1925. Boyer/Roger Viollet via Getty Images
31 Nobel Prize Winners Who Worked on the Manhattan Project (businessinsider.com)

James Franck (1882 –1964), left, and Gustav Hertz (1887 – 1975). American Institute of Physics Emilio Segr ` Visual Archives. James Franck (1882 –1964), left, and Gustav Hertz (1887 – 1975).... | Download Scientific Diagram (researchgate.net)

Gustav Hertz (Date: 1912/1913)
Hertz, Gustav : Photographic Archive : The University of Chicago (uchicago.edu)