將量子帶入原子的丹麥狂人(上) 從哥本哈根到曼徹斯特

量子英雄傳說 第一季: 第十二篇 波爾(第一次登場)

尼爾斯·亨里克·達維德·波爾（Niels Henrik David Bohr，1885年10月7日－1962年11月18日）

量子封神榜的第一季，終於在這一集來到了高潮。我們要介紹的是一手連結量子理論與光譜線奧秘的科學史巨人，波爾(Niels  Bohr，1885－1962）。他的影響力貫穿了整個量子理論發展的歷史，不僅如此，他也是原子核物理的巨擘，量子封神榜還會持續地看到他三番兩次地登場，量子理論的最後一塊磚，也是他所安放的。如果把波爾比喻成量子黑幫的教父也不為過吧！這一集，只是他初試啼聲的序幕而已。但是各位可以感受到，量子理論的魅力與波爾的個性，有著無法分割的牽連呢！

尼爾斯·波爾1885年10月7日生於丹麥哥本哈根。父親克里斯蒂安·波爾是哥本哈根大學生理學教授。弟弟哈拉爾德則成為一位數學家。哈拉爾德還曾是丹麥國家足球隊的成員，還代表丹麥參加了1908年夏季奧運會的足球比賽。他弟弟在丹麥比他還有名呢。1903年，他進入哥本哈根大學學習物理。丹麥皇家科學院1905年舉辦了一場物理論文競賽。題目是研究瑞立男爵在1879年提出的一種測量液體表面張力的方法：依據測量水射流的流速、截面面積與半徑振動頻率去估算其表面張力。他的論文得到金牌。波爾的博士學位論文則是關於金屬中的電子性質，他得到結論是，古典電子理論並不能解釋金屬的磁性質。他個人認為這是一種量子效應。這篇學位論文1911年進行了論文的正式答辯。1921年，荷蘭物理學家范萊文(Hendrika Johanna van Leeuwen 1887 – 1974) 獨立地推導出了相同的結果。後世的物理學家因而稱這一金屬的磁性質理論為波爾—范萊文定理。

拿到博士學位後，波爾獲得了卡爾斯伯格基金會的獎學金，成為劍橋大學卡文迪希實驗室的博士後研究員，跟隨實驗室主任湯木生進行研究。但是研究進行得不太順利，到了年底，波爾去曼徹斯特拜訪父親的友人時，遇到了當時事業蒸蒸日上的拉塞福。曼徹斯特維多利亞大學的物理系當時在拉塞福的努力經營下，已成為全世界一流的放射現象研究實驗中心。波爾透露很想去曼徹斯特維多利亞大學做博士後研究員，也來研究放射現象，拉塞福表示歡迎，但需要獲得湯木生的首肯。經過一系列程序後，波爾於翌年年初轉到曼徹斯特維多利亞大學。他在曼徹斯特深度地思考了原子的行星模型無法逃避的穩定性問題，還結識了生物學家達爾文的孫子，查爾斯·高爾頓·達爾文 (Sir Charles Galton Darwin 1887–1962)，兩人成為莫逆，他甚至指出達爾文在計算阿爾法粒子在穿越原子時，與電子產生交互作用時，沒有考慮到可能的共振現象。波爾最擅長的，正是批判別人的理論，而這正是他日後成為主導量子革命，讓量子革命如火如荼進行的主要本領。

離開曼徹斯特之後，波爾回到丹麥，受聘為哥本哈根大學的無俸講師。1913年7月，波爾被擢升為講師。波爾從那時開始負責給醫學生講授物理。同年，他的三篇著名論文相繼發表在 《哲學雜誌》該年的7月號、9月號以及11月號上。在這三篇後來被人們稱為「三部曲」的論文。這三篇論文不僅是量子物理的里程碑，更標示了一種與牛頓以來，完全不同的思考風格，前所未見的嶄新「做物理」的方法，當然，這與量子物理本身難以捉摸的本性有關，但是也與波爾本人獨特的思維方式息息相關。波爾的工作，如果仔細去分析的話，可以說是一波接著一波的革命性開創，因為波爾本身的思維方式本身就是前所未見的新穎，而他也不惜一步一步大步向前，不只推翻先前的科學家的成見，甚至是他自己先前的學說。所以他的三部曲可以說是波滔洶湧的量子革命也不為過。就讓我們亦步亦趨，來去一探究竟。

波爾第一個重要的洞見是，原子的行星模型需要一個帶有質量、時間、長度三種因次的物理常數。在葡萄乾模型中，原子的大小本身可以用正電荷大小來標定，但是對行星模型而言，除了電子與原子核的質量之外，沒有其他的物理參數可以提供物理學家來決定原子的大小。而普朗克常數正好可以滿足這個需求。在當時，如長岡等人，雖然投入原子模型與光譜分析，但是對於量子理論是否能用在光譜學，尚有遲疑。主要是當時的量子理論，如普朗克的量子論，似乎與帶電體的統計行為密不可分，而愛因斯坦的光量子說則是與光的本性有關。但是波爾獨排眾議，認知到元素的光譜與普朗克常數有關，這本身就是非常了不起的一件事了。但是具體來講，要怎麼做呢？

先前所有嘗試，都是將電子放在穩定的位置上，然後將電子在穩定位置附近的振動頻率等同於光譜線的頻率，這一點與普朗克的量子理論也很吻合，因為普朗克的量子是帶電振子做簡諧振動時，振動能量E與振動頻率ν產生一組特殊的關係，

\(E=n h\nu\)， n是整數。

最自然的想法，當然是想辦法找到適合的方法，讓電子能夠以光譜線的頻率產生振動。但是波爾的創意再一次令人驚豔，他論證道，沒有理由確信，在原子尺度內，古典電動力學仍然適用！所以他主張，在特定的軌道上，電子可以不放出輻射！波爾沒有提出任何理由說明，在某些特殊軌道的電子「憑什麼」能夠不放出輻射，他接著問的反而是，這些特定的軌道必須滿足什麼條件呢?

這個條件顯然要跟普朗克的量子有關，否則普朗克常數就不能發揮功效了，所以波爾把普朗克公式的頻率，等同於電子在軌道上的迴轉頻率ν_c的一半，而迴轉頻率則是軌道運動周期的倒數:

\(\nu_{c}=\frac{1}{T}\)

而非電子微小振動的頻率，而普朗克公式上的n ，自然就成了標示軌道的編碼。

\(E=n h\frac{\nu_c}{2}\)

只要將古典力學的行星運動定律中的萬有引力改成庫倫力，

\(F=\frac{\alpha}{r^2}\)

波爾輕鬆地得到電子的橢圓軌道的長軸 a，軌道周期 T ，還有電子束縛能 -E的關係：

\(2a=\frac{\alpha}{E}，T^2=\frac{4\pi^2 \mu}{\alpha}a^{3}\)

在這裡μ是電子與原子核的化約質量：(m_e 是電子質量，M是原子核質量)

\(\frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_e}+\frac{1}{M}\)

把普朗克公式的兩端代入，我們就得到

\(E=\frac{nh}{2T}=\frac{nh}{4\pi}\left( \frac{\alpha}{\mu} \right)^{1/2}\frac{1}{a^{3/2}}\)

但是長軸 a又可以寫成 E 的函數：

\(E=\frac{nh}{\sqrt{2\mu}\pi\alpha}E^{3/2}\)

結果我們得到非常有趣的結果，電子的束縛能，周期與軌道長軸都變成正整數n的函數：

\(E_{n}=-\frac{2\mu \pi^2\alpha^2}{n^2 h^2}，a_{n}=\frac{n^2 h^2}{4\mu \pi^2 \alpha}，T_{n}=\frac{1}{4\pi^2}\frac{n^3 h^3}{\mu \alpha^2}\)

我們可以看到普朗克常數到處出現，而且這些特殊軌道自然產生編碼。然而如果電子一直在這些特殊軌道上都不會產生輻射，那麼元素的光譜線是什麼東西?最自然的想法，就是電子從從一個特殊軌道跳到另一個特殊的軌道時，放出的電磁輻射。接下來的問題就變成，電子躍遷放出的光譜線。它的頻率應該是多少呢？既然一開始波爾沒有提出特殊軌道之所以能不放出輻射的原因，當然也無法用古典物理來處理這個問題﹐換句話說，我們一開始就登上量子的海岸，現在也只能在此築起灘頭堡，不能走回頭路了。

那麼波爾在量子的海岸上建起灘頭堡之後，作了哪些事，才佔領第一片的量子領土? 這個舉動，可以說是石破天荒之舉，讓我們賣個關子，下一回再來揭曉囉！