沒有量子，你就看不到今天的太陽!

量子足跡何處尋 第一集

去年底(2022)美國能源部宣布了在核融合技術方面取得了重大突破，一時之間「核融合」這三個字又登上每份報紙的版面。「核融合」何時才能真得成為實用的能源來源，雖然目前還很難說得準，總是帶來一線希望。但是話說回來，雖然人造的「核融合」相當困難，但是整個地球上的生命之所以能夠生生不息，靠的就是它呀。因為讓太陽持續發光發熱的能量來源，正是來自於它內部氫原子核的核融合反應所釋放出來的光子。而且我們現在使用的能源，其實絕大部分，也是來自太陽的核融合喔。也許你會問，太陽能發電，不是只佔了我們總體能源的一小部分? 這就需要稍微解釋一下了。

認真說來，我們今天所仰賴的火力發電，其實也是來自太陽能，因為火力發電燃燒的是石油與煤，而石油是由史前生物和藻類的屍體變化形成的，陸上的植物則一般形成煤，這些生物當年可都是靠著太陽光才能生存的。那些水力發電呢? 不要忘了雲層生成都是靠著陽光加熱。風力發電所倚賴的風是由溫差造成的，算起來也是太陽的功勞，唯一跟太陽無關的能源只有靠核分裂的核能發電了。但是你可能不知道，太陽能夠以現在的條件，持續地發光發熱，量子效應扮演著無比關鍵的角色，所以說，沒有量子，你就看不到今天的太陽呢! 不信嗎? 接下來就容阿文我詳細解說給您聽了。

太陽內部的核融合主要都發生在內核中。因為太陽99%的能量都產生在半徑的24%的範圍內，而在半徑的30%處，核融合反應就幾乎完全停止。所以太陽表面溫度約攝氏5800度，但是核心的溫度卻高達攝氏1500萬度。但是這樣的高溫卻無法提供太陽內部的氫原子核足夠的能量克服庫倫斥力，彼此靠近到產生核反應的距離喔!原來原子核的平均動能是(3/2) kT，這裡的k 是所謂的波茲曼常數，它的數值是1.380649×10⁻²³ 焦耳/度，換算成電子伏特的話是8.617333262×10⁻⁵ 電子伏特/度。所以就算是在1500萬度的高溫下，氫原子核的動能也就只有約一千電子伏特。考量氫原子核所帶的電荷，可以估計出兩個氫原子核之間的庫倫斥力造成的位能Vc(r)約莫是 2×10⁻²⁸ /r 焦耳，這裡的距離r以公尺為單位。把焦耳換算成電子伏特的話，庫倫位能則是 1.2×10⁻⁹ /r 電子伏特。所以動能是一千電子伏特的氫原子核，最多只能靠到相鄰氫原子核約10⁻¹² 公尺處。如果你以為這個相當於千分之一奈米的距離夠近的話，那你可就大錯特錯啦。氫原子核的「勢力範圍」只有約10⁻¹⁵公尺，兩個氫原子核只有靠到這個範圍內，才有機會發生核反應。換句話說，太陽現在的溫度，只能讓氫原子核靠到氫原子核的「勢力範圍」的一千倍的地方，根本就不足以產生核融合呀！

這樣的估算其實有點太過簡化。其實雖然氫原子核的平均動能是一千電子伏特，可不代表所有的氫原子核的動能都是剛剛好一千電子伏特。事實上，太陽內部大概有10⁵⁷ 個氫原子核呢，所以只要能量達到一千伏特的一千倍，也就是百萬電子伏特的氫原子核夠多就行了。嗯，好主意，可惜這樣的粒子數只有全部粒子的10⁻²⁹⁰，就算有全部有10⁵⁷ 個氫原子核，能跨越庫倫障壁的也只有10⁻²³³ 個氫原子核能達到目標，這自然是不可能的事情。

這麼說來，莫非太陽的能量不是從核融合而來的嗎?這可真是令人臉上三條線！ 其實當1920年，天文學家亞瑟·愛丁頓提出恆星的能量來源於核融合，就曾與當時的天文界大老，詹姆士·金斯爵士，進行了一場曠日持久的辯論，這個議題當年鬧的沸沸揚揚的原因，是由於當年德國物理界的大老赫姆霍茲與英國物理界的大老開爾文勳爵曾經利用太陽放出的能量，來估算太陽的年齡頂多兩千萬年。開爾文勳爵與赫姆霍茲的估算，是建立在太陽的能量是源自於重力位能的假設上。當時很多人都以此否定達爾文的演化論，因為演化論者主張地球的年齡大約數十億年，只有這麼古老的星球才能解釋生物的演化。如果連太陽都不到一億年，那地球的年齡更不可能有數十億年了。愛丁頓主張太陽的能量是來自核融合，所以太陽年齡就不限於兩千萬了，但是庫倫障壁似乎暗示太陽內根本無法產生核融合呀！

這個問題，要等到1928年一位烏克蘭出生的年輕科學家，才用剛問世不久的量子力學漂亮地解決了這個問題。大家可能會問，量子力學怎麼解決這個難題呢? 

謎底就是量子世界裡的所謂「穿隧效應」。簡單地說，當一個總能量為E的物體，從一個位能為零的地方進入到位能不為零的區域時，它的動能是T=E-V。換個角度來看，位能為正的意義就是物體感受到斥力，也就是它感受到阻力，速度逐漸降低。當物體一路前進到T=0的地方，也就是速度為零的地方之後，接下來，斥力會將物體推回去。所以讓物體停止的地方，被稱為「轉向點」，因為古典物理告訴我們，物體不可能出現在讓\(T\lt 0\)的地方。

但是，依照量子理論，雖然出現在這個區域的機率很小，但是絕非為零。

這是因為在量子理論裡，描述一個物體要靠所謂的「量子態」。對一個有著明確動量p 的物體，描寫它的量子態必須仰賴它對應的波函數，數學形式就有著如同圖上，是三角函數\( \sin\left( kx \right)\)與\(\cos\left( kx \right)\)的組合。這裡的k 與動量p 的關係是

\(p=\hbar k\)

\(P=\frac{h}{2\pi}\)

這個常數的數值是6.582×10⁻¹⁶ 電子伏特-秒。把動量用能量來表示的話，m 是物體的質量，我們得到

\(p=\sqrt{2m\left( E-V \right)}\)

當動能變成負值時，就相當於動量變成純虛數，乍聽之下，這根本是再荒唐不過的事。然而在量子理論中，那只是表示量子態從\( \sin\left( kx \right)\)與\(\cos\left( kx \right)\)的組合變成了指數函數 e^-κx 

\(k=\frac{2\pi}{h}\sqrt{2m\left( V-E \right)}\)

所以我們可以想像一個動量為p，能量為E=p²/2m的物體，雖然遇到一個位能障壁V>E，長度為L的區域，但是卻有可能穿過這個障壁，出現在障壁的另一端。就如同圖上所示。量子態相應的波函數振幅大幅變小，但是並不為零。根據量子理論，粒子出現在牆另一端的機率取決於波函數振幅的平方。當然，能量愈高的物體，穿透到牆的另一端的機率愈高。就是靠著這個神奇的量子效應，雖然太陽內部的氫原子核彼此碰撞時，彼此靠到足以發生核反應的區域的機率其實很小，但已經足夠引發核融合了! 

順便一提，恆星生成時，內核的溫度取決於恆星的質量。與太陽質量相近的恆星，內部的溫度也與一千五百萬度相差不遠。其實比太陽更小顆的恆星，內部溫度雖然只有數百萬度，但是藉著「穿隧效應」，一樣能夠產生核融合。這類恆星的表面溫度低於攝氏三千五百度，因為它看起來呈紅色，所以被天文學家稱為「紅矮星」。它的質量大約分布在0.08-0.6個太陽質量。通常紅矮星的亮度都很弱，這是因為星球的亮度與它的表面溫度四次方成正比。僅僅用肉眼觀測很難看得到「紅矮星」，但是隨著天文儀器的進步，我們發現到處都是紅矮星。像是最接近太陽的恆星，半人馬座α星C，距離太陽只有4.22光年，但是它的視星等只有11等，所以要等到1915年，蘇格蘭天文學家羅伯特·因尼斯（Robert Thorburn Ayton Innes，1861－1933）才在南非發現它。近年來隨著紅外線天文學的進步，天文學家才發現在我們的銀河系中，紅矮星也是大多數，離太陽最近的65顆恆星中有50顆是紅矮星。而在宇宙內被觀測到的眾多恆星中，大約73%左右為紅矮星，佔了大多數，居然是宇宙中最常見的星體哩。

總結來講，穿隧效應這個不折不扣的量子現象，是瞭解恆星發光不可或缺的重要機制，令人感到嘖嘖稱奇的是，這個發生在微觀尺度的物理效應，卻能以龐大的規模出現，這正是物理有趣的地方。其實，滿天星斗中，還藏著其它的量子奧秘，下一回，我們就來介紹這些可以用望遠鏡看到的量子足跡，還請各位讀者，務必鎖定我們的專欄喔!