東加海嘯為何那樣？

當我收到東加火山劇烈噴發的簡訊後，身為海嘯學者的我，在當下其實並不擔心海嘯會傳到台灣，畢竟東加在南半球，比我曾經到訪的所羅門群島還要更南邊。東加那邊產生的火山型海嘯對台灣很難有影響，我當下甚至認為對日本和美國也不會有影響。

火山
歷史上的大規模火山噴發，有許多對人類的命運造成改變。像是 1812 年法國皇帝拿破崙一世攻打俄羅斯帝國。當時法國出動精銳部隊 61 萬人，而俄羅斯帝國僅有 24 萬人來防禦。拿破崙的軍隊戰無不勝，又加上人數優勢，俄羅斯帝國簡直沒有獲勝的可能。但很奇怪，那一年的冬天來得格外地早也格外地冷，加上這是俄羅斯的冬天，嚴寒的程度不是台灣的冬天可以比擬。結果法國軍隊完全無法抵擋這低溫侵襲，只能被迫撤退。這下可好，法軍一撤退，俄軍就在沿途發動攻擊，打得法軍兵敗如山倒，61 萬大軍損失 58 萬，回到法國僅剩不到 3 萬！其後法國就分崩離析，歐陸勢力也重新調整。

問題是，為何會 1812 年的冬天會提早在秋天就來，而且特別寒冷？原因就是當年加勒比海聖文森特島上的蘇弗里耶爾火山（LaSoufrière）發生大規模噴發，把大量的火山灰推進平流層。由於進入平流層的火山灰很難落下來，於是這些火山灰隨著氣流運動逐漸擴散至全球，並且阻擋太陽對地球的輻射，從而降低地表溫度，最後導致拿破崙慘敗，歐洲勢力重整。

但是這次火山事件其實還不算什麼。就在三年後的 1815 年，印尼坦博拉（Tambora）火山爆發，而且是人類史上最大的火山爆發。這次火山噴發出1400 億噸岩漿，噴入空中的火山灰估計高達 170 萬噸。坦博拉火山的山頂整個被炸掉，高度從原本比玉山還高的 4150 公尺，下降到只剩下 2850 公尺。而這巨量的火山灰進入平流層後，使得隔年 1816 年全球變成「無夏之年」，賓州的河水到7月都還在結冰。更厲害的是，咱們的台灣也被影響到。《淡水廳志稿》、《淡水廳志》、《苗栗縣志》都寫到「冬十二月雨雪，冰堅寸餘」；《彰化縣志》則記載著「二十一年冬十二月，有冰」。 嘉慶 21 年為西元 1816 年，可見得此時臺灣極有可能降雪。

洪加東加火山海嘯
這次洪加東加火山（以下簡稱東加火山）爆發後，火山灰就衝上兩萬公尺的平流層，未來全球的氣溫，可能會下降 0.2-0.3 攝氏度。聽起來似乎不多，但是這卻相當於全球暖化半個世紀的溫度變化。至於後續還有哪些有關氣候的效應，就讓相關學者去傷腦筋。而我們這裡，則把目光集中到另一個重點：火山海嘯。

海嘯的來源，基本上可以分為地震型海嘯、山崩型海嘯、火山型海嘯、氣壓型海嘯、以及隕石撞擊型海嘯。地震型海嘯、山崩型海嘯、和隕石撞擊型海嘯比較容易了解，基本上就是大規模的地震、大規模的山崩、或大規模的撞擊而成。簡單的說，就是要造成大規模的水體擾動。而火山型海嘯和氣壓型海嘯，就是今天要探討的重點。

這次東加火山有著驚人的噴發畫面，但是若以地球科學新知而言，這次事件特殊的地方，卻是在於它所產生的奇怪海嘯。

一般而言，因為火山噴發所造成的海嘯有以下幾種情境，第一種是因為大量氣體噴出，擾動水體，進而引發海嘯。這或許是許多人腦海中對於火山型海嘯的想像畫面，但實際引發的海嘯卻通常都很小。原因是噴射氣體的量必須適中，噴射力量太強的氣體會直接穿破水體，反而不會造成太大的海嘯。第二種是因為火山氣體持續噴發，導致火山內部空虛，而海水壓力造成火山向下崩坍所致，而這種理論的情境並不常見。第三種是因為火山噴發，導致火山壁崩塌，進而產生山崩型海嘯。是的，你沒看錯，就是火山引致的山崩型海嘯。這類型是火山型海嘯中最常見的，也是火山型海嘯災害的主要來源。

類似於山崩型海嘯，火山型海嘯所引致的山崩， 也有分為陸上山崩（SubaerialLandslide）與海底山崩（Submarine Landslide），不論山崩是由陸地崩落到海中，或直接從海中崩坍，只要規模夠大，就有機會產生山崩型海嘯。與地震型海嘯相比，山崩型海嘯的特色在於波長較短，且經常波高比較高。

圖一：船上拍攝到的東加火山噴發東加。（CNN News18，Caught On Camera By Ships In The Region https://www.youtube.com/watch?v=x5Xt0yrvYc0）

圖二：東加火山噴發後，火山灰抵達 25 公里高之平流層。（Data collected on January 16 by the Cloud-Aerosol Lidar and Infrared Pathfinder Satellite Observations （CALIPSO）mission, shows material from the eruption rising to an altitude of 31 kilometers（19 miles）.）（https://earthobservatory.nasa.gov/images/149347/hungatonga-hunga-haapai-erupts）

波浪理論

在波浪動力學中，要判斷這個波浪是否可以傳遞得很遠，通常是觀察其波長。跟水深比，波長越長，就能傳遞得越遠，並且保留更高比例的波浪能量。這部分主要是由波浪動力學中的頻散關係式而得：$$\sigma^2=gk \tanh kh \tag{1}$$

在這公式中，\(g\) 是重力加速度\(= 9.81 \hspace{1mm} \rm m/s^2\)；\(h\) 是水深；\(k\) 是波數，也就是在 \(2 \pi\) 長度中，有多少個波浪在裡面，所以 \(k = 2 \pi / \lambda\)，簡單的說，就是波浪有多密集。最後，\(\sigma\) 是角頻率，而 \(\sigma=2 \pi /T\)，\(T\) 是波浪的週期。\(\sigma\) 聽起來有點複雜，不過可以簡單的理解成多快就會可以看到下一個浪頭。所以波浪在水中傳遞時，頻率、波數和水深會呈現一定的關係，或者是波長、週期和水深會呈現一定的關係，而這關係就稱為頻散關係。當然，這公式成立是有條件的，就是波浪不能太大，用專業的術語來說，就是波浪必需是「微小振幅波」。

這樣的頻散關係式又可分成淺水波和深水波，或是長波和短波。其中是否為長波的判斷，是由無因次化的頻散係數（\( \mu= H/L\)）來決定，當頻散係數 \(\mu\) 越小，就表示水深比波長要小很多，所以稱為淺水波。或者也可以理解成波長比水深長很多，所以稱為長波。從傅立葉轉換可知，肉眼所觀察到的波，通常是有許多不同頻率的波所合成，海嘯波也是如此。當海嘯波的頻散係數越小，表示波浪的能量越能集中，且不易因為各個波的頻率不同而導致能量消散。

知道這點後，讓我們再來看看剛剛說的山崩海嘯。由於山崩型海嘯的波長數量級大約在數公里到數百公里之間（10 的零次方公里到 10 平方公里），而地震型海嘯的波長數量級則大約在數十公里到數千公里之間（10 的一次方公里到 10 立方公里數量級），所以山崩型的海嘯一般具有影響範圍小，以及海嘯能量集中於海嘯源周圍的特色。簡單的說，就是一般的山崩型海嘯跑不遠。

海嘯預警

也正因為如此，當我收到東加火山劇烈噴發的簡訊後，身為海嘯學者的我，在當下其實並不擔心海嘯會傳到台灣，畢竟東加在南半球，比我曾經到訪的所羅門群島還要更南邊。東加那邊產生的火山型海嘯對台灣很難有影響，我當下甚至認為對日本和美國也不會有影響。

但是，人生中總是有許多但是，不久後我就收到許多訊息，其中一則讓我突然緊張起來。那就是日本竟然發布海嘯警戒！全球中，以海嘯預警而言，我認為做得最好的前兩名國家，一是美國、二是日本，三是...... 我認為是台灣。而且台灣並不輸美國和日本，為何我會這麼說，等有機會和篇幅再來好好聊一聊。日本對於海嘯預警是相當嚴謹的。這次美國太平洋海嘯預警中心都沒發海嘯警報，日本卻發了，表示這個海嘯不尋常。

我的學生吳函，目前在中央氣象局工作。2022 年 1 月 15 日（ 週六）下午 4 點 29 分時，就傳了東加海嘯侵襲到東加首都的影片。這影片相當珍貴。但也從影片中可看出，即便首都距離東加火山只有 45 公里，第一波海嘯波也僅約 1 公尺。所以我當時其實僅略為留神，並未特別去進行海嘯分析。

圖三：東加火山噴發後海嘯傳到東加本島。圖中可見海嘯波高約 1 公尺。（原影片出處：https://twitter.com/sakakimoana/status/1482218193619865600?t=cQLdLW-Nb6Ol2XfA9KS6nQ&s=19，後收錄至CNN News18。https://www.youtube.com/watch?v=a2hHUMVj_zM）

圖四：東加火山噴發掀 15 公尺海嘯，東加政府：釀前所未見災難。（https://www.cna.com.tw/news/aopl/202201190056.aspx）

這裡插播一下，目前的海嘯預警都是針對地震型海嘯來設計的。對於山崩型海嘯或是火山型海嘯尚未有數值模式可以做到預警。而日本之所以會發布海嘯警報，主要是靠海嘯監測儀器預警。這點很關鍵，稍待會用到。

到了晚上 11 點 22 分，也就是海嘯大約傳遞了 7 個小時後，日本突然發布海嘯警報，並根據觀測，推估日本會有 1 公尺以上的海嘯，甚至部分區域會高達 3 公尺！這真的讓我跳起來，心想為何日本會對遠在南太平洋的火山型海嘯發布如此大的海嘯警報呢？但是因為時間急迫，海嘯都已經傳了七小時了，再兩個小時就要抵達台灣，實在沒有時間調適心情，必須立刻開始進行計算才行。可是，剛剛才說過，目前全世界都沒有火山型海嘯的數值預警系統，那要怎麼辦呢？

我的學生曾歆倚，和已經畢業的學生邱韜，雖是周六的半夜和周日的凌晨，卻都已經在線上待命，只要將參數輸入模式，馬上就可以進行即時速算。歆倚負責的是OpenMP 版COMCOT 海嘯速算系統，而邱韜則是開發GPU 版COMCOT 海嘯速算系統。

這時我請兩位同學開始代入參數，以圓柱形海嘯源進行模擬，半徑設定 50 公里，柱高採 30 公尺。此時我的學生開始感到困惑，為何要如此設定？不久，邱韜的GPU版本就算完了，整個太平洋的海嘯最大波高圖在一分鐘左右完成。這時我看一下美國幾個DART的浮標數據， 然後依照該DRAT所觀測到的最大波高點，對應到邱韜最大波高圖的該點，並產生修正係數，再請邱韜依照這修正係數修改原本的答案，因此完成下圖，立即公布於臉書上。

圖五：東加火山海嘯最大波高圖之COMCOT-GPU 數值模式模擬結果。（上）：太平洋區域、（左下）：西北太平洋區域、（右下）東北太平洋區域。

這應該是全球第一個東加火山海嘯的數值速算結果（圖五）。由這張圖可以看出，海嘯越過整個太平洋，分別抵達日本、美國、智利等地，並在日本產生大約 1 公尺多的波高，美國也大約 1.5 公尺，智利也大約 1.5 公尺。不久，歆倚的 OpenMP 版也完成，也產製出相似的結果（圖六，左上圖及右上圖）。

圖六：東加海嘯數值模擬結果。（左上）：COMCOT-OpenMP 海嘯最大波高圖。（右上）：COMCOTOpenMP海嘯到時圖。（左下）：NOAA 海嘯最大波高圖。（右下）：NOAA 海嘯到時圖。

大約兩個小時後，日本和美國陸續開盤，日本的海嘯就真的大約是一公尺多，而美國和智利就真的是 1.5 公尺左右，賓果！

在大約一周後， 美國 NOAA PMEL 也依據所收集來的資訊，模擬出海嘯傳播的樣貌。從圖中可以看出，我們的結果，與一周後 NOAA PMEL 的結果相當近似（圖六，左下圖及右下圖）。

這時同學們已迫不及待想要了解這當中的秘密。我就在這公布答案。

首次火山形海嘯模式速算

火山型海嘯大多是因為山崩所造成。如果山崩的量體不足，例如只崩了東側或西側，那麼海嘯就會朝該側去傳遞，換句話說，如過火山噴發不夠大，那麼就要考慮海嘯源的方向性。但是這次東加火山是本世紀最強的火山事件，因此我大膽假設整個火山口會崩坍（後來也證明我的假設沒錯），所以海嘯源的方向性不明顯。另一方面，畢竟都已經過去了七小時，因此關注的並不是東加火山周圍的災情，而是遙遠的台灣、日本和美國。從台灣、日本和美國的角度來看，東加火山的海嘯源就相當於沒有方向性的點源，而不是像 2004 印度洋海嘯或 2011 東日本大海嘯所呈現的長條狀海嘯源。這是為何我當時請同學直接將海嘯源設定成圓柱狀的點源的原因。

再來就更玄了，為何要設定成 50 公里的半徑呢？我的答案是，其實要設多少都可以，只要大於 25 公里即可，而設定大一點的可以降低網格解析度的需求。是的，這是有理論根據的。既然海嘯要能夠由南半球傳到北半球，肯定波長不能太短，根據淺水波的定義（Dean & Dalrymple 1984），波長最好能大於 20 倍的水深，才能符合完整的淺水波假設。考慮太平洋的水深是 4 公里深，而波浪在傳遞過程中受到頻散效應影響，跑在前頭的波浪會漸漸融合成更長的波，所以海嘯源的半徑大約要大於 25 公里才行。

最玄的還是最後一個海嘯源初始波高的設定，初始波高會直接影響海嘯波高的計算結果。我隨意講一個 30 公尺的初始波高，難道會對？

呵呵！當然不會對！問題是，我們還有最後的係數校正啊！

這也是有理論依據的。海嘯模擬所用的方程式，是由流體力學中Navier-Stokes 動量方程式（式2），透過深度積分以及靜壓假設而來（式3），而 Navier-Stokes 動量方程式則是牛頓第二運動定律 \(F = ma\) 的尤拉座標版。由於海嘯在深海中的波高和水深不成比例，即便是強大如 311 東日本大海嘯，其海嘯波高在深海中也低於 10 公尺，因此非線性強度小到可以忽略。簡單的說，就是非線性淺水波方程式的對流導數項可以忽略，進而將非線性淺水波方程式簡化成線性淺水波方程式。線性波理論有個好處，就是結果可以等比例放大或縮小，也就是答案可以利用係數進行修正！$$ \frac{Du}{Dt}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\mu_m}{\rho} \langle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\rangle +X $$ $$  \frac{Dv}{Dt}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}+\frac{\mu_m}{\rho} \langle \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}\frac{\partial^2 v}{\partial y^2} \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}\rangle +Y \tag{2}$$ $$\frac{Dw}{Dt}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}+\frac{\mu_m}{\rho} \langle \frac{\partial^2 w}{\partial x^2}\frac{\partial^2 w}{\partial y^2} \frac{\partial^2 w}{\partial z^2}\rangle +Z $$

\(\mu_m\) 為流體分子的黏滯係數。大寫的 \(X\)、\(Y\)、\(Z\) 則為流體所接受到的體力（Body Force），如 \(Z = g\) 則表示重力加速度施加在 \(z\) 方向。$$\frac{\partial U}{\partial t}+U \frac{\partial U}{\partial x}+V \frac{\partial U}{\partial y}=-g \frac{\partial \eta}{\partial x}+\frac{1}{\rho} \langle \frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}+\frac{1}{\rho (h+\eta)}+[\tau_{zx}(\eta)-\tau_{zx}(-h)]$$ $$\frac{\partial V}{\partial t}+U \frac{\partial V}{\partial x}+V \frac{\partial V}{\partial y}=-g \frac{\partial \eta}{\partial y}+\frac{1}{\rho} \langle \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yy}}{\partial y}+\frac{1}{\rho (h+\eta)}+[\tau_{zy}(\eta)-\tau_{zy}(-h)] \tag{3}$$

其中

$$U=\frac{1}{h+\eta}+\int^{\eta}_{-h}udz$$ $$V=\frac{1}{h+\eta}+\int^{\eta}_{-h}vdz \tag{4}$$

我當時想，既然這個海嘯波都已經走了七個小時，一路會經過不少美國 NOAA 在太平洋中所部署的 DART 海嘯浮標，而且這些數據即時且公開。可以利用這些數據作為參考，以修正所算出來的結果。經過比對與修正，果然不管是 GPU 版，抑或是 OpenMP 版的 COMCOT 海嘯速算系統，後來都證實計算結果相當準確。

我在這裡要感謝當天晚上跟我一起奮鬥的吳函、邱韜、曾歆倚、周宥全同學。讓這次的模擬能夠順利進行。

東加火山海嘯「越陸」了

這次的海嘯最特殊的地方，其實不在於火山海嘯規模大到可以越洋，而是這次海嘯竟然「越陸」了？！

這次海嘯雖然起源於南半球的東加王國，但是海嘯竟然抵達印度洋、地中海、大西洋、甚至加利比海。這是人類歷史上第一次觀察以及監測到「越陸」海嘯，所以到底是發生了甚麼事情？

圖七：美國NASA的Aqua衛星圖拍攝之衝擊波傳遞情形。(來源：https://www.nature.com/articles/d41586-022-00127-1)

這要從東加海嘯獨特的「氣爆」說起。火山噴發有分成熔岩型緩慢流出，以及噴射型向上快速噴發。前者如夏威夷火山，後者如東加火山。東加火山這次不僅噴得高，也噴得很響！從美國 NASA 的 Aqua 衛星圖（圖七）可以明顯看到，東加火山噴發後，平流層出現一圈快速向外擴張的「漣漪」，其速度遠大於蕈狀火山灰擴張的速度。這是因為爆炸產生了氣壓衝擊波（Shock Waves）。這種衝擊波可以在砲彈爆炸與核彈爆炸影片中觀察到。該衝擊波原則上以音速向外擴張，但會因為溫度與濕度略為減速。由中央氣象局氣壓觀測資料可以算出，衝擊波的速度大約為每秒 305 公尺，換算成時速大約為每小時 1100 公里。這速度很重要，等一下會用上。東加的氣壓衝擊波一共繞行地球約四次，透過氣壓的觀測紀錄可知，衝擊波所產生的氣壓差大約是 2 個百帕，如果還是沒概念，這氣壓差大約是 2 公分的水深所產生的壓力，講個更容易了解的比方，這就好像有一艘船吃水深（也就是船在靜止情況下，沉在水面下的深度）只有 2 公分。這 2 公分壓力擾動其實很小，即便繞行地球四次，我想應該沒有人有感覺。

問題就來了，這 2 公分水壓的衝擊波，竟然在各地造成 40 公分到 1.5 公尺不等的衝擊波海嘯？！

普曼共振

這問題在海嘯圈掀起大浪！主要的癥結在於為何2公分的氣壓差會造成 40 公分以上的海嘯呢？目前的主流說法是普曼共振（Proudman resonance）。船的移動叫船速，波浪的移動叫波速，而船移動時會在船的四周產生向船身外側傳遞的波浪。當船速與波速相等或略大於波速時，在船前方的船首波一方面持續被船移動而不斷生成，但是所生成的船首波也因為波速與船速相同或略慢於船速而無法逃逸，進而不斷累積，使得船首波越積越高，而產生比船身吃水深要高出很多的船首波。這樣的效應就稱為普曼效應。筆者在康乃爾大學求學時期，曾經發表此類文章（Liu and Wu，2004），該文章即透過氣壓梯度力來模擬船體在航行中所產生之船首波。

基本上普曼共振的特色在於：

（1）船速大約等於波速，文中指出最佳船速大約為 1 倍波速

（2）當船速高於 1.2 倍波速，普曼共振即消失

（3）船首波會在船身（氣壓梯度力）之前

（4）普曼效應並不會不斷放大船首波

圖八：東加海嘯花蓮站之氣壓與潮位時序資料。上圖：氣壓時序資料。紅線：原始數據、黃線：濾波後之數據、黑線：均值。下圖：潮位站時序資料：藍線，含潮汐之潮汐總水位。紅線：濾除潮汐後之水位偏差。資料提供：中央氣象局。

現在讓我們回到東加海嘯。東加海嘯的衝擊波在普曼共振中，即為那艘吃水 2 公分的船，而這艘船跑得極快，秒速約 305 公尺，所以我們姑且稱它為「東加音速號」。而海嘯的波速是多少呢？若以太平洋的平均水深約 4000 公尺來看，長波傳遞速度可依據頻散關係式所推導出之波速公式 \(V = \sqrt{gh}\)，來計算。重力加速度為 \(9.81 \hspace{2mm} \rm m/s^2\)，我們姑且簡化為 \(10 \hspace{2mm} \rm m/s^2\)，因此海嘯在太平洋中大約以每秒\(\sqrt{40000}\)公尺，也就是每秒 200 公尺的速度在前進。從這裡我們可以看出，「東加音速號」的船速，大約是海嘯波速的 1.5 倍，這速度遠大於先前可產生普曼共振的速度。因此理論上普曼共振無法成立。這部分亦可以由我的博士生林君蔚同學的 COMCOT-OpenMP 模擬可以看出。

普曼共振在東加海嘯中不成立的另一個證據，是根據中央氣象局所提供之時序氣壓與潮位站時序波高資料來看，氣壓比海嘯先抵達台灣（圖八）。若有普曼共振，則海嘯應比氣壓先到台灣才對。

圖九：東加衝擊波 COMCOT 海嘯模擬。由圖可見，海嘯波無法追上氣壓衝擊波，因此無船首波，海嘯波皆落於氣壓衝擊波之後。（左）氣壓分布圖、（右）海嘯波高分布圖。（註：氣壓擾動已放大 100 倍）

圖十：不同衝擊波前進速度所造成之海水位擾動之比較。（左）\(U = 100 \hspace{1mm} \textrm{m/s} = 0.5V_c\) ，（中）\(U =200 \hspace{1mm} \textrm{m/s} = V_c\)，（右）\(U = 300 \hspace{1mm} \textrm{m/s} = 1.5 V_c\)。\(U\) 為情境衝擊波移動速度。\(V_c\) 為海嘯波波速，以太平洋平均水深 4000 公尺為基準，\(V_c = gh = \sqrt{40000} = 200 \hspace{1mm} \textrm{m/s}\)。由圖中可見，當衝擊波波速與海嘯波波速近似（中圖），普曼共振效應才會產生，並於衝擊波前方推出強大之海嘯波。

後記

既然普曼共振無法解釋這次 2 公分吃水的「東加音速號」為何能產生 40 公分以上的海嘯，那麼這究竟是何種原因造成的呢？目前學界沒有進一步的答案。但是根據筆者目前的研究，這是因為船「尾」波效應所造成。目前筆者的研究團隊正求解中，受限於學術投稿以及篇幅，目前僅能透漏這研究已經接近尾聲，答案也呼之欲出，請各位拭目以待。
另外，台灣會不會有火山型海嘯呢？這可能是大多數台灣人關切的問題。答案是有的。龜山島就會。至於詳情，就待下回分曉。

參考文獻：

1.  臺灣清領時期的降雪紀錄，台灣網路科教館。https://www.ntsec.edu.tw/LiveSupply-Content.aspx?cat=6841&a=0&fld=&key=&isd=1&icop=10&p=1&lsid=16212
2. Philip L.-F. Liu & Tso-Ren Wu（2004）“Waves generated by moving pressuredisturbances in rectangular and trapezoidal channels,” Journal of Hydraulic Research, 42（2）, 163-171, DOI:10.1080/00221686.2004.9728379.
3. Patrick Lynett（2022）“The Tsunamis Generated by the Hunga Tonga-Hunga Ha'apai Volcano on January 15, 2022, Research Square, DOI: https://www.researchsquare.com/article/rs-1377508/v1
4. Dean, R.G., and Dalrymple, A.D.（1984）.“Water wave mechanics for engineers and scientists.” Prentice Hall, Inc