從「物理感」來理解簡諧運動的數學公式

從微觀的原子世界，生活中常見的物品到宇宙中的天體，「振動」的現象無所不在。例如微波爐是利用水分子的振動來加熱食物、大氣中的溫室氣體、物理教室裡的單擺、公園裡的鞦韆、經受著地震考驗的高樓與橋梁、還有精心設計的電子石英錶等等，都是振動的例子。

雖然說簡諧運動（Simple Harmonic Motion, 簡稱SHM）是所有振動型態中最簡單的一種，不過對初學物理的同學來說，還是有一定的難度。本文分享三個示範實驗，先培養對簡諧運動的「物理感」，再介紹抽象的數學公式，除增添學習樂趣之外，也為將來學習與研究其他振動現象奠定基礎。

這三個示範實驗分別是：

• 彈簧－質點系統：用彈簧掛著砝碼，介紹描述簡諧運動的語言。
• 沙漏單擺：以小振幅擺動的單擺，展示簡諧運動與正弦函數之間的關係。
• 圓周運動的投影：利用圓形轉盤與投影機，介紹「參考圓」的觀念，並引進簡諧運動公式。

「簡」是「線性恢復力」的意思

從字面意義來說，「簡」是「簡單」（simple）的意思，特指「線性恢復力」的意思。最典型的例子是遵循虎克定律（\(F=-kx\)）的彈簧。

彈簧彈力的大小正比於彈簧的伸長量，亦即物體離開平衡位置處的位移大小。這個恢復力正比於位移的一次方，就是數學上「線性」的意思：在彈力對位移的線性函數圖形中，彈力常數（\(k\)）就是該直線的斜率。

此外，虎克定律中的負號，表示彈簧的彈力與位移二者在方向上是相反的，這也是「恢復力」的意思：當彈簧被拉長時，彈力是朝著往內收縮的方向；彈簧若被壓縮，彈力則是朝往外彈開的相反方向。無論是哪種情形，恢復力都是朝向平衡位置的方向。

讓我們利用彈簧－質點系統來介紹描述簡諧運動的語言（如圖一）：

• 平衡位置：當彈簧掛上砝碼（質點）之後，在靜止時的位置即為平衡位置。在平衡位置處的砝碼，受到重力與彈力的作用，二者大小相等、方向相反，故砝碼所受到的合力為零。
• 位移：砝碼的位移是以中央的平衡位置為原點來做計算。位移為向量：若是水平方向的振動，位移（\(x\)）為正，表示質點位於平衡位置的右側，位移為負，則為左側。同理，若是垂直方向的振動，位移（\(y\)）為正，表示質點位於平衡位置的上方，位移為負，則為下方。
• 振幅：振幅（\(A\)）是位移的極大值，是個純量。以垂直方向的振動為例，位移 \(y=A\) 表上方的端點，\(y=-A\) 為下方的端點。
• 週期：週期（\(T\)）是質點完成一次振動所需要的時間（秒／次）；「一次振動」是指質點經一次往復運動而回到原處。因此，雖然整個位移會等於零，但是路徑長卻是四個振幅的大小。
• 頻率：頻率（\(f\)）是指單位時間內質點所完成的振動次數（次／秒）。

附帶一提，從公制單位來看，週期的單位是「秒／次」；頻率的單位是「次／秒」，兩者有很明顯的「倒數關係」： \( T=\frac{1}{f}\) 或 \(f=\frac{1}{T}\)，亦即頻率愈高的振動，它的週期愈短，反之亦然。且在書寫單位時，通常這個「次數」是不寫出來的，因此週期的單位就是秒（s），而頻率的單位就是「秒分之一」（1/s或s^-1），稱為赫茲（hertz，符號 Hz，簡稱為赫），用以紀念首位測量到電磁波頻率的德國物理學家赫茲（Heinrich Hertz, 1857-1894）。

圖一：彈簧－質點系統的簡諧運動。質點從右方端點開始振動，經過一個完整振動週期的路徑長為四個振幅。注意，位移與加速度同時達到極大值，但方向相反。

接著讓我們來看看簡諧運動的重要特徵，特別是質點的位移、速度與加速度之間的關係（圖一）：

• 當質點位在兩端端點處時，振幅最大，由於彈簧的彈力大小與伸長量成正比，因此，質點所受的彈力最大，所以加速度會是極大值，而速度則因為正要開始往反方向運動，所以是瞬間靜止的，也就是速度的極小值。
• 同樣的道理，當質點在通過平衡位置處時，因為彈簧的伸長量為零，因此彈力為零，物體的加速度大小也為零（極小值），然而，因為前一階段的加速過程，質點在此時的速率會達到極大值，之後則因為彈簧的恢復力作用而開始減速。
  
  

總結來說，我們可以透過彈簧來理解，由「簡」字代表的「線性恢復力」的效果：簡諧運動的質點在兩端端點處，位移最大，加速度也達極大值，速度則為零（極小值）；在中央平衡位置處，位移為零（極小值），加速度也為零（因為彈力為零），而速度則為極大值。

「諧」是「可用正弦或餘弦函數表示」的意思

簡諧運動的「諧」字，是「和諧」（harmonic）的意思，在物理上是指可以用正弦（sine）或餘弦（cosine）函數表達的數學關係（sinusoidal）。

「和諧」與「正、餘弦函數」之間的關聯比較不那麼直接，也比較抽象。在課堂上，我們透過「沙漏單擺」示範實驗（如圖二），以直觀的方式，展示正弦函數與簡諧運動之間的連結。

圖二：利用「沙漏單擺」展示簡諧運動與正弦函數與之間的關聯。

在此之前，先讓同學去觀察小振幅擺動中的單擺的運動方式，確認它與先前的彈簧系統相似，都是在中央最低處（位移為零）的速度最大，而在兩端的端點處，速度最小。之後，透過自由物體圖來分析出擺錘的受力情形（圖三）：在中央平衡位置處，單擺所受合力為零，故加速度也為零（極小值），在端點處擺錘所受的合力大小為  ，在小角度（並以弳度為單位）的情況下， \( \sin \theta\) 與夾角 \( \theta\) 的數值相近 ，因此在端點處，位移與加速度均為極大值，但方向相反。

圖三：當單擺以小振幅（小角度）擺動時，擺錘的運動可視為簡諧運動。注意圖中擺錘的位移與合力（加速度）的方向相反，而在端點處，亦即在位移最大的地方，也是加速度達到極大值的地方。

第二個示範實驗的靈感源自於很多教科書上的示意圖，例如在與彈簧相連的木塊上加一支筆，並讓這支筆在一個等速移動的紙條上留下軌跡。我稍作修改，以較為簡易的「沙漏單擺」取代，摘要做法如下：

• 以漏斗與細沙取代單擺的擺錘：用手指按住漏斗下方的小口，準備深色的細沙，倒進漏斗裡作為擺錘。
• 把漏斗的另一端以細繩繫於天花板上（擺長較長時，振動的周期較長，運動速度較慢，易於觀察）。
• 在漏斗下方放一張桌子，桌上準備一張壁報發表用的厚紙板，讓它的邊緣附近位於沙漏的下方，並把漏斗沿著紙板的邊緣拉離開最低的平衡位置處。（注意要維持單擺的「小振幅」，不要讓漏斗離開紙板的範圍，免得沙子漏到地上。）
• 在釋放沙漏單擺的瞬間，移開手指頭，同時，請一位學生以等速率的方式，拉動厚紙板。由於厚紙板的移動與沙漏單擺的振動方向垂直，加上一個是等速度運動（厚紙板），另一個是變速度運動（單擺），因此，細沙會在紙板上留下的一條美麗的正弦函數軌跡。
  
  

由於正弦與餘弦函數的形狀完全相同，差別只在起始的位置或時間點（相位角），所以二者都可以用來表示簡諧運動中質點位置與時間的關係，例如從平衡處開始的振動，可用正弦函數表示，而從端點處開始的振動，可用餘弦函數表示。

仔細觀察厚紙板上細沙的厚度，可以很明顯地看出來，在兩端的厚度較厚，而中心點的厚度較薄，也就是說：擺錘在兩端時的速率較慢，而在通過中心時的運動速率較快。這不僅符合簡諧運動的運動特徵，厚紙板上的正弦（餘弦）函數圖形，也充分地展示了「諧」字在此的意義（請參考YouTube連結：https://youtu.be/sC2kLz3fPbc）。

參考圓：圓周運動的投影就是簡諧運動

圖四：利用轉盤、網球與投影機介紹「參考圓」的概念。

對於還沒有學習微積分的高中同學而言，「參考圓」是用來理解與計算簡諧運動問題的一個重要工具。

同樣地，我也是把教科書裡常見的示意圖，以示範實驗的方式搬進教室（圖四）：在轉盤的邊緣貼一個網球，用投影機照射，然後觀察在白板上出現的網球影子。當圓盤以等速率旋轉時，網球所形成的影子就是簡諧運動：在兩端時因為要折返朝反方向運動，因此瞬間靜止的影子速率為零，是速度的極小值；而在中心位置的影子速率明顯地快很多。

「投影」是理解參考圓的核心觀念：等速率圓周運動在水平（或垂直）方向的投影。

等速率圓周運動有兩大特徵，同學們已經相當熟悉：（1）網球的運動方向是在圓周的切線方向，（2）加速度是在向心方向。所以，此時只需要再加兩支白板筆，一支代表速度，另一支代表向心加速度，就能很清楚地展示，簡諧運動在速度與加速度上大小與方向的變化。

當然，在理解「投影」這個主要觀念之後，透過繪圖的方式，清楚地透過三角函數的定義，來計算位移、速度與加速度等分量，詳細寫下數學式也是學習參考圓的一個重要內容（圖五）。

圖五：利用參考圓與投影的概念，寫下質點在簡諧運動中的位移、速度與加速度的時間關係式。

簡諧運動的週期公式

至此，我們除了已經很熟悉的簡諧運動的特徵之外，應該也可以用數學公式來表示這些特徵。以水平方向，從端點開始振動的彈簧－質點系統為例，質點的位移、速度與加速度時間函數為：

位移：\(x= A \cos \theta = A\cos \omega t\)

速度：\(v_x = -A \omega \sin \omega t\)

加速度：\(a_x= -A \omega^2\cos \omega t\)

比對位移與加速度之間的關係可得：\(a=- \omega^2 x\)，這個數學式子不僅說明了位移與加速度成正比（\( \omega^2\) 是比例常數），以及二者方向相反（負號的意義）之外，更是可以幫助我們求得振動週期的重要線索。

根據虎克定律，作用在位移 \(x\) 處的質點的彈力為$$F=-kx$$

結合牛頓第二運動定律（\(F=ma\)）：$$ma=-kx$$

移項整理之後可得加速度 $$ a=-\frac{k}{m}x$$

對比上述位移與加速度之間的關係可知 $$\omega^2\frac{k}{m}$$

亦即$$ \omega= \sqrt{\frac{k}{m}}$$

結合角頻率 \( \omega=2 \pi f =\frac{2 \pi}{T}\)，所以振動週期$$T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

以上我們是從「力量」的觀點，分析並得出週期公式，現在，讓我們換從「能量」的觀點來思考一下週期的問題。

根據能量守恆定律，在振動過程中，動能與位能會互相轉換，但總和維持不變。因此，質點在平衡位置處的動能，會等於在端點處的彈力位能（因為彈簧在平衡位置的位能為零，而質點在端點處的動能為零）：$$\frac{1}{2}mv^2_0=\frac{1}{2}kA^2$$

式中的 \(A\) 是振幅，也是彈簧的伸長量，\(v_0\) 是質點在平衡位置處的速率極大值，也是參考圓上質點的切線速率，亦即$$v_0=A\sqrt{\frac{k}{m}}$$

由於簡諧振動的週期與參考圓的週期一致：$$T=\frac{2 \pi r}{v_0}=\frac{2 \pi \cdot A}{A\sqrt{\frac{k}{m}}}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

這個週期公式與我們剛剛從虎克定律與牛頓運動定律所推導出來的結果一樣，不知你是否喜歡這種「異曲同工」的樂趣？

在推導得出一個公式之後，一定要記得再看一眼，想想看這個公式的意義是什麼？它合乎常理嗎？首先，質量大的物體，慣性也大，在振動的過程中，比較難改變速度，因此週期較長。其次，彈力常數 \(k\) 值較大的彈簧，較硬，較難拉長或壓縮，因此振動的週期會較短。雖然無法直接驗證定量上的「平方根」關係，但是，整體上是合理的。

最後，振動的週期與振幅為何會無關呢？在能量觀點的推導過程中，很明顯地，在最後一個步驟時，因分子與分母各含有一個振幅而相互抵銷，使得週期公式中沒有振幅這個變數。另外，若從物理觀念來思考，振幅增大時，表示彈簧的伸長量變長，這使得質點在通過平衡位置時的速度也會變快（此即參考圓的質點切線速率）。另一方面，振幅愈大，表示參考圓的半徑愈大，圓周長愈長，在速率與圓周長同時增大的情形下，兩相抵銷，繞行一周的時間自然會保持不變。

這個週期定律有一個有趣的應用：在太空站裡，幫太空人量體重。由於太空站是個失重的環境，因此太空人無法透過普通的彈簧秤來量體重。有鑒於此，美國太空總署（NASA）設計了一張可以把人卡住並且與彈簧相連的椅子，稱為身體質量測量儀（Body Mass Measurement Device），當太空人坐在這張椅子上時，便能透過振動週期來測量質量（\(m=kT^2/4 \pi^2\)），據此來管理體重。這也是「慣性質量」的觀念，與我們在地球上熟悉的「重力質量」略有不同。

簡諧運動是學習其他振動模式的基礎：從向量到相量

振動的現象不僅無所不在，還具有很多種形式，例如線性和非線性振動，週期和非週期性振動，阻尼和無阻尼振動，自由、受迫、自發和誘發振動等等。然而，其中最重要，也最基本的振動方式就是簡諧運動。我們從中所學到的物理模型與數學語言，是未來學習與研究其他振動型態的基礎。

舉例來說，彈簧－質點系統與交流電路中的LC、RLC串聯振盪電路，常常被拿來做觀念上的類比，因為他們不僅有相同的物理特性（電感抗拒電流的變化，好比抗拒速度變化的質量；可以儲存電能的電容器，好比可以儲存彈力位能的彈簧；會消耗電能的電阻，則像是摩擦力），也有相同的數學模式（正弦函數的表示式等等）。

相對於向量（vector）而言，相量（phasor）應該是台灣同學比較陌生的觀念。簡單來說，相量就是「旋轉的向量」，只要把參考圓中代表位移、速度與加速度的三個向量箭頭，以平移的方式，把它們的起點全部移到圓心處，並讓這三個向量以同樣的轉速逆時針旋轉，就是可以代表簡諧運動的相量圖（圖六），而它與正弦、餘弦函數的關係，也非常明顯（圖七）。

    


       
圖六：左圖為參考圓，右圖為相量圖。

(a)    由中心平衡位置開始振動

(b)   由端點處開始振動

圖七：利用相量圖寫下簡諧運動中質點的位移、速度與加速度的時間關係式。（a圖）是以中心平衡位置處開始的簡諧運動，（b圖）是從端點處開始的簡諧運動。

在力學裡，以參考圓來表示簡諧運動，相當符合直覺，也很簡單，但是，在電路學裡，參考圓的方式就比較不那麼直接，但是，如果能以相量圖來分析交流振盪電路，則可以省掉很多繁複的計算，大幅簡化解題的過程。這也是我們在本文一開頭所說的，簡諧運動是學習其他振動模式的基礎。