變程躍遷導電復仇記

半導體工藝和工業改寫了半個多世紀以來的人類文明，是一個毋庸置疑更無需再論證的當前事實。有關半導體材料、物理及元件發展故事的報導，汗牛充棟，觸目皆是，讓人津津樂道。

英文一字“semiconductor”是1911年就從德文（"halbleiter"）翻譯過來的，意指導電性質介於金屬與絕緣體之間的一類材料。但是直到1931年，Wolfgang Pauli猶氣勢凌人地對知名物理學家Rudolf Peierls說：「科學家不應該研究半導體，它們極端骯髒污穢，誰曉得它們是否真正存在。」這則Pauli（又）犯大錯的故事，很多人聽過；眾人比較不熟悉的是以下的另一個故事。

半導體的「有用」來自於摻雜（doping），摻雜帶來了雜質導電（impurity conduction）特性。諸多情況下，雜質導電呈現出變程躍遷（variable-range hopping，簡稱VRH）的導電過程。實驗上，雜質導電是1950年美國普渡大學洪朝生和J. R. Gleissman（Physical Review 79, 726 (1950)）在鍺晶體的低溫傳輸（輸運）測量中首先發現的。理論方面，N. F. Mott在1960年代初期提出了著名的變程躍遷導電公式，預測維度為d的樣品的電阻率（r）對溫度（T）的變化關係為：。Mott的理論未考慮無序（disordered）情況下的電子—電子作用（electron-electron interaction）效應，因此在費米能級（Fermi energy）處的電子能態密度為一常數。Mott的這一個理論預測非常成功，在許多材料中都廣泛看到了，包括在最近的奈米結構石墨烯樣品及二維材料中，都印證了其正確性。（半導體摻雜後，雜質的位置隨機分佈，因此相對於未摻雜的有序晶體而言，構成了一個無序系統。Mott因為對磁性和無序系統的電子結構的理論研究，與P. W. Anderson及J. H. Van Vleck，三人分享了1977年諾貝爾物理獎。）

1975年，蘇聯凝態物理學家A. L. Efros和B. I. Shklovskii（以下簡稱ES）兩人考慮了電子—電子作用在無序體系中的重要性，發現費米能級處的電子能態密度會被完全壓抑，形成一個軟能隙（soft Coulomb gap），進而大幅度改寫電阻率的溫度變化行為。他們發現，無論樣品的維度是一維（d = 1）、二維（d = 2）或三維（d = 3），電阻率對溫度的依賴都呈同一函數形式，即：。ES的理論提出之際，Mott的學術聲望如日中天，對兩人造成了極大的心理威脅。因此四年後（1979年），當ES出版他們的俄文專書《Electronic Properties of Doped Semiconductors》——後來成為了一本名著，迄今仍屹立不搖！——時，他們只在書中寫了一節電子—電子作用對變程躍遷導電公式的影響和造成的修正。

有趣的事發生在1984年，當ES專著的英文版問世之時。在英文版的序言中，ES兩人寫道，當年撰寫俄文版時，我們是如此地「膽怯」，但經過了這些年（ES理論發表之後的約10年間），有好些同行在理論和實驗兩方面，做了許多延續研究和開展，獲得了極多的成果與推進，因此我們現在覺得「義不容辭」，有必要在英文版中再加寫一章，提及他們的貢獻，討論能隙、雜質帶結構（impurity-band conduction）、和躍遷導電的（電腦模擬）問題。——端視電子關聯在不同材料中的作用強弱而定，Mott和ES的理論預測都正確，只是適用範圍（包括材料特性、摻雜程度、溫度區間等）不同。

至此，ES兩人想必自認終於吐了一口鬱悶之氣，公開演出一齣復仇記了！但可惜的是，能讀出這篇序言之「微言大義」的讀者，可能畢竟人數有限，因為專業著作的讀者，難免只是小眾而已。[i]

雜質導電相關文獻：

1. N. F. Mott and W. D. Twose, Advances in Physics 10, 107 (1961).
2. N. F. Mott and E. A. Davis, Electronic Processes in Non-Crystalline Materials, second edition (Clarendon, Oxford, 1979).
3. A. L. Efros and B. I. Shklovskii, Journal of Physics C: Solid State Physics 8, L49 (1975).
4. B. I. Shklovskii and A. L. Efros, Electronic Properties of Doped Semiconductors (Springer-Verlag, Berlin, 1984).