粒子物理行（十二） 粒子的磁偶極矩

在粒子物理學的發展史中，粒子的磁偶極矩是一個具有重要地位的物理量。電子的磁偶極矩的理論預言與實驗測量值的高準度吻合是量子電動力學成功的鐵證；質子磁偶極矩的大小反映了它並非基本粒子；緲子磁偶極矩的值與標準模型預言的偏差可能暗示著一些未知的物理。

磁偶極矩

我們知道，宏觀物體與電磁場的交互作用依賴於該物體的電荷和電流分佈。或者等價地說，物體與電磁場的交互作用取決於該物體的電多極矩 (electric multipole moment) 和磁多極矩 (magnetic multipole moment)。電磁多極矩的概念可以很直觀地用圖像理解。考慮圖一的帶電荷物體，它具有一電荷分佈。如果我們離該物體無限遠，那麽我們可粗略地把該物體近似為一顆帶相同總電荷的質點，如圖二。物體的總電荷大致上決定了該物體在電場下受到的電場力。因此，我們說物體的總電荷是零階電多極矩。如果我們離該物體只是很遠，而不是無限遠，那麽我們可隱約看到電荷分佈。除去總電荷的供獻，我們可以把電荷分佈近似為一對帶相反電荷，相隔一短距離的質點，如圖三。這種近似就是一階電多極，又稱為電偶極 (electric dipole)。在電場作用下，電偶極會受到力矩，因而轉動。電偶極與電場的耦合强度稱為電偶極矩 (electric dipole moment)。類似地，我們可定義更高階的電多極矩。原則上，如果我們得知物體的所有階電多極矩，我們便可推導出該物體中電荷的確切分佈。物體的高階電多極矩越小，它的電荷分佈結構越簡單，即越像一顆質點。

圖一                                    圖二                                      圖三 

磁多極矩的概念類似電多極矩，分別在於磁多極矩涉及到電流分佈，而非電荷分佈。由於電荷守恆，獨立物體中的電流分佈都像迴圈，這導致零階磁多極矩必定為零，即不存在磁單極。一階磁多極近似如圖四，是一個細小圓形電流迴圈。一階磁多極又稱為磁偶極 (magnetic dipole )。在磁場作用下，磁偶極會受到力矩，因而轉動。磁偶極與磁場的耦合强度稱為磁偶極矩 (magnetic dipole moment)。磁偶極矩 \( \mathbf{μ}\) 是一向量，方向如圖四，與電流迴圈平面垂直，其大小為 \( \mu =\rm I A\)，其中\(\rm I \)為電流，\(\rm A\) 為圓形迴圈面積。在磁埸 \(\mathbf{B}\) 作用下，磁偶極會受到力矩，導致其角動量改變。例如永久磁鐵，如指南針，它帶有非零磁偶極矩，因此會在磁場作用下擺動。類似於電多極矩，物體的高階磁多極矩越小，它的電流分佈結構越簡單，越像一顆質點。

圖四

基本粒子的磁偶極矩

我們很自然會問，基本粒子有電磁多極矩嗎？由於基本粒子是一質點，沒有內在結構，它的高階電磁多極矩為零。也就是說，對於基本粒子，非零電磁多極矩只有兩個：電荷和磁偶極矩。

基本粒子是一質點，與零階電多極近似完全相同，當然可以帶有電荷。可是，怎樣理解它能帶有磁偶極矩呢？我們知道，基本粒子帶有自旋角動量。自旋角動量是粒子在靜止參考系中的角動量。我們可粗略地想像基本粒子是一個在旋轉的小球，因此帶有自旋角動量 (雖然我們在第二章中已指出這種看法並不嚴格)。那麽，如果該小球帶有電荷，旋轉中的球便相當於一組電流迴圈，因而帶有磁偶極矩。

我們知道，粒子的種類由它的質量、自旋和荷標籤。根據量子場論，基本粒子與光子 (即電磁場) 的交互作用强度由一單一荷的數值----該粒子的電荷----決定。這是一個十分有趣的結論。因為這意味著基本粒子的磁偶極矩並非一獨立於電荷的量。給定基本粒子的質量 \(m\)、自旋 \(s\) 和電荷 \(q\)，我們可根據量子場論計算出它的磁偶極矩 \( \mathbf{μ}\)  的大小。在該粒子的靜止參考系中，由於粒子動量為零，與該粒子態有關的向量只有一個----自旋角動量。因此，粒子的磁偶極矩向量必須與其自旋向量平行。我們可以把磁偶極矩 \( \mathbf{μ}\) ) 與自旋角動量\(\bf{S}\)的關係寫成$$ \mathbf{μ}=\frac{qg}{2m} \mathbf{S}$$ 其中\(g\) 是一取決於粒子種類的常數，又稱為 \(g\) 因子 (g-factor)。

狄拉克 (P. Dirac) 於1928年根據他的狄拉克方程計算得出自旋1/2帶電荷基本粒子的 \(g\) 因子為2 (費曼圖如圖五，其中直線代表自旋1/2帶電基本粒子，波浪線代表光子)。狄拉克方程是一經典物理方程，它並不包含量子效應。為了方便表示量子修正的結果，我們定義

$$a=\frac{g-2}{2}$$

一般地，\(a\) 是電磁耦合常數的冪級數：

      \(a=c_1 \alpha + c_2 \alpha^2 +c_3 \alpha^3+...\)   (1)

其中 \(\alpha\) 為電磁耦合常數 ( \( \alpha=\frac{e^2}{4\pi} \approx \frac{1}{137}\)，\(e\) 為質子電荷)。\(a\) 代表了量子效應 (即含有迴圈的費曼圖) 對 \(g\) 的貢獻。從方程 (1) 可見， \(g\) 的量子修正數量級為百份之一。因此，對於自旋1/2帶電基本粒子， \(g\) 的值很接近2。

圖五

電子的磁偶極矩

電子的磁偶極矩是二十世紀量子物理發展史中的一個重要課題。它關係到原子能譜的解釋，自旋量子化的發現，永久磁鐵磁性來源的解釋，以至量子電動力學的發現。

狄拉克於1928年根據他的狄拉克方程得到電子的 \(g\) 因子的經典值為2，這與原子能譜的觀測結果吻合。施温挌 (J. Schwinger) 於一1948年利用他剛建立的量子電動力學計算了電子的 \(a\) (記為 \(a_e\) ) 的量子修正主導項 (費曼圖如圖六)：

$$a_e=\frac{\alpha}{2 \pi}$$

即\(c_1=\frac{1}{2 \pi}\)。此一計算結果與當時對電子磁偶極矩的準確測量值一致，標誌著量子電動力學的成功和量子場論的完備化，具劃時代意義，也因而被刻在施温格的墓石上 (圖七)。

圖六

圖七 (圖片取自維基百科)

至今，物理學家根據標準模型對於 \(a_e\) 已經計算至 \(c_5\) ，其結果為 $$(a_e)_{th}= 0.001159652181643(764)$$

圖八a、b、c和d分別顯示了計算 \(c_2\)、\(c_3\)、\(c_4\) 和 \(c_5\) 時所須要考慮的費曼圖例子。 \(c_5\) 的計算極為複雜，須計算的費曼圖數以萬計，並且於2015年才被完成。 \(a_e\) 的實驗測量結果為$$(a_e)_{ex}=0.00115965218073(28)$$

所以，\(a_e\) 的理論預測與實驗結果吻合至十二個小數位，堪稱為科學史上最成功的精確理論預測。

圖八(a)	圖八(b)
圖八(c)	圖八(d)

質子和中子的磁偶極矩

現在我們知道，質子和中子並非基本粒子，而是由夸克和膠子組成的自旋1/2複合粒子。我們從實驗測量得知，質子和中子都帶有非零磁偶極矩。質子磁偶極矩的大小為

$$\mu_{p}= 2.79284734462(82)\mu_{\rm N}$$

其中\(\mu_{\rm N}=\frac{e \hbar}{2m_p}\)，\(e\)為質子電荷，\(m_p\) 為質子質量。這對應質子的 \(g\) 因子為

$$g_p = 5.5856946892(16)$$

由於 \(g_p\) 遠大於2，質子不可能是基本粒子。施特恩 (O. Stern) 於1933年首次量度質子的磁偶極矩，並發現 \(g_p\) 遠大於2。這是揭示質子並非基本粒子的最早期線索。

更有趣的是，中子雖然不帶電荷，卻帶有非零磁偶極矩，其大小為

$$\mu_n=1.91304272 (45)\mu_{\rm N}$$

並且，中子的磁偶極矩向量與其自旋向量方向相反 (這情況與帶負電荷的電子相似)。如果是基本粒子，不帶電荷的話不可能帶有磁偶極矩。可是，現在我們知道，中子由夸克和膠子組成。夸克是帶電荷的自旋1/2基本粒子，帶有磁偶極矩。並且，夸克在中子中的運動會造成電流迴圈，從而產生額外的磁偶極矩。這些效應的總和構成了中子的磁偶極矩。

緲子的磁偶極矩

在粒子物理學的標準模型裏，緲子 (muon) 是一顆自旋1/2的帶電荷基本粒子。它的自旋和所有荷和電子相等，而質量約為電子的200倍。既然標準模型能成功對電子的 \(g\) 因子作精確理論預測，我們很自然想知道，標準模型能否對緲子的 \(g\) 因子作同樣成功的預言。

有趣的是，由於緲子的質量比電子大， \(g_\mu\) 對費曼圖中高質量的虛粒子的供獻比 \(g_e\) 敏感。例如，假設存在標準模型以外的一種很重的粒子\( \rm X\)，由於它的質量很大，目前的粒子對撞機未有足夠能量產生它。可是，這粒子可以在費曼圖中以虛粒子的形式出現 (如圖九)。粒子\( \rm X\)對粒子 \(l(l=e, \mu)\)  的 \(g\) 因子 \(g_l\) 的供獻 \(\delta g_l\) 與粒子\( \rm X\)的質量 \(M_X\) 和粒子l的質量 \(M_l\) 有以下關係：

$$\frac{\delta g_l}{g_l} \propto (\frac{m_l}{M_X})^2$$

所以， \(g_\mu\) 對新物理的敏感度約為是 \(g_e\) 的40000倍。因此，如果我們想尋找標準模型以外的新物理，測量緲子的磁偶極矩是個不錯的方向。

圖九

2021年四月，美國費米實驗室的實驗團隊發表了最新量度到的 \(a_\mu\) 。圖十為他們的結果。結合了美國布魯克黑文國家實驗室較早測量到的結果， \(a_\mu\) 的實驗值與理論值相差 \(4.2 \sigma\) (\(\sigma\) 為標準差， \(5 \sigma\) 以上為正式發現)。這意味著標準模型很可能無法解釋 \(g_\mu\) 的值，而新物理的確存在。

圖十

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