慣性溯源(下): 天上人間，俱為一體

上一回提到了從布里丹到伽利略一路的發展，這一回終於來到了完結篇。這次我們要從伽利略的接班人講起。誰是伽利略的接班人呢? 他就是有名的17世紀大哲學家勒內·笛卡兒(René Descartes，拉丁語：Renatus Cartesius；1596－1650）

比伽利略晚一輩的笛卡兒憑什麼有資格成為伽利略的接班人呢？主要的理由是他跨出伽利略想做而沒做到的一步，就是仿照歐幾里德的幾何原本的形式來建構新的自然科學。雖然伽利略是個很敏銳的學者，營造系統卻非他的強項，這一點，笛卡兒罕有人能與之匹敵。他的思緒清晰，文風簡潔，可以說是無人能出其右，再加上他是個數學天才，解析幾何就是他發明的，這樣的人物自然是伽利略接班人的不二人選了。

笛卡兒在《哲學原理Principia  Philosophiae》(1644)闡述了他的物理理論。當別人抨擊他的系統是Mechanics (在當時被當作與機械相關的工程學)時，笛卡兒回應道，我的物理就是Mechanics，所以後人將他的系統稱之為mechanical philosophy。套用他自己的話:

我可以在此處再次設置幾條規則，尤其是確定何時，每個物體的移動方式以及移動量如何以及增加多少，或者遇到其他物體而減少；這就是包含了所有物體本性產生的效果。(Le Monde(The World) , chap. 7)

所以與亞里斯多德那種以「本性」為中心的系統徹底被消除，取而代之的是如同幾何學一般，由邏輯支撐起來的一套描述一般的運動理論。就如同歐氏幾何有五大公設當作一切推論的基礎，而笛卡兒也有相應的所謂「運動定律」。他的前兩條運動定律分別是

1. (1)不受外力干擾下，物體會維持它的運動狀態，換言之，運動中的物體速度維持不變；靜止的物體則會持續靜止。

2. (2)不受外力干擾下，物體的運動會維持相同的方向。

第二條定律將圓周運動從不受力的運動狀態中排除出去。這是笛卡兒最得意的事，那就是將亞理思多德的影響徹底地排除掉!雖然笛卡兒像克卜勒一樣使用“慣性”一詞。但是與克卜勒不同的是，他將他對阻力的認識與反亞里士多德的主張相結合，即運動中的物體傾向於保持原先的運動，而不是趨向靜止。笛卡兒的另一項功績就是開始討論物體的碰撞，並且主張碰撞前後「運動量」必需守恆。這正是伽利略想要完成而沒來不及完成的工作。

但是他所定義的運動量=物體量乘上速度，對於同類的物質，當然就是與物體的慣性質量成比例，但是對於不同的物質，笛卡兒則沒有明說，為什麼呢?

主要的原因是在於笛卡兒的物理理論只是他龐大的哲學系統的一部份。雖然他的形而上學在許多方面都開創了新局，卻也造成了一些障礙。其中最大的問題就在於他的「心物二元論」。他堅持「心靈」的本質是「思想」，而「物質」的本質是「廣袤」(extensio)，也就是單純地佔有體積，這樣一來，固然將過去一些帶著神秘色彩的運動理論，像是克卜勒曾經設想過有「靈魂」引導行星走在軌道上的奇思異想，但是卻也帶來了一些麻煩。舉例來說笛卡兒強調物理必須是奠基在「幾何」的學問，傳統希臘式的冷熱乾濕等性質都是衍生，而非「本質性」的現象，應該從物理學中排除。所以不同種類的物質仍然可以用相同的數學語言來描述，這鋪下了將物理轉變成一個用數學來述說的公理系統，這一點固然是現代自然科學的精隨，但是他的形而上學卻也造成了一些阻礙。因為笛卡兒將「輕重」也當作是由「廣袤」所衍生的性質，這造成了整個系統的一個大問題。

另外一個由他的形而上學所造成的困難則是來自笛卡兒堅持物體的「內秉單純性」，所以他堅決拒絕以粒子之間的束縛來解釋物體的堅固性。因為束縛本身要嘛是一種物質，要嘛是一種性質，前者的話違反物質的本性，因為兩個物質不能佔據同一個空間，後者則賦予某種內秉性質於兩個物體之間，但是兩個物體之間什麼都沒有!因為他堅持否定虛空，甚至宣稱大自然惟一的真空存在於巴斯卡(主張虛空存在的法國學者)的腦中! 如此一來，宏觀的物體在本質上只是由其組成物質部分相對靜止而被認為是結合在一起。 這就造成了許多明顯的困難，舉例而言，物體被撞擊後導致它們的分散或破壞，因為沒有什麼機制可以將它們聚集在一起，這促使許多後來普遍同情笛卡兒機械哲學的自然哲學家都不得不嘗試尋找物質的內在屬性來解決這個難題。

另一件令專研笛卡兒哲學學者頭大的問題是笛卡兒物理學中「力」的概念。笛卡兒宣稱物體在外力作用下運動量會改變，物體碰撞時顯然是受到外力，因為碰撞後物體運動狀態也會改變，所以碰撞時碰撞的物體之間顯然有力的作用，但是力是如何從兩個物體的接觸面傳達到整個物體?運動量在碰撞時又是如何傳遞的?這些都讓笛卡兒系統顯得莫測高深。還有一點就是笛卡兒的運動量是沒有方向性的，這當然也造成許多的混淆與困惑。

此外還有一個大問題就是「自由落體」，既然笛卡兒徹底拆毀了亞里斯多德的系統，所謂「自然運動」這種說法就不復存在了。既然「自由落體」是等加速度運動，這就表示它持續地受力，那麼是什麼東西施力在自由落體上呢?是地球嗎?但是在笛卡兒的系統裡，力必定是物體接觸而來的，誰與落體接觸? 這個問題倒是有一個非常意想不到的答案，就是笛卡兒將自由落體與行星運動聯結了起來!雖然物質都傾向於直線運動，但由於它們靠在一起，彼此相互擠壓的話，笛卡兒宣稱這意味著這會讓以太充滿了漩渦。笛卡兒還區分了不同形式和大小的物質，其中粗糙物質比精細物質更強烈地抵抗圓周運動。由於離心力，物質都會趨向於漩渦的外緣，導致物質在那裡凝結。粗糙的物質由於其慣性而跟不上以太的漩渦，由於受到外部物質的壓力，這些粗糙的物質就被推入旋渦的中心。笛卡兒宣稱這種向內的壓力就是重力。地表上感受到的地球周遭漩渦造成的力，而行星呢?則是受到由太陽周遭產生的漩渦造成的力，這個力就是造成行星運動的動力! 本質上與造成自由落體的重力無分軒輊。

他還做了一個比喻，充滿液體的容器被旋轉後停止旋轉，那麼液體仍會繼續旋轉。此時如果將小塊物質（例如木頭）放入容器中，這些小塊會移動到容器的中間。由此笛卡兒嘗試建構一個漩渦理論來描寫行星的運動。笛卡兒認為行星本身並不動，而是被以太的漩渦所帶動。這個理論後來被海更斯發揚光大，影響了一整個世代的歐陸學者。海更斯就是因為研究它才得到離心力的公式。然而笛卡兒的Mechanics終究還是被牛頓的系統所取代。因為他無法推導克卜勒的行星定律，甚至連自由落體的等加速度運動結果都無法推導出來。關鍵的原因是雖然整個理論十分具象而有說服力，卻難以數學化，對以將物理學幾何化為目標的笛卡兒來講，似乎還蠻反諷的。但是Mechanics 這個字從此以後，成為物理中一個「高貴」的字眼，只有自洽並且完備的物理理論才配稱為Mechanics。中文雖然翻譯成統計力學，量子力學，但是「力學」其實都是Mechanics。

所以真正建力起現代物理學的人，說到底，還是牛頓。事實上，牛頓在就學時，花了許多心力在研究，批判笛卡兒的系統。他的巨著《自然哲學的數學原理》（Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica）比笛卡兒晚了四十三年，但是我們處處可以看到笛卡兒的影響。與笛卡兒類似地他也提出了運動定律，但是在一開場，就如同歐氏幾何一斑，牛頓定義了幾個量，第一個就是慣性質量:

定義一: 物質的量是同類之物的體積乘上密度。

(英文The quantity of matter is the measure of the same, arising from its density and bulk conjunctly.)

這個當然就是慣性質量的定義，有趣的是牛頓在底下解說寫著這個量與物體重量成正比，而且是由鐘擺實驗非常準確地驗證過。而我們也可以瞭解，第一個定義正是針對笛卡兒，因為這個術語正是由笛卡兒來的，但是他卻無法具體地講出密度。這正是笛卡兒罩門所在。

牛頓接著定義了運動量(我們今天稱之為動量)是慣性質量乘上速度，這是從布里丹一路到伽利略，乃至笛卡兒而來的概念，只是現在總算完備了。

最有意思的是第三個定義:

定義三：物質的內秉(固)力( vis insita)是一種抵抗(運動)的力量，無論處於靜止狀態還是在一直線上等速前進，每個物體都努力保持在它原來的狀態。

(英譯 The vis insita, or innate force of matter, is a power of resisting, by which every body, as much as in it lies, continues in its present state, whether it be of rest, or of moving uniformly forwards in a right line.)

在定義三底下，牛頓解說道這個力也稱為慣性力(vis inertiæ)，牛頓宣稱這個力只有在外力試圖改變物體的狀態時才會看得出效用。他還加註了一句靜止狀態是沒有絕對意義。這一則定義乍看之下十分古怪，但是它反映出一個新系統產生的新問題。在亞里斯多德的系統中，類似的東西聚集在一起是「本性」衍生的「自然運動」，不會有什麼問題，但是一旦推翻了這個系統，那麼要如何解釋石塊或是其他堅硬的礦物是凝聚成一體的呢? 為什麼受力時石頭不會自動四散，而是保持石塊的樣式呢?在那個完全不知道原子結構，晶體結構等等的時代，這實在是個大難題。哥白尼面對地球自轉時為何沒有四散崩解時，完全無法回答。同樣地，笛卡兒也無法回答為何物體在碰撞後為何不會裂解。在這裡牛頓終於把這問題處理掉了。當然，牛頓之所以能處理這個問題並不是因為他比哥白尼，笛卡兒更聰明，而是他抱持完全不同的空間概念。擅長鍊金術的牛頓顯然對微粒子哲學了然於胸，所以物質內聚的原理雖然完全不清楚，但是設想物質內的微粒透過彼此間的虛空傳遞交互作用形成束縛，對牛頓而言，完全沒有困難。牛頓在這裡強調，等速直線運動與靜止沒有實質的差異是為了說明物體作等速直線運動時如何保證每個部分能一起前進而不會變形。有趣的，今天的物理倒是有一個符合牛頓慣性力的好例子，眾所皆知，u與d夸克質量極小，然而它們之間的強作用力極強，我們量到的質子質量，大部分都來自夸克間的交互作用，當然，這不是牛頓的時代能想像得到的事。

慣性力之後接連定義的是「施加之力」(impressed force)，它被定義成物體運動狀態改變的原因。接下來四個定義都與向心力有關，這是他與虎克爭論之後的產物。海更斯雖然得到了向心力的正確數學表達式，然而他遵循笛卡兒的思路，將它視為離心力，一開始牛頓也是遵循著相同的思路，但是在與虎克你來我往的筆戰中，牛頓改變了原先的觀點，採用物體圓周運動時受到向心力的觀點，這對《自然哲學的數學原理》一書來講，至關緊要。今天我們會將離心力視為非慣性系的假想力，並不是錯誤，但是要解說行星繞日運動，採用離心力的話，

只會治絲愈棼，所以與虎克的爭論帶來了正面的效果，雖然牛頓不會感謝他最討厭的虎克就是了。

八項定義之後是有名的牛頓運動定律，第一條是

(一)物體會保持其靜止或等速直線運動狀態，除非有外力迫使改變其狀態。

這是笛卡兒第一與第二運動定律的合成。這項違反常識的定律源自伽利略，現在成了新系統的奠基石。接下來的第二定律則是

(二)運動量的變化與所施加的動力成正比，並且它們發生在所施加的力所在的直線上。

(原文:Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.)

這個自然是衍生自衝量說，但是重點是衝量產生的不是動量，而是動量的變化，這可是個花了人類好幾百年才搞清楚的，彌足珍貴。要特別說明的是，這裡的動量變化，是有方向性的，而且就發生在力的方向上。還有特別的一點，眼尖的讀者應該注意到，牛頓並沒有說，力等於動量的變化率，而是用比例的寫法。對習慣瞬時速度，瞬時加速度的現代讀者，大概很難體會對當時的讀者而言，這種瞬時的運動量是何等難以理解吧。而所謂的衝量(impetus)正確來講是力乘上施加力的時間。衝量等於運動量的變化，可以算是牛頓系統的核心，我們熟悉的F=ma終於出現了!

阿文一路從古代講起，似乎功德完滿，可以停筆了? 那您就錯了，更引人入勝的還再後頭。再過來的第三定律則完全是牛頓的創舉:

(三)對於每一個動作(action)，總是有對立的一個相等的反應(reaction)：或者說兩個物體對彼此的相互作用總是大小相等，方向相反。

To every action there is always opposed an equal reaction: or the mutual actions of two bodies upon each other are always equal, and directed to contrary parts.

這條運動定律乍看之下，好像不知從何處冒出來的，其實與之前牛頓所定義的所謂「慣性力」是有關的。如果慣性力是物體內聚的力的話，那麼物體本身怎麼不會受到這個力的推動而自動崩解，或是自發地改變狀態，而僅僅是保持原狀呢?牛頓的解答是內聚力是成雙出現，但是總和為零。第三定律同時也是龐大系統的運動可以用質心來代表的關鍵。

這三條運動定律也被牛頓稱之為「公設」，這正是伽利略以來的夢想，就是將新物理照著歐氏幾何的樣式建立起來，但是牛頓所成就的，可就遠超過伽利略，甚至於當代所有學者所能想像的了。因為他在設立了這些公設之後，他還說明了符合克卜勒定律的行星軌道運動必定是受到從軌道焦點而來的引力，這力與行星和焦點的矩離平方成反比，更進一步，他還證明了兩個以反平方吸引力的物體彼此繞著共同的質心，他們的運動必定符合克卜勒行星定律，這個力與物體的慣性質量成正比。而造成行星運動的作用力與地面上「自由落體」所受的力其實都是萬有引力! 至此天上人間，俱為一體! 這也難怪詩人亞歷山大·波普（Alexander Pope，1688 - 1744）為他寫的墓誌銘

自然和自然的法則隱藏在黑暗之中。

上帝說：讓牛頓出世吧，於是一切豁然開朗。 

Nature and nature's laws lay hid in night;God said "Let Newton be" and all was light.

當然，也不是所有人都這麼認為，尤其是他的死敵虎克，就不斷地攻擊他，說他從他那裡剽竊了重力的反平方律，牛頓當然十分光火，事實上，早在1645年，法國學者Ismaël Boulliau (1605-1694)就在Astronomia Philolaica 提過類似的主張了。 Boulliau 雖然是熱心的克卜勒仰慕者，但是他對克卜勒提出重力與距離成反比的說法大大地不以為然，所以在他的書中主張反平方律。他的根據很簡單，就是從光的照度與距離平方成反比而來。虎克與牛頓的恩怨，阿文之前在科學史上最大一片綠葉: 愛德蒙‧哈雷(上) 有提過，這裡就不再贅述了。

除了虎克以外，歐陸的學者也對牛頓的理論抱著懷疑的態度，因為牛頓讓物體隔著真空，靠著超距力相互作用。這對接受笛卡兒理論的科學家們可真是難以接受。所以牛頓在《自然哲學的數學原理》第二卷De motu corporum中還處理了阻尼介質中的物體運動，徹底駁倒了笛卡兒的漩渦理論，在這一卷中他還討論了物體在不同摩擦定律下的運動。第一部分討論了正比於物體速度的摩擦力，第2部分則研究了加入正比於速度平方的摩擦力後的結果。第二卷(第5部分)中牛頓則是探討靜止流體和可壓縮流體的性質。第6部分中牛頓討論了空氣阻力對單擺運動的影響，還介紹了他自己完成的一些相關實驗。牛頓在這卷中對比了介質對不同形狀的物體的阻力，試圖由此推出介質中的音速，並描述了驗證實驗的結果。這一部分可以算是流體力學的濫觴。在第二卷結尾處（命題53）牛頓特別指出漩渦理論是與天文觀測結果完全矛盾的，可以說是畫龍點睛呀！

第三卷「論宇宙的系統」（拉丁文：De mundi systemate）主要關於萬有引力（特別在天文學方面）的影響與意義。本卷以前兩卷中的命題為基礎，並將這些理論具體應用於解釋觀測到的太陽系天體的運動。他正確地解釋了地球潮汐的成因!他還解釋了地球自轉產生進動造成天文學上的歲差，甚至正確地指出地球的形狀應該是扁橢球。這些成就震古鑠金，大家其實耳熟能詳，阿文就不多說了。但是有一件事特別要提出來。我們把滿足第一定律的座標系稱為慣性系，與慣性系做轉動的觀察者所看到的物理，勢必需要修正。牛頓如何能夠說明，我們是不是在轉動座標系呢?牛頓提出有名的牛頓水桶，他論證說，如果我們在轉動座標系的話，那麼水桶的水面必定會凹下去，只有在慣性系，水面才會是平的。另一個方法是拿兩顆靜止球用細繩水平地聯結起來，如果在慣性系，繩子不會有張力，但是如果是在轉動座標系的話，兩個球從慣性系看來等於相互繞著轉，聯結的細繩必定會感受到張力。這個論證到了十九世紀遭到馬赫的批判，這又是另一段漫長的故事了。

走筆至此，各位看官是否覺得不可思議，一個在國中物理浮光掠影，一筆帶過的物理名詞，背後居然如此錯綜複雜，而牽扯到的，都是物理學中的大哉問? 所以所謂自然科學的「核心素養」，絕對不是空洞的口號，而是咱們在教育過程中應該認真培養的一環。當然，慣性這個概念，在牛頓以後仍然持續發展，就等阿文抽絲剝繭，下一回再繼續細說給您聽囉!

參考資料:

1. (一)中文 英文 德文 義大利文 法文維基相關條目
2. (二)DiSalle, Robert, "Space and Time: Inertial Frames", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2020 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL=.
3. (三)Slowik, Edward, "Descartes' Physics", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2017 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = <https://plato.stanford.edu/archives/fall2017/entries/descartes-physics/>.
4. (四)Sophie Roux. Cartesian Mechanics. The Reception of the Galilean Science of Motion in Europe,
5. (五)Kluwer Academic Publishers, pp.25-66, 2004. halshs-00806458
6. (六)Janiak, Andrew, "Newton’s Philosophy", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2019 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = <https://plato.stanford.edu/archives/win2019/entries/newton-philosophy/>
7. (七)GALILEO, DESCARTES, AND NEWTON –FOUNDERS OF THE LANGUAGE OF PHYSICSBy Ladislav Kvasz acta physica slovaca vol. 62 No. 6, 519 – 614 December
8. (八)On Force in Cartesian Physics by John Byron Manchak，Philosophy of Science, 76 (July 2009) pp. 295–306.

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