生物組織作為 力學超穎材料

研究人員如何能從幾何上調整材料來展現
堅硬或彈性結構的程度？

人類大腸癌細胞。(由美國國家衛生院國家癌症研究所提供)

當一種材料被選擇或開發來進行特定功能，它就從一個物件轉變成一種工具。例如，混凝土是設計來支撐結構，而橡膠是設計來拉伸與彎曲，木頭比鋼軟但比尼龍硬。科學家透過發現與發明，隨著時間累積了天然與合成的材料做為無數的應用，而材料選擇取決於工作所需要的特性。

材料科學家已在發展與發現材料上相當成功，以致該領域研究人員也許會停下來問自己，什麼是下一步：我們應該繼續尋找或開發下一個材料，其擁有完全正確的硬度給一些特定應用嗎？或我們可以更聰明？

如果我們不必從我們的材料庫挑選呢？如果有材料在某種情況下是堅固的，而在其它情況是彈性的，當需要時材料會正確改變來執行特定功能呢？這樣的材料也許看起來像科幻小說，直到我們了解，許多生物系統能夠驚奇地透過動態調整它們的力學性質來進行許多任務，而不用改變它們的組成。

舉例來說，在動物的生長過程，胚胎經歷了型態發生（morphogenesis），這是互連細胞的集合，也就是組織，重塑它們自己的過程（看圖一）。要做到這一點，組織必須從堅固的剛性系統轉變成流動、似流體的系統以呈現新的形狀，再變回剛性。

 圖一 ：果蠅（Drosophila）胚胎上皮細胞在形態變化期間的流動。這個電影序列的每個畫面從左到右間隔大約 1.2 秒。 在前兩張畫面中，因為組織維持類固體（solid-like），所以以紅點標記的細胞在空間中大約保持靜止。一旦組織 開始流動，細胞快速地往下移動，如最後三張畫面所看到的。（改編自參考文獻 [18]，也可參考哥倫比亞大學 電機系新聞稿 H. Evarts” New View on How Tissues Flow in the Embryo”，www.engineering.columbia.edu/p ... kasza-tissues-flow-embryo）

這轉變不像一般熔化，它可在相對固定的溫度發生並得到很好的控制。在胚胎的型態發生中，流動的組織不會隨機溢出或擴散，而是轉變成特定的新幾何，這對健康發展是必要的。如果材料科學家希望像生物一樣聰明，我們首先需要了解，是什麼讓這種系統以那樣的方式運作，不過第一，我們必須問一個簡單的問題：一種材料比另一種材料「更堅固」的意思是什麼？

約束計數

用什麼區分鬆軟（floppy）和剛性（rigid）的材料是物理中最老的問題之一，而它仍然不容易回答。在1800 年代中期，詹姆士· 克拉克· 馬克士威（James Clerk Maxwell）問了這個問題，當時他在思考關於桿子和接頭的巨觀結構，像是橋構架（truss bridges）[1]。

圖二：框架與形式。（a）頂部框架的約束比自由度少，是鬆軟的，而在被推動時坍塌；底部框架在對角線添加一根額 外的桿子（紅），有了一個額外約束，以致結構在壓力下維持剛性。（b）左側的晶體固體具有嵌入規律網格的頂 點（原子），右方非晶固體的頂點不在晶格上。（c）左邊粒子的配置容許它們流動；在右邊粒子是阻塞、類固體 的配置。

他觀察到，一個由四根桿子組成的方形框架在被推動時會倒下，然而，假如沿著框的對角線加入另一根桿子，就能阻止框架的倒塌，如圖二a 所示。添加桿子將框架從鬆軟（推的時候會移動）轉變成抵抗運動的堅硬物體，有人甚至可能會說框架從類流體（liquid-like）變成類固體（solid-like），但，添加桿子如何在結構的行為中產生如此基本的改變？

馬克士威透過想像這框架為自由度（degrees of freedom）與約束（constraints）的集合來解釋：框架的角落因可在空間中移動而當作自由度；而桿子約束了角落只能以某些方式移動。因為角落點的任何運動都能想成是每個空間維度上的一組活動，如前與後、上與下、或左與右，因此總自由度為角落點數目 \( N_{pts} \) 乘上空間維度 \(d\)。假設 4 桿子的框架僅能在 2 維平面移動，則存在 \(N_{pts} \times d = 4 \times 2 = 8 \) 個自由度。同時，桿和點的數目一樣多，產生的約束數目 \(N_c\) 為 4。

馬克士威證明， 假使忽略顯然（trivial）的自由度（像是整個結構的平移或旋轉），自由度與約束數目之間的差便揭示這結構是否為鬆軟或剛性。在我們的例子中，想像 \( \rm{X}\) 為差：\( \rm{X} = d \times N_{pts} − N_c − \)（顯然的自由度），會得到 \(2 \times 4 − 4 − \)（2 個平移 + 1 個旋轉自由度）= 1，因為 \( \rm{X} > 0 \)，這結構是鬆軟並會坍塌。但一旦加入了第五根桿子，這方程式變為 \( \rm{X} = 2 \times 4 − 5 − \)（2個平移 + 1 個旋轉自由度）\( = 0 \)，而這結構變為剛性。更精確來說，這系統是均衡的（isostatic），代表非顯然（nontrivial）自由度的數目與約束數目剛好相等。

假如 \( \rm{X} \) 的值包含這麼多訊息，它必然是重要的，但它在物理上代表什麼呢？除了自由度與約束數目之間的差，它的值代表著自由度（我們框架的角落）不需機械能可被移動的方式的數量，也就是，\( \rm{X} \) 代表零模態（zero modes）的數目。零模態指不改變系統能量下，自由度可移動的方式。假使任何這種非顯然的零模態存在，系統是鬆軟的；假使不存在，它是剛性的。

在馬克士威發表他在框架硬度上的工作後100 多年，Christopher Calladine 將個別桿子在整體系統力學平衡下拉緊或壓縮的特殊例子「自應力態」（states of self-stress）考慮進去來改進這方法[2]。從那時起，所得到的簡單、強大的Maxwell － Calladine 約束計數（constraint －counting）方法在機械工程上發揮重要的作用，用來建造能承受外力的堅固結構。

約束計數解釋了為什麼兩個相同成分組成的結構，像是鋼桿的組合，在應力下會行為不同。不過，我們如何解釋為什麼鋼本身是剛性材料？值得注意的是，約束計數不只可用於預測巨觀結構的剛性，也可用於預測微觀結構（如原子配置）是否會產生剛性材料。事實上，結果發現，原子晶體中硬度的古典固態理論在本質上和約束計數相同。

在古典圖像裡，固體是以重複晶體樣式排列的原子集合，這結構因每個原子透過排斥力與吸引力和鄰邊原子作用，依然是凝聚的。雖然沒有桿子將原子彼此連接起來，但原子中的交互作用就像是約束一般，讓它們彼此不會靠得太近或太遠。此外，這交互作用通常是短距的，因此原子和其它非鄰近的原子只有微弱的交互作用。這固體的表示法：利用點代表原子、線代表約束，看起來相當類似於圖二b 左格的巨觀框架。

配位數與阻塞

大型系統（像是晶體中原子的集合）一個方便的觀點是，研究人員可以用統計學來分析它：例如，在方形固體中，除了固體邊緣以外的所有原子都有 6 個鄰近原子，類似圖二b 中的 3 維版本。不過，這系統的主體很大，以致平均配位數（coordination number，每個原子的鄰近原子數目）仍然接近6。我們不個別去數固體中的約束或鍵結，而是將連接到每個原子的鍵結數乘上原子總數來計算它們的數目（至少是平均），接著得到的數目再除以 2，以避免鍵結計算兩次。

系統裡鍵結的數目等於 ½ ‹z› 乘上原子數目 \( N_{atoms}\)，這裡 ‹z› 是平均配位數，在三維系統中的非顯然自由度數目等於 \(d \times N_{atoms} − 6 \)。當這兩個表示式相等時，系統從鬆軟變成剛性，這條件因此可用來求出在相變點的 ‹z› 值：\( ½ \times ‹z› \times N_{atoms} = d \times N_{atoms} − 6 \)，由此 \(‹z› = 2d −12 / N_{atoms} \)，因為在大系統中 \( N_{atoms} ≫ d \)，我們可以省略最後一項而得到 \(‹z› = 2d\)。

因此，假如平均鄰近原子數目大於或等於維度的兩倍，這系統是剛性的；否則，它是鬆軟的。這是一個思考關於約束計數的強大方法，因為它意味著人們可簡單透過晶格內粒子的鄰近原子數來辨別晶格是否為鬆軟或剛性。

然而，並不是所有材料都由週期性晶格構成，有些最有趣與最重要的材料，像是塑膠和玻璃，是無序的（看圖二b 右邊）。在1985 年，理論學家Michael Thorpe 帶領合作者成功地將馬克士威與Calladine 的想法調整應用在非晶固體（amorphous solids）[3]，非晶固體可擁有高與低的配位數區域。

配位數的觀點闡明了為什麼有些系統看起來是自發成為類固體，而它們的組成粒子、溫度、或粒子系統無序的程度沒有任何變化。你曾經試過從袋子的角落倒出米粒嗎？或在雜貨店從漏斗倒出咖啡豆來？兩個例子中，粒子都在流動，但有時它們會卡住，將系統從像流體的行為變得像固體的行為。那阻塞相變（jamming transition）發生在粒子密度增加超過一個臨界值時[4,5]。（見圖二c）

力學超穎材料

關於剛性的洞見啟發了一個令人興奮的想法：人們可簡單透過控制系統的幾何來控制它的力學特性。這想法是一種稱為「力學超穎材料」（mechanical metamaterials）的材料類型的基礎。它們是人造的結構，在外力作用下的行為取決於它們組件排列的方式，而不是它們的組成。通常這類材料仰賴建立材料的精確構建子單元的幾何形狀，並為光學超穎材料的相應物。（ 參閱Martin Wegener 與Stefan Linden 在Physics Today 的文章，2020 年10 月號第32 頁。）

透過只考慮其幾何特性，研究人員能設計以不尋常方式表現的材料，例如展現拉脹（auxetic）行為：當材料在一個方向被壓縮，它也會在垂直方向上縮短，如圖三前兩列所示。它抵抗斷裂並吸收能量，此力學性質在包裝材料、防彈衣與避震材料等應用中很有用。

圖三：力學超穎材料。三個由相同種類橡膠但不同幾何形狀製成的超穎材料，在壓縮下產生不同的行為。每一列代表著一個結構，最初是放鬆的（頂部），有著獨特的孔形。前兩列中的孔形在壓縮應力下導致類似的行為，而最後一列孔的幾何產生相當不同的最終結構。在放鬆的結構中，孔洞間中心至中心的距離為10 毫米。（改編自J. T. B. Overvelde, S. Shan, K. Bertoldi, Adv. Mater. 24, 2337, 2012, doi:10.1002/adma.201104395）

在設計力學超穎材料時，研究人員以巧妙的方式應用Maxwell － Calladine 計數。舉例來說，一些人創造出零模態位於邊界上的材料，此時平均配位數低於臨界值，或只有在材料以特定方式變形時才有作用。那些材料是可驅動的（actuatable），意味著它們接受到特定（在這例子中是力學）訊號時會快速改變它們的行為[6]。

組織中的剛性

材料科學家已經了解從沙堆到橋墩所有事物中剛性的物理來源，並為全新類別的材料打開大門。看似空想的想法，例如，一個機器手，可簡單地變形並在物體周圍流動，只有在拿物體時才迅速又變成剛性，由於我們對材料組成如何能阻塞的了解，現在已成可能[7]。重新審視本文最初的焦點，我們似乎在創造像生物組織在形態發生過程中，動態改變其力學特性的材料上取得了進展。

不過有一個令人驚訝的陷阱。再看一次圖一，你會注意到一些引人注意的事。如同剛性桿子或原子的系統，果蠅組織有一些自由度（即細胞位置）及一些約束（即每個細胞的大小與形狀，還有組織必須保持連續、並在結構中沒有開孔的事實），約束限制了那些自由度的活動。但不像其它桿子或原子系統，當細胞化組織經歷剛性改變時，它的自由度與約束數目不會改變。也就是說，組織從阻滯態到流動態，其配位數、溫度或無序程度都不必明顯變化。

回想起來，從生物學的觀點來看，這轉變的本質並不令人訝異，因為對於組織，經常要以這樣快速又精確的方式透過死亡或增值等改變密度，是既沒效率且困難的（儘管它確實發生了，請參閱Physics Today 2017 年6 月號第19頁）。事實上，其它生物系統，像是膠原纖維網路（networks of collagen fibers），也有相似的行為：它們不改變其連接性但會經歷硬度的變化。因此，計算那些系統的自由度與約束數目對我們判斷它們是否硬或軟沒什麼幫助。那麼，是什麼控制了生物組織與膠原網路的剛性？

生物高分子－網路模型

我們身體中具有比任何其它蛋白質更多的膠原蛋白，膠原蛋白靠在一起形成了纖維，接著互相連接形成更高維的網格。由此產生的膠原網路（collagen network）是脊椎動物細胞外基質（extracellular matrix，ECM）的主要成分，ECM 是一種分子的密集複合物，圍繞在細胞與組織周圍，並給予它們結構上的支撐。

ECM 的圖解非常類似我們馬克士威框架及原子固體的示意圖，看起來也像以接頭連接的桿子集合。這相似性使我們再度可以去計算基質裡的自由度與約束數目，用以估計配位數或每個接頭連接的平均數目。膠原網路影像的研究揭示，它們的平均配位數大約為3.4，這數字小於2 維與3 維所需讓結構堅固的值，如我們早先看到的，它意味著那些網路應該永遠預期會是鬆軟的。

然而，即使沒有改變它們的連接性（透過增加、移除或重新排列纖維），那些網路也可以從虛弱與鬆軟轉變成結實與剛硬。事實上，這能力在生物上很重要，因為許多實驗顯示，ECM 的硬度擔任組織細胞的訊號，根據ECM的硬度，細胞可能被提示要改變或維持它們的行為[8]。

為了幫助理解這種網路的力學性質，研究人員通常使用彈簧－網路模型（spring-network models），其中膠原纖維用以點連接的彈簧來表示。的確，在前面模型中考慮的桿子可想像成一個堅固、不可彎曲的彈簧，彈簧的使用讓我們可探索它的” 桿狀” 極限，或觀察當點之間的連接被允許拉伸或壓縮時會發生什麼事，就像真實的生物纖維一般。而壓縮或拉伸彈簧所需的能量取決於彈簧長度與它偏好或平衡長度差異的二次方。

使用這樣的模型，研究人員發現，鬆軟的網路在至少一些彈簧不能留在其偏好的長度時會變得堅固，重要的是，這發生在網路被充分拉緊的時候。這網路並沒有變得更擁擠，像堵塞系統一樣，或變得更冷更有序，像傳統液體到固體的相變；反之，網路會經歷幾何的不相容性，它純粹無法容納新施加的形狀[9,10]。

組織的頂點模型

雖然很有趣，但膠原網路中出現的剛性似乎並沒有立即適用於組織。一方面，組織是細胞的集合而不是互連的纖維，即便如此，假如物理學家擅長於任何事情，那就是弄清楚如何將系統表示成類彈簧物體的集合。

一種這樣類型的組織表示法是頂點模型（vertex models），它們將組織描述成由邊連接的點（或頂點）的網路，而在這例子中，頂點和邊創出的多邊形代表細胞。在許多頂點模型裡，不是邊如同彈簧網路有偏好的長度，而是多邊形（細胞）有偏好的形狀。

真正的細胞可以是令人驚訝的多邊形，有直的、可數的邊，而組織有時甚至可以幾乎完全映射到一種特殊類型的頂點模型，稱沃羅諾伊圖（Voronoi diagram）。在沃羅諾伊圖中，邊和頂點的位置直接從細胞中心的位置決定，如下頁圖四a 所示。沃羅諾伊圖中每個細胞的邊界圍住一組點，點到該細胞中心的距離小於或等於到任何其它細胞中心的距離。

此外，細胞具有偏好形狀的想法直接來自生物學，它告訴我們，充滿水與分子的細胞是相當不可壓縮的，並且它們的彈性與親合力不同，以便與其它細胞共享邊緣。假如細胞喜歡接觸另一個細胞，則它們的邊緣也許是長的並且形狀為橢圓形；反之，假如它們不偏好接觸，它們會更呈圓形。

和鬆軟彈簧網路在彈簧不再達到它們偏好的長度時變得剛性一樣，匯合組織（confluent tissues，細胞間沒有間隙）模型在細胞不再達到它們偏好的形狀時，會從流動、類流體的狀態轉變成剛性、類固體的狀態[10-12] （見圖四c，並參閱Ricard Alert 與Xavier Trepat 於PhysicsToday 2021 年6 月號第30 頁的文章）。令人驚奇地，研究人員在真實組織的實驗中觀察到這種單純的幾何剛性標記，在那些實驗裡，細胞的形狀被直接測量並用來正確預測組織的剛性[13,14]。

圖四：上皮組織的頂點模型。（a）一層顯示細胞膜的組織，其中插圖描繪以細胞中心建構的沃羅諾伊鑲嵌（Voronoi tiling）（綠色邊緣）。建構的邊緣，每一條由與最近細胞中心等距的點所組成，幾乎完全與細胞邊界匹配。（改編自M. L. Zorn et al., Biochim. Biophys. Acta Mol. Cell Res. 1853, 3143, 2015, doi:10.1016/j.bbamcr.2015.05.021）（b）形態發生期間的果蠅翅膀，插圖顯示多邊形鑲嵌覆蓋的細胞膜。（改編自M. Merkel et al., Phys. Rev. E 95,032401, 2017, doi:10.1103/PhysRevE.95.032401）（c）在這頂點模型相圖的示意圖中，高於偏好細胞” 形狀” 的臨界值（紅點）—平均細胞周長對細胞想要達到的面積的平方根之比值—組織會是類流體的，而臨界值之下是類固體，儘管沒有改變組織的密度或配位數。（改編自參考文獻[12]）

摺紙與尋找通用的剛性

研究人員現在已確定，膠原網路與匯合組織都可利用參數來調整剛性，其中參數代表固有的幾何量，分別為纖維長度與細胞形狀。這過程提供一個設計具動態力學特性的力學超穎材料的方法，也使我們更接近創造行為類似真實生物系統的材料。

然而，一個首要的問題依然存在：為什麼約束計數無法用來預測那些系統的剛性？換句話說，我們能知道約束計數參數何時能用而何時不能用嗎？

一個提供這謎團線索的研究領域是摺紙（origami）的研究。給予一張紙，這張紙只能沿著預先決定的一組線摺疊，最終有多少的摺疊構形（configurations）存在？這張紙可以從一個摺疊態自由移動到另一個態，類似類液體組織中的細胞能夠重新排列跟流動的方式嗎？或是紙張被迫採用一個穩定的構形，更像類固體組織的細胞？

將約束計數應用在那系統可能似乎有用，因為系統由邊（摺疊）與頂點（摺疊的交點）組成，但就像是在彈簧網路與匯合組織的例子，計數論點無法正確地預測剛性。研究人員現在發現，經由約束計數辨識的零模態，是不影響這些約束至它們第一階泰勒級數展開的特定模態。不過在一些情形下，雖然展開的第一階項是0，更高階的項也許不是。

換句話說，因為約束計數只能夠預測剛性到第一階，當高階項是重要的情況下會失效。在某些例子中，約束計數被證明是剛性一個好的近似，這是為什麼它看起來對它們有用，但在其它情形，它還不夠好，需要研究自由度的變形如何影響更高階的約束[15]。

數學家與物理學家正努力弄清楚何時可以使用約束計數，而何時需要更進一步，不過，已經有證據表明，匯合組織中剛性的開始可透過系統約束展開的高階項來解釋[16]。

下一步是什麼？

新材料的潛力，不管是生物或仿生，都仰賴理解什麼真正決定廣大系統與新環境中的結構完整性。

對剛性的了解可應用於對抗疾病。癌症研究人員正研究保持細胞、組織與ECM 的健康力學性質對控制癌症轉移（metastasis）的重要性[17]。舉個例子，在最前面的影像中，由於E－鈣黏蛋白（E － cadherin，一種細胞－細胞邊界上的蛋白質）的染色，人們可辨識出綠色的細胞邊緣。這些是人類大腸癌細胞，隨著它們變得更易遷移（migratory）與更具侵入性，它們會經歷一個轉變，其部分以形狀變化來標記。透過開始發展剛性的一般架構，包含在纖維網路與匯合組織發現的新穎行為，材料科學家已經產生出跨學科的發現與想法，最終那將帶領我們走向更健康、更永續的生活。

參考資料：
[1] J. C. Maxwell, London, Edinburgh, Dublin Philos. Mag. J. Sci. 27, 294（1864）.
[2] C. R. Calladine, Int. J. Solids Struct. 14, 161（1978）.
[3] H. He, M. F. Thorpe, Phys. Rev. Lett. 54, 2107（1985）.
[4] A. J. Liu, S. R. Nagel, Nature 396, 21（1998）.
[5] C. S. O’Hern et al., Phys. Rev. E 68, 011306（2003）.
[6] K. Bertoldi et al., Nat. Rev. Mater. 2, 17066（2017）.
[7] E. Brown et al., Proc. Natl. Acad. Sci. USA 107, 18809（2010）.
[8] J. D. Humphrey, E. R. Dufresne, M. A. Schwartz, Nat. Rev. Mol. Cell Biol. 15, 802（2014）.
[9] A. J. Licup et al., Proc. Natl. Acad. Sci. USA 112, 9573（2015）.
[10] M. Merkel et al., Proc. Natl. Acad. Sci. USA 116, 6560（2019）.
[11] R. Farhadifar et al., Curr. Biol. 17, 2095（2007）.
[12] D. Bi et al., Nat. Phys. 11, 1074（2015）.
[13] K. E. Cavanaugh et al., Dev. Cell 52, 152（2020）.
[14] J.-A. Park et al., Nat. Mater. 14, 1040（2015）.
[15] B. G. Chen, C. D. Santangelo, Phys. Rev. X 8, 011034（2018）.
[16] L. Yan, D. Bi, Phys. Rev. X 9, 011029（2019）.
[17] K. R. Levental et al., Cell 139, 891（2009）.
[18] X. Wang et al., Proc. Natl. Acad. Sci. USA 117, 13541（2020）

本文感謝Physics Today（American Institute of Physics）同意物理雙月刊進行中文翻譯並授權刊登。原文刊登並收錄於Physics Today 雜誌內 Physics Today 74（12）, 30-35（2021）；https://doi.org/10.1063/PT.3.4900。原文作者：Amanda Parker。中文編譯：張鳳吟，陽明交通大學物理系博士。
Physics Bimonthly（The Physics Society of Taiwan）appreciates that Physics Today（American Institute of Physics）authorizes Physics Bimonthly to translate and reprint in Mandarin. The article is contributed by Amanda Parker, and is published on（Physics Today 74（12）, 30-35（2021）；https://doi.org/10.1063/PT.3.4900）. The article in Mandarin is translated and edited by F. Y, Chang, National Yang Ming Chiao Tung University.