氣體運動論與波茲曼(下) - 寧靜海岸

十九世紀歐洲最偉大的兩位理論物理學家，馬克士威爾與波茲曼從未謀面。在馬克士威爾過世前幾年，波茲曼開始與其通信，自恩師史蒂芬手中接過曠世電磁論文的時候，馬克士威爾就成為他景仰的理論學家，並將其主要成果傳譯至德語區。除了至愛運動論，波茲曼還鍾情電磁的實驗。

與馬克士威爾的魔鬼有著異曲同工之處，1876年波茲曼的至友洛施密特對H定理提出可逆悖論 (reversibility paradox) 的質疑：牛頓力學中分子的運動或碰撞在時間上是可逆的 (time-reversible)，若在某一瞬間將所有分子的速度皆反向 (又一個魔鬼!)，則H會趨向增加而不是減少。波茲曼的回覆明確認知到第二定律的機率特性，他說：確有可能在某一瞬間，氣體分子由分佈較均勻初始狀態，如洛施密特所言的，演變為分佈較不均勻的狀態，但由於分佈較均勻的狀態數遠大於分佈不均勻的，故其質疑並不能否證由分佈較不均勻趨向較均勻的狀態，也就是H減少的可能性大很多。波茲曼認識到很多的微觀分子分佈狀態會表現出相同的系統巨觀性質，他假設每一個微觀態出現的機率相等，於隔年發表＜Probabilistic Foundations of Heat Theory＞，其中著名的、刻印在自己墓碑上的式子，S = k·logW：熵S正比於W取自然對數。愛因斯坦稱它為波茲曼原理 (Boltzmann’s principle)，其中W為巨觀狀態出現的機率，後來吉布斯稱其為系綜 (ensemble)，代表巨觀態對應的微觀態的數目。

距H定理發表已過了二十四年，波茲曼在回覆策梅洛 (Ernet Zermelo) 的質疑時說：「策梅洛的論文誤解我的論點，不過我很高興，它是我的作品受到德國人注意的先兆」。波茲曼的運動論在德國僅得到少許的關注與討論，多少與他冗長的論文中，充斥沉悶的計算，缺少清晰連貫的結構有關，就連馬克士威爾閱讀他的論文都困難重重。

 

Ernst Mach
(from Wikimedia Commons)

運動論在德國招致反原子論者 (anti-atomism) 馬赫與奧斯特瓦爾德 (Wilhelm Ostwald) 的批評。馬赫是位優良的實驗物理學家，他在維也納教書時，波茲曼還是學生。馬赫後來到布拉格任職，投入科學史的爬梳並發展科學哲學的領域。他支持無前提的科學，認為科學就是找出有形、可感知測量的現象之間的關係，任何基於假設的理論化過程都非必需的、甚至是形上學。在德語區，熱力學兩個定律不稱為定律 (Gesetz)，而是可觀測、更基本的Hauptsätze。若按可逆悖論的邏輯，牛頓力學與熱力學第二定律僅能二擇一，該放棄的似乎是前者。

1909年諾貝爾化學獎得主奧斯特瓦爾德曾到過格拉茲訪問，與波茲曼有些情誼。他於1887年創辦一份物理化學這門學科史上最早的期刊。他是唯能論者 (energetics)，認為能量才是自然界最基本的實體，任何物理現象，都是能量轉換的過程。在十九世紀末，化學家不承認原子的存在或對其不感興趣並不足為奇。1895年九月德國自然科學家學會在Lübeck舉行的年度會議，波茲曼發動突襲，雙方論戰。與會的索末菲 (Arnold Sommerfeld) 日後回憶，當時的年輕數學家全站在波茲曼這邊，他像頭頑強的蠻牛痛擊劍術華麗的鬥牛士奧斯特瓦爾德。

溫暖的風來自不列顛。劍橋畢業生H. W. Watson於1876年出版了一本氣體運動論的小冊子，使波茲曼的理論得以在英倫廣泛流傳。透過與P. G. Tait和W. Burnside在1885-7年的辯論，波茲曼累積了自己的國際聲望。1894年他到牛津出席不列顛科學促進會舉辦的會議，他們稱他為定律博士 (Doctor of Laws)。波茲曼感受到熱情和友善的批評，他們接受原子論或對它有興趣，不像歐陸般壓根否定。

1885年，將一生心力灌注在兒子身上的母親過世，這一年他無任何論文發表或書信往來。1887年克希荷夫去世，留下柏林大學的席缺。原本波茲曼已簽好聘任合約就等德皇同意署，消息傳回維也納，哈布斯堡王朝 (Habsburg) 展開強力挽留最負國際名望的奧匈帝國科學家的行動。後來德皇也簽署同意，但發生一些事件使得波茲曼遲疑不決又反覆不定，折騰近一年，只落得其所謂「神經衰弱」的下場。快樂的歲月已逝，波茲曼在格拉茲最後兩冬，更重的校長行政負擔在肩上。他教學責任感強烈，盡心力使學生跟上他的進度，加上與學生和來訪學者的長時間討論，無瞑無日，身心俱疲。視力差到需聘請助理做費力計算的境地，三不五時令人痛苦的哮喘夜晚來襲，致命的是他的神經衰弱，演變成躁鬱的癥狀。1889年長子因盲腸炎誤診拖延喪命而自責不已，1890年妹妹辭世。是離開傷心地的時候了，他去了慕尼黑。

普朗克回憶他在1870年代就讀慕尼黑時，並無理論物理的課程，十九世紀下半葉，理論物理學家才開始要築構自己的城堡。波茲曼以當時少有的理論物理教授席位在慕尼黑度過平靜的四年。每周一次在 Hofbräuhaus喝著啤酒討論學術，他認識了一些意氣相投的同事。提升日本學術研究的重要人物長岡半太郎 (Hantaro Nagaoka)，當時在歐洲留學因慕名波茲曼，特地從柏林到慕尼黑上氣體運動論的課，他在信函中說：「除了亥姆霍茲，我認為無人可與之匹敵。他的課清晰明朗不像亥姆霍茲那般困窘…演算漢米爾頓函數或六重積分時完全不用看筆記…不像他的外表，他紳士、誠實的人格特質受到學生的喜愛」。肥胖、棕髮微捲、滿臉落腮鬍、酡紅臉上戴著超厚眼鏡、總是略微駝背的波茲曼是位卓越、盡責的教師。他在維也納的學生、因電磁質量聞名的Friedrich Hasenöhrl說他：「從未表現出優越感，與學生平起平坐，平和地回答學生對他的質問」；首位發現核分裂的邁特納 (Lise Meitner) 說他上課用大黑板寫主要方程，兩塊小黑板寫推導步驟，非常清楚有組織的形式，「他的講演是我聽過最美妙與啟發性的課…每堂課後，我們常感受到他教學熱情所展現的嶄新美麗的世界」。
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柏林的席位後來由普朗克繼任，他的助理數學家策梅洛對H定理提出再現悖論 (recurrence paradox) 的質疑。哲學上，尼采用權力意志 (Der Wille zur Macht) 概念解釋物理過程時曾說過世界會再現。1893年龐加萊 (Henri Poincaré) 提出遵守力學定律的有邊界的世界會經過很接近初始的狀態。1896年策梅洛證明有限自由度的系統會再現其初始狀態，並將它應用至氣體系統。他認為當氣體開始時，H函數減少亦即熵增加，則當系統回到初始狀態時熵會減少，違反第二定律。波茲曼首先計算室溫下1立方公分的盒子裏有10¹⁸的粒子之再現時間約為宇宙年齡的10倍，他語帶嘲諷：「策梅洛像個骰子玩家，知道連續出現一千個1的機率不為零，但不出現此結果時，卻認定骰子有問題」。波茲曼在辯論中時常夾著挖苦帶刺的話語，傷了對手也扎到自己。先前在與洛施密特和奧斯特瓦爾德論戰後，他們的情誼就此冷淡了許多年。波茲曼太在意別人對他的批評，過於敏感地懷疑批評者針對他個人。他似乎沉浸並樂於論戰，無論輸贏，心理始終無法平靜。

這次論戰，克爾文男爵與普朗克都不站在他這一邊，他們無法接受第二定律時而對時而錯的機率解釋，另一個原因是波茲曼的論述常顯得前後並不一致。波茲曼感到孤獨隔絕，「馬克士威爾、克勞修斯與亥姆霍茲都已過世，我親像最後的追隨者 (Epigone) - 自然可用力學解釋，而非唯能論者的方式。我的科學熱忱使我有責任讓我的聲音被聽到」，「不知道是否我將獨自一人，反對目前德國科學的走向」。波茲曼的敵對陣營稱他為氣體運對論的「最後一根支柱」。他在＜Lectures on the Principles of Mechanics＞一書的開頭題詩：

Bring’ vor, was wahr ist; 提出，真理
Schreib’ so, daβ klar ist 寫下，清楚地
Und verficht’s, bis es mit dir gar ist 護衛它，直到最後一口氣

科幻文學與科普作家艾西莫夫 (Isaac Asimov) 提到波茲曼的自殺是因為他的理論不被接受，雖然不是故事的全貌，卻也反映了部分事實。波茲曼獲獎不少並享有國際聲望，他的孤寂感，也極可能是憂鬱症低落的情緒所致。

普朗克直到十九世紀終了前才瞭解第二定律的機率特性。他把波茲曼原理引入糾纏他許久的黑體輻射的計算，並將其成果寄給波茲曼。他在1920年諾貝爾得獎演講時說：「在我生命中最耗神費力的幾週工作後，它像黑暗中的曙光，一個全新的透視在我眼前展現」，「在波茲曼回信表示興趣並同意我的構想，帶給我許多失望後價值千金的滿足」。直到1930年代，物理學家對第二定律的機率解釋才習以為常。

孤獨又思鄉、已到知天命之年的波茲曼倦鳥終歸巢。冤家路窄，他的老對頭馬赫以歸納科學史與哲學教授席位也來到維也納。雖無明言，原子在波茲曼心中已不再是假設，全然是本體論上的存在，兩人的戰火一觸即發。馬赫在1883年發表著名的＜The Science of Mechanics＞，認為企圖用力學來解釋所有自然現象純粹是癡心妄想。這樣的思想來自從柏拉圖到康德的唯心論 (idealism) 或理性主義哲學傳統，他們反對牛頓力學或至少是機械式的世界觀，確認知識的根源在於人類的心智。在物理學界裡，克希荷夫與赫茲也有類似的思維。克希荷夫理解的科學是描述性的，而非解釋性的。馬赫的哲學吸引不少年輕科學家與藝文界人士環繞著他，在他的實證與經驗主義影響下，日後形成了維也納學派  (Vienna Circle)，成為科學哲學邏輯實證論 (logical positivism) 的先驅。當時年輕的愛因斯坦受馬赫空間與時間相對性觀點啟發而發展了相對論，後來稱他為相對論上的哲學先行者。馬赫強調觀測的重要性，對日後量子論的發展有所影響。愛因斯坦後來曾說：「那些反對馬赫的人，幾乎不知道他們從他的觀點如同母乳，吸取了多少」。那些人或許包括普朗克，他在二十世紀初強烈批評馬赫的哲學，暗指他「偽先知」。不過馬赫也反對相對論 -又是一套可預測的理論，後來愛因斯坦也批評他：「我騎在馬赫的劣馬上，直到精疲力竭」。

1836年William Whewell才創出「physicist」用來指稱先前的自然哲學家，物理學家脫離哲學的子宮不過半世紀，在德國，濃厚哲學思維的物理學家並不罕見，如亥姆霍茲和普朗克。作為德意志哲學傳統文化下的知識份子，波茲曼並不怯戰。不少晚年心力投注在「什麼是科學」、「何謂理論」等科學哲學的議題上，於臨終前一年集結成＜Populäre Schriften＞(Popular Writings) 出版。其「事物的存在構成感官的印象，故科學最美的凱旋即是成功預測超越感知範圍之外更多事物的存在」、「理論僅為自然界的映像或呈現(Bild)，如馬克士威爾所說的數學類比，用來對現象作總體上的一致性解釋」等實在論 (realism) 的觀點，被列寧引用，使波茲曼成為前蘇維埃科學唯物論的英雄。

波茲曼集畢生心血的氣體運動論於1896和1898年出版兩冊＜Lectures on Gas Theory＞，還是大學生的愛因斯坦就已開始閱讀這兩本專著。寫給同學、未來的妻子的信中：「波茲曼非常卓越…我完全信服他的理論」。在其1905年得獎論文裡，他用波茲曼原理計算黑體的熵的變化，得出光量子(E = hν，一開始不為普朗克接受的假說)，再應用它去解釋光電效應。

波茲曼未看到此文，此時的他須仰賴學生或妻兒代為朗讀科學論文，惡化的視力也剝奪了他彈琴的樂趣。照樣清晨五點就起床工作，躁鬱症患者通常早起處於亢奮狀態，但憂鬱焦慮隨之襲來，缺凡睡眠與低落的情緒使他們白天不想活動甚或有自殺的念頭 (傳言他曾自殺過一次)。他在1900年八月曾入住療養院，醫生建議旅行以舒緩症狀，衍生波茲曼三次的美國行旅與講學。1904年二月波茲曼六十歲，其同事獻給他一本全世界125名科學家的紀念文集 (Festschrift)。他在生日晚宴上，提到自己生於Shrove星期二與Ash星期三的交接夜晚，是他一生沉浮於喜樂與悲慘的根源。他的學生也是女婿Ludwig Flamm，回憶他1905年冬離開波茲曼家時，聽到從客廳傳來痛斷心腸的呻吟聲。1906年身體與心理的苦痛使他說出：「我從未相信就這樣結束」。

波茲曼剛結束使他過度操勞、令他失望的六週加州柏克萊暑期課程，1905年九月就投入生命中最後一項科學工作，撰寫他在Lübeck的戰友數學家克萊因 (Felix Klein) 所主編的浩大工程＜Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften＞(數學科學百科全書) 其中的氣體運動論部分。他的學生埃倫費斯特 (Paul Ehrenfest) 接續在1912年完成了統計力學部分，其精闢的分析解決了洛施密特的可逆悖論，同時澄清許多波茲曼的觀念與方法中的意義。

1906年九月，波茲曼與家人在今義大利Trieste附近的杜伊諾 (Duino) 勝地度假。這裡的城堡，一邊有蓊鬱的森林，另一面是陡壁海岸。奧地利詩人里爾克 (Rainer Maria Rilke) 日後在此寫出＜Duino Elegies＞(杜伊諾哀歌)。九月五日，即將開學，剛入學的新生薛丁格正期待著大師風采，隔天他們就要返回維也納。就在妻女於海邊游泳的時候，波茲曼在臥房懸梁自盡，終結身心俱疲的生命。
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Duino castle
(from Wikimedia Commons)

兩年後，佩蘭 (Jean Perrin) 實驗證實1905年愛因斯坦關於懸浮粒子布朗運動的理論，直接證明原子或分子的存在。斯人已逝，原子長存。物理學上，波茲曼常數常與溫度相乘，用來衡量粒子的能量。名聲、論戰、憂鬱和病痛皆已平息，猶如亞得里亞海寧靜海岸，伴隨著波茲曼。


參考資料：
1. Ludwig Boltzmann: His life and philosophy, 1900-1906 by John Blackmore
2. Ludwig Boltzmann: The Man Who Trusted Atoms by Carlo Cercignani.
3. Boltzmann’s Atom: The Great Debate that Launched A Revolution in Physics by David Lindley.
 

延伸閱讀：

1. 氣體運動論前傳 - 寂涼先行者
2. 氣體運動論與波茲曼(上) - 大師起波瀾