自旋物語(下) 天字第一號定理

上一回的阿文開講介紹了朝永振一郎的"自旋轉完啦"一書的前五章，一路從鹼金族的光譜講到氦原子，這一回阿文將繼續介紹這本精彩的科普經典的後七章，這樣才算功德圓滿！

之前在第三章朝永桑提過，狄拉克方程式的解有四個分量，分別是正能量與負能量的兩個自旋分量，但是負能量的解是什麼意思？而且狄拉克的解在轉了三百六十度時會變號，這又是怎麼回事？就在這裡，朝永桑埋下了兩個梗，這兩個梗分別在第六章與第七章長成大樹，真的是要佩服朝永先生鋪梗與吊人胃口的功力！

妙得是第六章一開始講得卻不是狄拉克方程式，而是克萊因–高登方程式。咦，這個方程式不是因為機率密度無法正定而遭到拋棄了嗎？沒錯，正是這個看起來沒什麼出息的方程式，但是在1934年，包立與他的助手魏斯考夫 (Victor Weisskopf) 卻讓原本死透的克萊因–高登方程式還陽啦！死掉的方程式居然還能復活，這種稀奇事當然需要好好地講個清楚。朝永桑當然講得很清楚，清楚到當你讀完第六章時，恭喜你，你已經上完你人生的第一課量子場論了。驚奇嗎？對朝永桑來講，一切都是這麼自然地發生了呢！

那朝永桑是怎麼開始的呢？他是從場的量子化開始。這件工作又是"神人"狄拉克的貢獻了。(阿文插個嘴，第一個處理波的量子化的人應該是德國科學家Pascual Jordan，他在與波恩、海森堡一起寫的矩陣力學的論文中就開始處理這個問題，但是沒受到太多重視。這個朝永桑也提到了。) 歷史上，狄拉克最先處理的是電磁場。事實上，量子理論從一開始就在處理電磁現象，像是光電效應，黑體輻射，原子光譜都是，但是1925年發展出來的量子力學卻是以電子為主，電磁場還是用古典物理的公式，為什麼呢？主要是因為電磁場是相對論性的，當時的波動力學還是非相對論性的，更要緊的是，物質會吸收也會放出光子，所以光子的數目不是個常數，而當時的量子力學還處理不了粒子數會變化的情形。但是1927年狄拉克不僅成功地提出了電磁場的量子化，還推算出愛因斯坦曾提出的A係數。就是電子自發放射的機率。但是朝永桑在書中卻不是拿電磁場來示範，而是拿薛丁格波方程當作範例喔。這樣做自有作者的一番深意，且讓我們看下去...

狄拉克首先對滿足薛丁格方程式的"波函數"作傅利葉展開 (歷史上狄拉克是將電磁場的向量位作傅利葉展開) 傅利葉展開的係數是a_n與a*_n。(n=1,2,3...)。依照原先量子力學的說法，系統掉到第n 個本徵態的機率是P_n=|a_n|² 。然後狄拉克將傅利葉展開的係數當作生成與毀滅算子，a_n與a*_n。(n=1,2,3...) 由於每個本徵振動都是獨立的，所以對應的生成、毀滅算子也是彼此獨立。這個步驟之前Pascual Jordan就做過了。但是接下來狄拉克玩了一招讓朝永桑對狄拉克讚嘆不已，直呼狄拉克像是"馬戲團的空中飛人"，藝高人膽大。狄拉克到底做了什麼呢？

現在假設我們有N個內含一個粒子的量子系統，如果每個粒子都在第n個本徵態，既然粒子在這個本徵態的機率是|a_n|² ，那麼"系統"的期望值就是N_n=N|a_n|² ，接下來，狄拉克重新定義生成與毀滅算子成這樣: A_n=N^1/2a_n與A*_n=N^1/2 a*_n ，這樣我們就有N_n=A*_n A_n。狄拉克再將A_n 與A*_n 當作算子，這就是所謂的二次量子化，當設立好適當的A_n 與A*_n 的對易關係，N_n 的本徵值就將是整數，其意義就是處於第n個本徵態的"粒子"數了。而我們也不再是在處理N個內含一個粒子的量子系統，而是一個含有N個性質相同的粒子的系統了！在這裡，朝永桑還很仔細地討論了N_n 、A_n 等算子的意義，他指出一點，嚴格說來這些算子並不是"觀測量"(observables)，因為它們是由N次測量才能決定的量，換言之，要對每一個系統都做過測量才能決定它們的值，但是如果這些系統彼此獨立的話，也就是說，對這些系統的測量對應的算子都是可交換的話 (一般來講，量子系統測量所對應的算子不一定是可交換的喔)，那些N次測量可以同時測量，那麼這些測量可以當作一次測量，如此一來N_n 、A_n 這些算子就可以當作"觀測量"，而且現在我們就可以來處理一個含有N個性質相同的粒子的系統了！更進一步我們發現這個N個粒子的"波函數"非得是對稱的不可。更重要的是這時的"波函數"已經變成算子了。在此朝永桑還挖苦了一番，他說很多人看到狄拉克的做法不疑有它就接受了，要嘛就是跟狄拉克一樣聰明，要嘛就是人云亦云，他稱之為happy-go-lucky type，沒想到看起來溫文儒雅的朝永桑，酸起人也是不留情的！坦白講，阿文就是屬於happy-go-lucky type，哈哈哈。不過此處也是本書中最不容易把握的，讀者請留心！

當然，這個做法在加入粒子之間的交互作用之後才是行得通的。這是克萊因與Pascual Jordan 的功勞。既然"波函數"不再是個單純的機率振幅，那麼原先定義的機率密度也失去意義，這就是為什麼幾年後包立與魏斯考夫能讓克萊因–高登方程式復活的原因了。只要把先前的薛丁格方程式改成克萊因–高登方程式，所有的論證都還是奏效，這個時候描寫的沒有自旋的粒子。事實上，這個所謂"機率密度"根本與"電荷密度"是同一個樣子，一個複數的克萊因–高登方程式解描寫的不只是帶電的"粒子"也描寫了它的反粒子，反粒子的性質與粒子完全相同，只有帶電的正負號相反。所以電荷密度不是正定的。我們甚至可以考慮加入足夠能量產生一個粒子與反粒子對！這當然只能是相對論性的，因為能量必須比2mc²高才行，這裡的m是粒子的靜止質量。

那如果把二次量子化施加到狄拉克方程式呢？這時候，我們就會發現，負能量的兩個分量，對應到的是電子的反粒子，正子。它的所有性質都與電子相同，只有電荷與電子是相反的。另外一樣非常特別的是，為了滿足包立不相容原理以及能量必須是正定的，量子化狄拉克方程所得的生成與毀滅算子必須滿足反對易關係，而非如光子或是量子化克萊因–高登方程式得到的粒子，它們都滿足的對易關係，這件事到了第八章還會再提到。順便一提的是，當湯川秀樹在假設傳遞核力的新粒子是自旋為零的粒子時，包立與魏斯考夫的文章才剛出現不久，而向湯川建議改用自旋為零的粒子的人正是章永桑當時的老闆，仁科芳雄！朝永桑還提到包立對自己讓克萊因–高登方程式復活的論文特別地得意，稱它是"反狄拉克"論文，看來他對狄拉克解決電子自旋之謎一事，一直是耿耿於懷呢。

接著作者開始介紹關於旋量 (spinor) 的數學，之前曾提到，將狄拉克方程式的解轉三百六十度會產生一個負號，這正是旋量的特性，朝永桑很平實地將三維轉動群與SU(2)群的關係從頭說分明，所謂SU(2)群是指2乘2的么正矩陣而且行列式的值是正的矩陣。而SU(2)群就是作用在旋量上。SU(2)群是三維轉動群的覆蓋。旋量最先是由數學家Élie Joseph Cartan於1913年引入幾何學，原先沒有人想過旋量會成為物理上重要的數學工具，因為沒有哪個物理量轉一圈會變號的，直到量子理論的出現，旋量才跳上物理的舞台。這種事其實常發生的，最有名的是莫過於古希臘人發展出圓錐曲線，卻萬萬沒想到這玩意兒居然是行星的軌道！只是圓錐曲線等了上千年，旋量只等了十幾年。論到物理與數學的恩怨情仇，那題材可就多了，旋量算是"幸運"的一樁吧。

接下來進入了一個量子場論的核心議題：自旋–統計定理。之前提到克萊因–高登方程式與狄拉克方程式都能在二次量子化之後得到所謂的"粒子"。前者是自旋為零的波色子 (boson) 而後者是自旋為二分之一的費米子 (fermion)，但是在量子化的過程中前者必須使用對易關係，而後者必須使用反對易關係，否則會有自洽的問題。但是這些看來只是經驗的陳述，難道背後沒有更深入的原因嗎？當然有，在1940年包立就曾"證明"了這個定理，這個是量子場論中相當有份量的一個"定理"，稱它是"天字第一號"定理也不為過吧。但是一般量子場論的教科書很少給出這個定理的證明，所以在這樣的一本"演講集"中赫然出現了自旋–統計定理的證明，還著實令人又驚又喜。朝永桑在這裡緊扣著包立原來的證明，第一步是用旋量的張量積來建構張量場，奇數階對應的是自旋半整數的場，偶數階的則是自旋整數的場，接著建構相應的能量–動量張量與相應的電流向量，然後寫下滿足羅倫茲不變性的廣義對易關係 (一般對易關係是定義在同一個時間)，接著由羅倫茲不變性，科學家可以得到結論，一般的張量場，也就是這裡偶數階的張量場是不能用反對易關係的，另一方面，在這裡的奇數階的張量場，要是使用對易關係，能量無法正定。所以我們得到一個非常廣義的結論，自旋為整數的場不能使用反對易關係來量子化，而自旋為半整數的場也不能使用對易關係。這些證明都只適用於粒子間沒有交互作用的情況下，而且只適用在基本粒子上。這個定理的核心是羅倫茲共變性，也就是相對論。我們可以看出要建構出滿足相對論的量子場的理論，有許多微妙的限制，這是這整本書最要緊的教訓了。

在兩章非常技術性的內容之後，第九章又回到了實驗物理，這一章的主題是中子的發現。這段故事大家可以參考阿文之前寫的"變天啟示錄之親愛的，我在敵國篇:發現中子的查德威克"。除了中子發現的經過，還包括了中子的質量與自旋是如何被決定的，阿文在查德威克這篇文章都交代了，與作者的第九章內容差不多。更進一步朝永桑也提到了中子的磁偶矩。因為中子不帶電，所以不像質子那樣可以直接放在不均勻的磁場中靠拉莫爾進動來量，這一段，有興趣的看官不妨參考一下阿文寫的NMR之父: 拉比 (上) 一個猶太移民的美國夢 那邊有比較詳盡的介紹。倒是有一樁軼事值得一提，當Otto Stern當年努力要去測量質子的磁偶矩，其實等於是在量質子的g因子，當時包立剛好去拜訪Otto Stern，一聽到他在量質子的g因子，脫口而出：唉呀 你不知道狄拉克方程式嗎，g因子就是2呀！言下之意是你還量這做啥？幸好Otto Stern 沒把包立的話聽進去，坐了實驗才發現質子的g因子不是2，那麼狄拉克方程式錯了嗎？當然不是，這是第一個質子不是基本粒子的證據，阿文的研究興趣正是質子 (中子) 的各項結構，真是幸虧Otto Stern不像Kronig 聽了包立的話！否則阿文不就沒得研究了？

不過持平地講，包立也有講對的時候喔。(這樣講對包立太失禮了) 在二零年代末期，原子核的β衰變是一個令人頭疼的難題，大家發現原子核發生β衰變時，原子序會加一 (這表示一個中子變成一個質子)，然後產生一個電子，然而電子的能量卻是連續分布，當時波爾四處宣傳"量子力學"不適用於原子核內，波爾特別主張能量與動量不是嚴格地守恆，在微觀世界中只是"統計性"成立，正是因為β衰變的關係。當時波爾的論調大行其道也是因為這個原因。但是包立在1930年就認為應該存在一個不帶電質量有極小的新粒子，但是他因為刮別人的鬍子刮慣了，在宣布這個粒子的存在實在太難為情了，所以他居然是以信件的方式宣布，而不是寫成正式的論文呢。就在包立英年早逝前幾年，科學家發現了這個當年他難以啟齒的"新粒子"，就是微中子，包立可是樂壞了！當然能量與動量嚴格地守恆，量子力學在原子核內依然可用，波爾又錯了，意外嗎？(這樣講又對波爾太失禮了)

從原子核的β衰變，朝永桑自然地將我們帶往海森堡的"同位旋"核力理論來。海森堡在中子發現後不久就開始構思原子核內質子與中子們之間如何能形成一個穩定的原子核。之前的理論是原子核是由質子與電子組成，由電子負責將質子們束縛在一起，但是這個想法問題重重，一來電子的康普頓波長遠大於原子核大小，而且後來發現原子核裡面只有質子與中子，根本沒又電子。雖然也有人認為中子是質子與電子的束縛態，但是中子的質量比質子和電子的質量和還大，而且質子與電子的自旋都是二分之一，怎麼形成自旋二分之一的中子？所以原子核之間的核力的媒介不可能是電子。然而海森堡在波爾強大的影響下，沒有去思考這個問題，但是他卻提出一個非常神奇的想法，就是"同位旋"。海森堡發現原子核的每顆核子的平均束縛能幾乎是定值，由此可知核子之間的作用與質子或是中子無關，再加上質子與中子的質量又非常相近，所以他把質子與中子看成是一個"旋量"有兩個分量，一個分量是質子，一個分量是中子。但是千萬別誤會，跟之前講的旋量不同的是，你在空間做轉動，這兩個分量是不會改變的，事實上，這個旋量根本是定義在一個以前沒人想像過的"空間"，這個叫"內在自由度"。海森堡引入了"同位旋"(isospin) 可以算是開創了物理新的一章，因為有了"內在自由度"這個概念，才能建構出在粒子物理扮演關鍵角色的"對稱"(symmetry)。但是海森堡在波爾的影響下卻沒有去處理核力的媒介為何的問題。當然，朝永桑沒有忘記提起湯川秀樹如何地發展出"湯川粒子"(我們今天稱之為介子)，並且設立"湯川粒子"是自旋為零而"同位旋"為一的這段史話。為何"同位旋"是一呢？舉例來說，中子的同位旋分量是-1/2，要變成一個同位旋分量是1/2 的質子，需要一個同位旋分量是-1，那正好是π^- ，因為 (π⁺  π⁰  π^-) 構成一個同位旋為一的三元組 (triplet)，同位旋分量是(+1,0,-1)。這段故事在阿文另一篇文章粒子物理在東洋的先驅：坂田昌一(上) 熱血的左翼物理青年把來龍去脈都交代了，要勞駕各位去翻一翻那篇囉。

朝永桑就停在這裡，沒有繼續往四十年代講下去，到是第十一章，講的卻是Thomas 旋進。在第二章時我們提過Thomas 旋進，但是作者卻等到最後才來詳細推導這個效應。朝永桑從最基本的羅倫茲變換講起，那麼Thomas 旋進到底是怎麼來的呢？假設有ABC三個慣性坐標系，那麼從A變換到B，再從B變換到C與A直接變換到C的羅倫茲變換相同嗎？如果A與B的相對速度和B與C的相對速度的方向平行，那就沒問題，要是方向不同呢？問題就來了，仔細地研究後發現，這時候你需要再加一個轉動！接著朝永桑告訴我們，包立發現狄拉克方程式其實可以再加一項 (這一項現在稱為包立項)，加上去之後，粒子的g因子就不再是2而是取決於新的項的係數，然後朝永桑證明了加上了這一項的狄拉克方程式可以描寫質子在磁場下的進動，Thomas 旋進的效應還是會自動出現!這可是媒有教科書會談的內容喔！

好酒沉甕底，最後一章是最有趣的一章了，沒有公式，朝永桑在這裡"清談"了起來。"清談"這兩個字可是他自己說的唷。他談了許多科學界的軼事，除了西洋的故事之外，他特別提到了仁科芳雄，特別是當年他怎麼指導湯川秀樹與他兩個人的往事，最有趣的是朝永桑還回憶起當年他的第一個工作，就是將海森堡所提的核力再加上Majorana所提的核力放在一起，描述中子與質子的彈性碰撞的實驗，但是仁科芳雄卻遲遲沒有將寫好的稿子投出去，結果當Bethe 和Peierls 類似的文章被登出，朝永桑氣得要死，可是當Fermi寫的同樣題目卻更完備的文章出現時，他整個人像洩了氣的皮球一樣。朝永桑還想到1939年湯川受邀去參加Solvay會議時，朝永正在萊比錫，湯川還特地去找他，但是會議卻因為第二次世界大戰報發而中斷！原本包立要在會上針對場論做一次報告，會議雖然被取消，他所預備的講稿卻寄了一份給湯川，湯川拿給朝永看，而那正是朝永當時苦思再重整化需要的材料，嘿嘿，有好同學的確很重要！

"自旋物語"這本書，奔馳在原子物理，粒子物理，甚至是核子物理之間，卻毫無生澀之感，一會兒談起非常技術性的數學，一會兒又說到相當複雜的實驗，一下子又是物理界的趣聞，但是這一切在朝永桑的手下，就這麼自然地熔為一爐。阿文每次捧起書來都會被深深吸引，我想，這就是撰寫"科普經典"的功力吧。說實話，在咱們科技部長官大爺的眼中，甚至是阿文的一些同事眼中，搞"科普"是沒啥出息的差事，多寫幾篇高點數的文章才是了不起。不過阿文不才，覺得"科普"人人可作，但可不是人人都做得好。朝永桑的功力可是人家天資高，學問足，不是凡夫可以輕易學來的，但是如果把朝永桑作的科普當作是阿文的目標，那麼旁人的白眼真的算不上什麼。科普的樂趣說穿了，就是獨樂樂不如眾樂樂，自己體會深，自己樂，寫給別人看，別人也樂。體會地淺，就樂得淺。阿文希望自己多多深思學習，自己樂得深，也讓各位樂得深。

那麼，我們下回見囉。
 

延伸閱讀：
自旋物語(上) 自旋打哪兒來?