自旋物語(上) 自旋打哪兒來?

這一次的阿文開講，阿文要介紹一本好書給各位看官。這本書叫"スピンはめぐる"(直接地翻成中文大概是"自旋轉完啦") 英文的書名翻成"The story of spin"。阿文當年是在北卡羅萊納州當博士後研究員時，閒來無事在圖書館逛逛，偶然在書架看到英文本，當下把書借回去，讀了之後，驚為"天人"，覺得太精彩了，後來索性買了一本，珍藏在家中。事實上，當阿文剛回台灣時還有意將它翻成中文，無奈後來因為雜務纏身，一直無法如願。不過，這本書的英文相當通順淺顯，有心的青年學子們讀起來想必不會有什麼困難，所以就讓阿文我好好地為各位介紹一番，期待這本好書能在臺灣大大地流行起來!

這本書的作者是赫赫有名的日本物理學家朝永振一郎，其實他出現在阿文這個專欄好幾次啦！他最著名的成就是與費恩曼以及許文格共同建立量子電動力學的再重整化理論而在1965年得到諾貝爾物理獎，朝永振一郎所撰寫的量子力學教科書在日本非常受歡迎，但是スピンはめぐる"(阿文接下來就稱它作"自旋物語"了)卻不是一般的教科書，而是朝永一系列演講稿所組成。但是這本書不單單只是在介紹"自旋"給這個沒學過量子力學的門外漢，而是以"自旋"為主軸，將相論論性量子力學，乃至於早期的量子場論發展的來龍去脈交代得清清楚楚的科學史，更令人拍案叫絕的是，講起如此生硬艱深的題材，朝永先生卻能讓讀者捧著書不放，趣味盎然地一路讀下去，這種功力真是令阿文折服呀！更厲害的是，雖然朝永在講演之中已經去掉了大部分的技術性的公式推導(十一章除外)，但是朝永講起物理卻是完全沒有打折，既沒有使用易生誤解的比喻，也沒有用簡單易懂的日常生活的經驗來人產生"錯覺"，比起現今許多號稱是"科普"的作品，朝永桑的這本書算得上是貨真價實的科普經典呢。

話說回來，為什麼一本介紹"自旋"的演講集怎麼會變成量子場論的發展史呢？說穿了就是因為"自旋"的相關現象是無法以古典物理來理解的，換句話說，量子力學之所以誕生，正是要解釋這些現象，也就是說，朝永桑的切入點正是當年包立提出不相容原理時宣稱新的電子自由度是nichtmechanischer Zwang (古典力學無法描述的雙值特性！) 而且隨著歷史發展，我們也發現相對論與自旋之間緊密的關係，而量子場論正是融合量子力學與相對論而產生的產物，所以選擇"自旋"成為一個切入點本身就是很高明的事啊。

那麼哪些是古典力學無法描述的現象呢? 這正是這本書第一章的主題，就是鹼金族的光譜。鹼金族的光譜有什麼特別之處呢? 因為鹼金族像是鋰、鈉或是鉀，它們的化學性質顯明了只有一個電子會參與化學作用，所以它們的光譜應該與氫的光譜有幾分類似。既然當時波爾的模型已經可以解釋氫的光譜，甚至在索莫非的努力下，連氫光譜的精細結構都可以用相對論化的波爾模型成功地解釋了，科學家們自然會認為波爾模型應該也能多少解釋鹼金族的光譜吧。沒想到馬上踢到鐵板! 鹼金族的光譜除了S(角動量為零)之外，每個能階都是二元組(doublet)，也就是兩個差距很小的能階一起出現，怎麼解釋這個現象呢?
 

當讀者被誘導著看下去，才剛翻到第一章的第七頁，就會倒抽一口氣!因為朝永桑居然一口氣就介紹了三種整理光譜的系統，分別是索莫非(Sommerfeld)、蘭德(Lande) 和包立所提出的三套系統。在一番比較後，朝永桑針對蘭德的Ersatzmodell 來闡述。首先鹼金族的光譜顯然地不能只用有三個量子數的波爾–索莫非模型來描述，勢必要加上新的量子數才行，也就是還需要有新的物理量。然而電子除了能量，軌道角動量大小與它的定向之外，哪裡還有新的物理量呢? 蘭德認為內層的電子與原子核形成了一個"核"，這個"核"也帶有角動量，這樣一來，如果"核"的角動量與電子的角動量耦合在一起，照著量子理論向量相加的算法，就可以理解鹼金族的光譜中兩元組是怎麼來的了。

可是怪的是，"核"的角動量與電子的角動量卻有著微妙的差異，如果施加外在磁場時，能階會分裂，這就是赫赫有名的Zeeman 效應，從鹼金族的Zeeman 效應的結果來看，"核"的角動量以及它相應的磁偶矩之間比值 科學家稱之為g 因子，卻與電子的軌道角動量不同！依照古典物理，一個電流迴圈產生的磁場就約略等於一個磁偶矩，這樣可以算出g 因子為1，而在波爾模型中一個電子繞著原子核轉，它的軌道角動量與它的磁偶矩之間的g 因子也的確是1，但是從鹼金族的實驗來推敲，卻發現"核"的角動量與其磁偶矩之間的g 因子卻是2！第一章就在這個謎團中結束。

接著進入到第二章，蘭德先是寫下了一個與實驗數據頗為接近的鹼金族的光譜精細結構公式，看起來與索莫非的氫光譜精細結構公式有幾分類似，只有一處不同，就是索莫非的公式與原子核的原子序Z的四次方成正比，但是蘭德的公式卻是(Z-s)的四次方成正比，這是蘭德認為內層電子會造屏障掉部分原子核產生的電場，鋰的s等於2，而鈉的話，s等於9。蘭德甚至嘗試利用他的Ersatzmodell 來推導出這個公式。這個推導不難，我們可以先利用Biot-Savart 定律算出外層電子在"核"所在產生的磁場，然後計算"核"的磁偶矩與這個磁場的耦合能量就是答案了。當可憐的讀者精疲力盡地讀到這裡時，卻發現朝永桑好像跟我們開了一個大玩笑！因為蘭德的公式是與(Z-s)的三次方成正比! 而且正負號相反，還大了兩倍。這時蘭德只好黯然下場，接著上場的才是真正的主角：包立。

包立（圖片來源：wikimedia common)

 

包立從來就不相信內層電子與原子核形成"核"這檔事，從一開始他就認定鹼金族的光譜的雙元組來自一個"非古典"的來源，對應到一個非古典的物理量！而這個非古典的物理量的量子數與波爾–索莫非模型的三個量子數組合成一個完整的量子數，包立更進一步主張他那著名的不相容原理，在原子中任意兩個電子的量子數不能相同，電子由低能量的能階逐步往上填，這樣不僅可以解釋周期表，還能解釋許多鹼金族與鹼土族的光譜性質，為了更加了解鹼金族與鹼土族的光譜，包立還特地去拜訪蘭德的實驗室，在那裡他遇到了一位年輕學者叫Kronig，Kronig興沖沖地向包立提起這個新的自由度應該是電子"自轉"產生的角動量，而且只要賦予這個新的"角動量"的g因子為2，幾乎所有鹼金族與鹼土族的光譜都可以解釋得通，但是包立卻是對此非常冷淡，因為他知道魔鬼藏在細節裡，用這個想法我們可以先寫下原子核產生的庫倫電場，但是做個座標變換到旋轉的最外層電子所在的座標系時就產生了磁場。電子的磁偶矩與這個磁場耦合的能量就是精細結構了。這時正負號對了，公式也的確與(Z-s)的四次方成正比，但是因為g因子取為2，精細結構的公式是蘭德經驗公式的兩倍!這個該死的因子2成了致命傷，Kronig 只好摸摸鼻子把他的手稿鎖到抽屜裡去。他萬萬沒有想到，一模一樣的想法居然一年後出現在期刊上，作者是兩名荷蘭的研究生Uhlenbeck 和Goudsmit。據說當他們要投稿時，他們的指導教授Ehrenfest 要他們去向羅倫茲請教，羅倫茲告訴他們，照這個想法，電子自轉速度要比光速快，當他們回去找Ehrenfest 想收回稿子時，Ehrenfest 居然告訴他們，太遲啦！稿子送出去啦，還安慰他們說，反正你門也沒什麼名聲可以損失！看到這篇文章，Kronig馬上寫了一篇酸氣沖天的批評的文章，海森堡還捎信來挖苦他們者這篇"充滿勇氣"的論文。但是故事直轉急下，兩位菜鳥研究生的救星出現了! 他就是L.H.Thomas，他發現之前的推導都忽略了一個重要的相對論效應，就是把原子核的庫倫電場變換到外層電子的座標系時，不是單純的一個羅倫茲變換，還要加上一個額外的轉動，因為電子的加速度不為零，這個效應被稱為Thomas 旋進，將這個效應考慮進來，精細結構的能量就不再是與電子的自旋角動量的g因子成正比，而是與g-1 成正比！到這裡，好像柳暗花明了，第二章也告一段落了，但是更有趣的還在後頭等著呢!

第三章一開始，我們讀到包立如何利用著名的包立矩陣(其實就是一組2x2 么正矩陣的基底) 將新的自由度與薛丁格方程式結合在一起，雖然這個做法可以解釋許多現象，但是包立還是很不滿意，因為Thomas 旋進明顯是相對論性效應而薛丁格方程式卻是非相對論性，這裡有自洽性的問題，但是就算是天才如包立者也無法解決這個問題，這時候，超越天才的"神人"出場了，就是與包立同齡的物理學家狄拉克上場。

 

當時其實不是沒有將薛丁格方程式推廣成符合相對論性的東西，這個方程式叫克萊因–高登方程式(Klein-Gordon equation)，事實上薛丁格一開始寫下的方程式就是克萊因–高登方程式，但是他發現拿它計算氫原子能階不會得到正確的結果，所以改成非相對論的形式。再者克萊因–高登方程式的機率密度是非正定的，當然，負的機率密度在物理上沒有意義的，所以當時沒有人認為克萊因–高登方程式可以拿來描述高速電子的行為。而狄拉克認為，克萊因–高登方程式之所以會產生負的機率密度的根源是因為它是時間與空間的二次微分方程式，薛丁格方程式是時間的一次微分，空間的二次微分方程式，所以要滿足相對論又要有正定的機率密度，那應該是對時間與空間的一次微分方程式，狄拉克由此寫下了著名的狄拉克方程式，怪的是這個方程式的解居然有四個分量!但是如果取非相對論極限時，會得到一個兩個分量的方程式，與包立之前將新的自由度硬加到薛丁格方程式的結果是一樣的！更神奇的是，狄拉克方程式中新的自由度對應的g因子就是2！值得注意的是狄拉克方程式的解在空間轉動三百六十度時會變號，必須轉七百二十度才會回到原來的值。所以到頭來，把新的自由度歸諸於所謂"電子"的自轉是站不著腳的，但是既然大家都叫新的自由度叫作"自旋"(spin)，我們也就跟著叫了。再者狄拉克方程式描寫的是沒有結構的粒子，嚴格講是無法定義大小的，所以你能說"點狀"的物體的"自轉"嗎? 所以包立堅持新的自由度是"非古典"的，確實是正確的。

這裡朝永桑還埋了一個梗。狄拉克方程式的解的四個分量，分別是正能量的兩個自旋分量與負的能量的兩個自旋分量，負能量的解在物理上似乎有點奇怪，正當讀者期待朝永桑解惑時，他卻突然筆鋒一轉，在第四章談起了質子的自旋，當然，大家知道質子也是自旋1/2的粒子，可是當年是怎麼知道的呢?電子的自旋是透過原子光譜的研究，那質子呢?

答案是當時的科學家之所以能確定質子的自旋是1/2靠的是測量氫分子的比熱。這個得稍微解釋一番了，氫分子的比熱主要是來自兩個氫原子，也就是質子間的轉動，將這個轉動量子化之後可以得到轉動能階，不同轉動能階當然對應到不同的兩個質子的波函數。那質子的自旋如何與氫分子的比熱搭上線的呢? 這得要歸功於包立不相容原理了。包立不相容原理告訴我們，自旋為半整數的同類粒子的波函數，如果交換粒子的坐標會產生一個負號，換句話說，波函數相對於粒子坐標的置換一定是反對稱的，寫成符號就是ψ (1,2)=-ψ (2,1)。(但是這不適用於自旋為整數的粒子，對自旋為整數的粒子，像是光子，它們的波函數是對稱的，ψ (1,2)=ψ (2,1)。) 但是粒子的坐標除了位置之外也包含自旋，所以兩個質子的波方程可以寫成 ψ_rot(x₁,x₂) ψ_spin(s₁,s₂)，轉動部分的波函數相對於交換x₁,x₂ 取決於兩者相對的角動量，如果角動量量子數是奇數，那麼波函數就會變號，如果是偶數，那就不會變號。而自旋的部分呢? 如果兩個自旋1/2角動量是平行的話就會形成自旋為一，自旋角動量在特定方向的分量可以為-1,0,+1，而波函數在交換s₁,s₂  後是不會變號的。反之如果兩個自旋1/2角動量是反平行的話就會形成自旋為零，自旋角動量在特定方向的只能為0,那麼波函數在交換s₁,s₂  後會變號!也就是說自旋為一的自旋波函數是對稱的(稱之為正氫)，而自旋為零則是反對稱的(稱之為仲氫)。而氫分子的比熱與轉動能階簡併數是相關的，由這些規則科學家可以從氫分子來推斷質子的自旋是半整數還是整數了。

讀到這裡，你以為大功告成了嗎?那你就錯啦! 事實上當Friedrich Hund 用這方式時卻完全失敗，這時朝永桑又發揮他寫推理小說的本領，抽絲剝繭，找到問題的源頭。當朝永桑的老師也是姐夫堀健夫在哥本哈根時在波爾要求下研究氫分子的轉動能階，證實了質子遵守不相容原理，那麼先前Hund是哪裡搞錯了呢? 原來不同自旋的氫分子彼此變換的時間遠比測量比熱的時間長，室溫熱平衡態下，氫氣大約是75%正氫和25%仲氫的混合物。實驗是從室溫開始，逐步降溫來量比熱的。而Hund在推算比熱時單純地設定不同自旋的氫分子會形成熱平衡，造成了錯誤，密西根大學的Dennison在經過一番推敲之後才搞清楚氫分子比熱與轉動能階的關係，當然也確定了質子的自旋為二分之一無誤。

到了第五章，朝永桑又回到了原子物理，但是不是鹼金族，而是氦原子光譜。氦原子光譜一直是二零年代初物理學家的惡夢，因為波爾模型可以破解一個電子的氫原子光譜，卻對只有兩個電子的氦原子光譜卻是一籌莫展，原因是雖然是一個元素卻有兩套光譜! 當時甚至有科學家懷疑有新元素呢。而兩個電子與一個原子核的三體問題，也讓科學家頭疼，但是在發現電子自旋之後，很快地，氦原子光譜也被破解了，破解之人正是建立矩陣力學的神人，海森堡。說來海森堡與氦原子光譜還真有緣，當他還在慕尼黑大學當博士生時就嘗試處理氦原子光譜，當時他第一次提出半整數的量子數，還被許多人(包含包立)奚落了一番。但是電子自旋被引進後，出現了新的問題，雖然氦的兩套光譜可以用自旋為一(正氦orthohelium)與為零(仲氦parahelium)的兩個狀態來理解，但是分析光譜時發現兩個電子自旋之間會有相當強大的耦合，當然啦，兩個自旋當然有相應的磁偶矩之間的交互作用，然而計算之後卻發現磁效應遠小於實驗值，這個謎團就是被海森堡給破解的。關鍵正是不相容原理，這時你看出朝永桑在上一章埋的梗了吧。自旋的相互作用其實是兩個電子之間的靜電庫倫位能，那怎麼會與自旋扯得上邊呢? 因為兩個電子的相對位置的波函數與兩個電子自旋波函數組合以後必需是反對稱的，而空間上對稱的波函數產生的靜電庫倫位能一定高於反對稱，因為只有在x₁-x₂ 很小時，庫倫位能才會變得很大，而反對稱的空間波函數ψ反對稱(x₁,x₁＝x₂)=0。這就是長距離自旋交互作用的來源！當然啦，這個原理也適用於有兩個外層電子的鹼土族，甚至與物質的磁性理論也有相關呢！

介紹了半天，居然還不到全書的一半。但是從前五章各位應該感受到朝永桑特殊的風格。他往往是從相當繁雜的實驗現象出發，突顯出原先理論無法解釋的部分，再抽絲剝繭，一步步將解決的關鍵帶出，宛如讀推理小說一般，一開始豪無頭緒，每個關係人看起來都嫌疑重大，但是在呈現各種證據之後，慢慢地將真相揭露，當真相大白時，還真有一種霍然開朗的痛快感。這麼精采的著作，後半部還有哪些令人拍案叫絕的內容呢? 還請各位看官繼續收看下一次的阿文開講囉!咱們下回見!!