角度無關的結構色指南

「世界的邊緣和深處都是藍色的，」麗貝卡·索尼特(Rebecca Solnit)在迷路指南《The Field Guide to Getting Lost》(企鵝出版集團, Penguin Books, 2005)一書中寫道，「這是道迷路的藍光。」這項評論一方面是關於色彩物理學意簡意賅的精妙陳述：海洋和天空之所以是藍色的，是因為它們較傾向於散射藍色的光。而這另一方面對我們來說也是個恰當的比喻：當我們在研究顏色的物理特性時(尤其是藍色)，會發現它很容易被我們遺漏。但這並不是件壞事。

說到在麻薩諸塞州常見的藍樫鳥( Blue Jay，又名冠藍鴉)，牠身上的藍是比較像大海還是更近似於藍天？在海洋裡，紅光會被吸收，而藍光則是被散射出來到我們的眼中；在天空裡，大氣中的藍光會比紅光散射地多，這是一項被稱為「瑞立散射」(Rayleigh scattering)的過程。根據史丹·泰基拉(Stan Tekiela)的眾多野生指南，藍樫鳥既不像海洋也不似天空。「羽毛裡少了藍色的元素，」史丹·泰基拉說，「而折射的陽光會散射出藍色的光。」


羽毛的特性

請跟著我們一起探究史丹·泰基拉的說法。的確，藍樫鳥的羽毛沒有藍色色素。取而代之的是，羽毛顯示出的結構色，是來自於除了吸收以外的其他機制(請見Physics Today, 2015年6月份, 第32頁, Ross McPhedran和Andrew Parker所寫的文章)。但藍樫鳥的羽毛並非棱鏡，它是一個含有細微小孔的蛋白質基質。那麼，散射對一種顏色來說相當重要，而折射呢？很明顯的，這是一項誤解。
倘若散射真的如此重要，它也不會成為羽毛呈現藍色的首要原因。在20世紀，瑞立散射被廣泛認為是造成鳥兒呈現藍色的原因。推論上認為，因為羽毛的孔徑小於可見光的波長，相較於紅光，它們應該會散射出較多的藍光。瑞立散射的同向性也可以用來解釋為什麼藍色的羽毛──與色彩斑斕的蛋白石或甲蟲殼不同──所投射出來的結構色幾乎不會因觀賞的角度不同而有所改變。


但是，建設性干涉(constructive interference)──而非瑞立散射──才是羽毛呈現藍色的主要原因。1998年，鳥類學家理查·普魯姆(Richard Prum)和他的同事根據這項問題進行了研究，他們的研究對象為另一種藍色的鳥──梅喉傘鳥(plum-throated cotinga)(請見圖1)。梅喉傘鳥的羽毛與蛋白石或甲蟲殼不同：蛋白石或甲蟲殼的成分會具有晶格排列，而梅喉傘鳥羽毛中的小孔在短距離裡具有關聯性、長距離上是沒有相關性的，就像液體分子一樣。正如當X射線的波長接近液體的粒子間距離時，被散射出來的波會產生建設性干涉一樣，從羽毛間散射的可見光也可以產生建設性干涉。普魯姆及其同事證實，羽毛小孔之間的特殊距離會讓藍光產生建設性干涉，但不會讓其他顏色的光有這樣的現象。
 

圖1、梅喉傘鳥(plum-throated cotinga)的顏色是來自不規則排列的羽毛小孔所散射出來的藍光。右下角的插圖為傘鳥羽毛結構的穿透式電子顯微影像。(照片取自Wang LiQiang/Shutterstock.com。右下角插圖片取自E.R. Dufresne et al., Soft Matter 5, 1792, 2009.)

十年之後，耶魯大學的傑森·福斯特(Jason Forster)及其同事證明，當200奈米的聚合球聚集時，它們會顯示出類似的藍色。重要的是，只有當模擬傘鳥羽毛中小孔的顆粒密實地──儘管是隨機地──堆積時，藍色才會顯現出來。這項結果強調了鳥兒的藍是來自於建設性干涉。


操控顏色

不過，瑞立散射──或更廣泛地說，小顆粒會傾向於散射出比紅光還要多的藍光──也會影響物體的顏色。我們的研究小組在受福斯特啟發的實驗中發現了這個事實，那時候的我們正試圖製作紅色的顆粒填料。這項任務乍之下看似乎很簡單：只需增加粒徑，進而使干涉條件發生紅移。但我們得到的並不是紅色，我們得到的是紅色和藍色的混合──紫色。


為了讓此結果合乎邏輯，我們開發了一項簡單的模擬。在模擬中，假設光在物質中只會被散射一次──這是個非常粗略的估計，但在某些條件下是合理的。散射強度是結構因子(structure factor，描述顆粒之間的相互關係)與形狀因子(form factor，描述單個顆粒的散射)的乘積(請見圖2a)。兩者都是波向量(wavevector)  q = 4π sin(θ/2)/λ的函數：θ為散射角度、λ為電磁波在物體中的波長。可以藉由假設粒子的排列會如同原子在簡單液體中的排列一樣，來計算出結構因子。而形狀因子可藉由米氏理論(Mie theory) ──馬克士威方程式(Maxwell’s equation)針對光線與圓球交互作用的解──計算而得到。
 

圖2、(a) 在單散射模型中，結構因子(structure factor)描述從不同粒子散射出來的波之間的干涉，而形狀因子(form factor)描述來自單個粒子的散射。結構因子有個以q =2π/ d為中心的寬峰，其中d為粒子之間的距離。(b) 隨著d增加，結構因子的峰值S會移到紅光的範圍，但形狀因子的峰值F會移到藍光的範圍，進而產生紫色。核心-外殼型顆粒會將形狀因子的峰值移至紫外光的範圍中，便可能產生紅色。

結構因子具有一個以q =2π/ d為中心的寬峰，其中d是平均粒子間的距離。當散射的波向量與此峰值附近的波向量相當時，會產生建設性干涉。當兩個波的方程式中的q相等時，我們就會得到產生建設性干涉的條件：λ= 2d sin(θ/2)。當d大約是200奈米、與鳥兒的羽毛孔洞大小以及藍色填充物中的顆粒一樣時，該模型正確地預測出我們應該會看到藍光(波長大約為450奈米的光)被反射出來。
此模型還解釋了顏色幾乎不會隨著觀賞的角度而有所改變的現象。我們的建設性干涉條件事實上就是布拉格定律(Bragg’s law)，但這也許是出自於我們對θ的定義，才得到這樣的假結果。布拉格定律通常是用來描述晶體中的散射，d在這種情況下會是個離散值。但是對於不規則排列的材料，d值會是個連續分佈。因此，對於連續的角度範圍，都可以滿足建設性干涉的條件。由於缺少長距離的關聯性，僅有部分的建設性干涉，因此顏色並不鮮豔，而是柔和的。


那麼為什麼我們想製造的紅色顆粒填料會變成紫色的呢？當粒子大小為300奈米時，結構因子的峰值會像我們所預期的一樣，落在紅光的範圍。但形狀因子的峰值因為單個顆粒的干涉，會落在藍光的範圍(請見圖2b)。我們理解到，如果可以將形狀因子的峰值從藍光的範圍，移置看不見的紫外光範圍，便能產生自然界中不會發生的現象：結構的顏色為紅色，且顏色不會隨著觀賞的角度有所改變。為此，我們必須縮小顆粒大小，同時保持顆粒之間的距離不變。我們的想法是利用小的聚合物核心加上一層透明外殼的粒子作為填充顆粒。其中的聚合物核心會將光散射出來，而透明外殼則作為保持間距的緩衝物。


這項計劃成功了──至少有一部分是如此。聚合物核心加上透明外殼的填充顆粒會在紅光的範圍有個反射的峰，而在藍光的範圍則沒有峰值產生。但是它們看上去卻是粉紅色的。這是因為所有波長的光都可以產生不只一次的散射。將某些白光與紅光混合，便會得到粉紅色的光。現在，我們正試著減少多重散射，以產生更飽和的紅色。這可以很好地應用在反射式的色彩顯示器等用品上。想像一下，例如在陽光直射下也可閱讀的智慧型手機。


邊緣效應

這其中有個很重要的細節。我們的模型假設每個粒子都是在具有平均(或有效的)折射率的均勻介質中。當粒子很微小時，就像它們在分子混合物中一樣，這種有效介質的估計值是非常合理的，而且可以通過馬克士威方程式的證明。當顆粒更大時，便很難證明其合理性，但若是折射率相差不大，它也能很好地發揮作用。


這個細節為何重要？為了使模型保持一致，我們必須考慮當光照射到有效介質的邊緣時會發生什麼事。在那裡，光可以反射並且──您猜對了──折射。


史丹·泰基拉的解釋並非完全正確：單靠折射並不能解釋藍色的結構色。但在某些角度不發生折射──即全內反射──的現象會減弱某些波長的光。而且折射的存在，會讓那些沒被減弱的光隨著觀測角度的不同而有不一樣的顏色。所以史丹·泰基拉的指南也沒有完全誤導我們。


在我們蜿蜒的旅程中，最初似乎是錯誤的想法(像是折射和瑞立散射)，如今已成為有用的觀念，我們就像那些迷路的人一樣在圈裡打轉。但正如麗貝卡·索尼特所寫的那樣：「永不迷路就是白活了。」的確，在一次次的回首中，我們都能獲得嶄新的見解。



補充資料：
R. O. Prum et al., Nature 396, 28 (1998).
J. D. Forster et al., Adv. Mater. 22, 2939 (2010).
S. Magkiriadou et al., Phys. Rev. E 90, 062302 (2014).
J.-G. Park et al., Angew. Chem. Int. Ed. 53, 2899 (2014).
L. Maiwald et al., Opt. Express 26, 11352 (2018).


本文感謝Physics Today (American Institute of Physics) 同意物理雙月刊進行中文翻譯並授權刊登。原文刊登並收錄於Physics Today, November 2021 雜誌內 (Physics Today 74, 1, 62 (2021); https://doi.org/10.1063/PT.3.4663)。原文作者：Johanna Miller。中文編譯：宋育徴，國立中央大學物理系助理。


Physics Bimonthly (The Physics Society of Taiwan) appreciates that Physics Today (American Institute of Physics) authorizes Physics Bimonthly to translate and reprint in Mandarin. The article is contributed by Johanna Miller, and are published on (Physics Today 74, 1, 62 (2021); https://doi.org/10.1063/PT.3.4663). The article in Mandarin is translated and edited by Y.C.Sung , working at the Department of Physics, National Central University.