索末菲:承先啟後的理論物理大師 (上) 出入於物理與數學之間

今年(2018)的十二月五日，適逢物理學家阿諾德·索末菲 （Arnold Sommerfeld)一百五十歲的冥誕。說起索末菲，一般不是念物理的看官大概都不曾聽過，就算是念物理的人，一般也就只知道他是包立與海森堡的老師，至多也只是知道他推廣了波爾的原子模型，其實索末菲對現代物理的發展，甚至現代的物理教育都有很深遠的影響，他本人更是一位了不起的楷模，所謂"經師易得，人師難求"，索末菲稱得上既是"經師"，也是"人師"。所以阿文這次就趁著他老人家一百五十歲大壽的機會，簡單地將他的人生故事講給各位看官們聽聽，也趁著這個機會，與各位在大學執教鞭的同行們，一齊來思索我們這一代物理教授的定位與對下一代物理學者養成教育的使命吧。

 

（圖片出處：wikimedia common)
 

阿諾德·索末菲 （Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld, 1868年12月5日－1951年4月26日）出生於東普魯士的哥尼斯堡(Königsberg)，他的父親Franz Sommerfeld 是一位熱衷收集礦物與動植物標本的行業醫生。說到柯尼斯堡，最出名的人物莫過於大哲學家康德了，康德(1724-1804)雖然名滿全歐，一生卻沒離開哥尼斯堡，此外，1736年，數學家歐拉為了解決了哥尼斯堡的七橋問題，並由此產生了新的數學分支——拓撲學，在數學史上也是赫赫有名的。特別值得一提的是在1806年普魯士被拿破崙擊敗後，國王腓特烈·威廉三世及其王室成員從柏林逃往哥尼斯堡。讓該城成為抵抗拿破崙的政治中心之一。但是在1848年革命中，哥尼斯堡反而成為反對腓特烈·威廉四世保守統治的自由主義堡壘。經歷過拿破崙戰爭的艱苦歲月與1848年革命的騷動，到了十九世紀八零年代，哥尼斯堡已經成為非常繁榮的城市，並以它獨特的民族主義與自由主義而著稱。而索末菲的一生正是這種獨特精神最具體的象徵了!

 

當年輕的索末菲在中學畢業後，與克勞修斯類似，一直在人文學科與自然科學之間游移不決，這當然是因為在普魯士的中學，不像臺灣那樣，硬生生地分成社會組與自然組，索末菲數學很拿手，傳統的希臘文，拉丁文也學得非常好，最後讓他下定決心走向物理的關鍵，應該是當時哥尼斯堡大學數學部門的豪華陣容吧! 這讓索末菲在1886年下定決心，進到哥尼斯堡大學攻讀數學與物理。當時數學系的兩大明星無疑就是阿道夫·赫維茲(Adolf Hurwitz)和大衛·希爾伯特。赫維茲是當時德國的數學界泰斗菲利克斯·克萊因(Felix Klein 1849-1925)的學生，從慕尼黑大學畢業後於1884年受邀前往哥尼斯堡大學擔任Extraordinarius (相當於今天的副教授)，希爾伯特則是哥尼斯堡人，畢業後在1886年在母校擔任Privatdozent(相當於今天的講師)，後來赫維茲於1892年離開哥尼斯堡，前往蘇黎世聯邦理工學院，而希爾伯特則是在1895年前往哥廷根，但這都是索末菲拿到博士學位以後的事了。這兩位都是全能型的數學家，而且當時都正在他們的巔峰時期，可想而知，當時在哥尼斯堡大學讀數學對年輕學子多有吸引力了。

此外，哥尼斯堡也是全歐洲最早設立獨立的理論物理研究所的大學之一，創立者是與韋伯一齊發展電動力學的德國物理學家Franz Ernst Neumann (1798 – 1895)，他也是第一個提倡使用向量位來描述電磁現象的物理學家，Neumann與數學家Carl Gustav Jacobi在哥尼斯堡還設立了mathematisch-physikalisches Seminar，這個Seminar 有兩個部分，一邊是數學，一邊是物理，這個Seminar的目標是讓學物理的學生有足夠的數學能力處理實驗數據，有時Neumann 還會找天文學家Friedrich Wilhelm Bessel(他從1810年起就是哥尼斯堡天文台臺長，他也是第一個量到恆星的視差並以此決定恆星與地球距離的天文學家!)前來助陣，而Neumann的學生Gustav Robert Kirchhoff 就是在這個Seminar提出著名的熱化學的Kirchhoff's law呢!所以在哥尼斯堡，數學與物理之間相互交流有很深厚的傳統。雖然當索末菲在哥尼斯堡大學念書時，理論物理所的所長R. Volkmann的研究引不起索末菲的興趣，倒是年輕的物理學家艾密·維謝(Emil Wiechert，1861-1928)與他多有接觸，讓他受益良多。著名的Liénard–Wiechert potentials就是由法國科學家阿弗雷-瑪麗·黎納(Alfred-Marie Liénard(1869-1958) 艾密·維謝於1900年，分別獨立地研究求得Liénard–Wiechert potentials的公式。這是描述電荷在加速運動時發出的電磁場的重要公式。這樣濃郁的學術氣氛證反映出十九世紀末德意志帝國欣欣向榮的一面。
 

索末菲在1891年(23歲)時取得博士學位。他的指導教授是證明圓周率是超越數(即不是任意整係數代數多項式的根)的費迪南德·馮·林得曼Carl Louis Ferdinand von Lindemann，他的博士論文的題目是‘The arbitrary functions in mathematical physics，內容是將如何用一組本徵函數來分解任意函數的方法，可以看作是傅立葉分析的推廣，這個想法對索末菲的研究影響非常大，我們後頭還會提到。因為要領取教師證明，索末菲仍舊留在柯尼斯堡準備功課。1892 年，他順利地通過了全國考試，獲得教師證明。然後，他又進入軍隊服役，經過一年的訓練，於 1893 年 9 月，完成兵役。但索末菲在服完兵役8年後又服了8週的志願役。索末菲一生熱愛祖國，但從來沒有盲從時勢，可以說是哥尼斯堡民族主義與自由主義巧妙混合的最佳代言人了。
 

1893 年 10 月，索末菲幸運地進入德國的數學中心哥廷根大學，成為 Theodor Liebisch 教授在礦產學院的助理。Theodor Liebisch 教授曾經在柯尼斯堡大學教過書，是索末菲家庭的老朋友。有趣的是許多在哥尼斯堡的舊識也紛紛來到了哥廷根，希爾伯特在1895年來此擔任教授，而艾密·維謝也在1898年成為哥廷根大學歷史上首位地球物理學教授，他們都是接受數學家菲利克斯·克萊因的邀請而來，而幸運之神更進一步眷顧年輕的索末菲，1894 年 9 月，索末菲成為數學家菲利克斯·克萊因的助理，他負責紀錄課堂的講課內容。學生可以在數學讀書室溫習他所製作的上課筆記。(後來波恩也成為希爾伯特的助理，一樣也是負責將課堂的講課內容作成筆記，學生們，好好做筆記，這可不是隨隨便便就做得好的差事!)同時他也是數學讀書室的管理員。在克萊因的細心督導下，他通過了德語國家教授資格考試，准許他成為可以在大學授課的講師 (Privatdozent) 。1895 年開始，他正式任職為哥廷根大學的講師。身為一位講師，索末菲在哥廷根大學主要教導各種各樣的數學和物理數學，他開設的解偏微分法在哥廷根大學更是手開先例，這正是從他的博士論文繼續發展的成果，後來，他把這些授課內容加以整理後成為六冊的教材《理論物理學講義》中的一冊《偏微分方程式物理數學》。他的這套教材我們後頭還會再提到。

 

1895和1896這兩年，索末菲和克萊因開始編纂一套教材《Die Theorie des Kreisels》(轉動物體的理論)，這是肇始於克萊因在哥廷根開設了一門關於物體旋轉的力學理論相關課程。這套教材後來一共出了四大冊，到了1910年才大功告成。這本書是他們13年(1897-1910)來的研究成果。前兩冊主要在談基礎的理論，而後兩冊是有關轉動在地球物理學、天文學和科技的應用。這也讓索末菲從一個數學家轉變成物理學家，由於克萊因的影響，讓索末菲專心於應用數學和講課的技巧。這使索末菲成為一位非常成功的授課者，可以說，克萊因是索末菲一生最大的貴人也不為過呢。這段時間他還鑽研馬克思威爾的電磁理論而寫下有關繞射的著作，他運用了複變分析的技巧，連大數學家H. Poincare都注意到他的這一篇文章。出入於物理與數學之間，這個東普魯士來的年輕學者優游其中而自得其樂呢。
 

在哥廷根大學的期間，他遇到了未來人生的伴侶，Johanna Höpfner ，她是任職於哥廷根大學的政府官員的女兒。1897 年10 月，索末菲被聘請為克勞斯塔爾工業大學的前身Bergakademie in Clausthal-Zellerfeld;的數學教授，接下物理學家威廉·維恩離開所留下的空缺。兩人多年之後成為同事。這個職位的薪水讓他養家糊口。於是他與 Johanna Höpfner就結婚了，婚後兩人養育了三個男孩，一個女孩，建立了一個快樂美滿的家庭。但是索末菲欠克萊因的人情債還是得還。在克萊因的要求下，索末菲編輯了《數學科學百科全書》的第五冊，他在1898到1926年持續負責這項工作。順便一提的是維謝與上一次阿文開講提到的卡爾史瓦希也參與了第六冊的編纂，當時的德國學界真是眾星如雲呀。還是說，克萊因神通廣大，大家都得買他的帳?
 

1900 年，經過克萊因的大力介紹，索末菲被委任為亞琛工業大學(Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule)應用力學系的教授。在那裡，他對流體動力學產生濃厚的興趣。他發展出許多關於流體動力學的理論。他還研究了許多工程相關的問題，而每當他用高明的數學界解決了實際的工程問題像是火車的煞車機制或是材料的耐彎程度等，他總是感到無比的得意。但是另一方面，他還是醉心於基礎的物理，特別是當時由羅倫茲發展的電動力學與電子理論，更是他的最愛。他曾花了許多時間在這些視以太為必然的電動力學理論上，甚至討論過電子被加速到比光速還快的情況。他甚至預測了Cherenkov radiation。這種輻射是1934年由蘇聯物理學家 帕維爾·阿列克謝耶維奇·契忍可夫Pavel Alekseyevich Cherenkov(1904-1990)發現的，因此以他的名字命名。並因此獲得1958年諾貝爾物理學獎。雖然索末菲早就做過理論的研究了。
 

1906 年，在物理學術界已頗負盛名的索末菲榮膺慕尼黑大學新成立的理論物理學院的主任。索末菲所接受的理論物理學所主任一職是慕尼黑大學物理學院的威廉·倫琴院長所指派的。倫琴就是因發現X光而獲得諾貝爾物理獎的第一位得主。在十九世紀晚期的德國，實驗物理比理論物理為人所重視，因為物理主要還是被當作是一門實驗科學。理論物理只是扮演輔助的角色。可是，到了二十世紀初，幾位理論物理學家，像是慕尼黑大學的索末菲和在哥廷根大學的馬克斯·波恩，靠著他們的在數學方面的造詣與天賦，以及對物理深刻的理解，完全將局面翻轉了過來，理論物理主動出擊，做出許多預測，而實驗物理的角色轉變成為驗證理論的預測。
 

在慕尼黑，索末菲遇到愛因斯坦，開始接觸到特殊相對論。那時，狹義相對論尚未被廣泛的接受。其實在1905年Kaufmann測量運動中的電子質量後甚至宣稱羅倫茲的理論已經被實驗結果排除了。後來普朗克在詳細檢查Kaufmann的結果後指出這些結果還不足以排除羅倫茲的理論。有趣的是索末菲雖然投入了大量的心力在發展Max Abraham的理論，但是在接觸特殊相對論之後，他卻能很快地說服自己，接受愛因斯坦的新理論，當時他已經快要四十歲了呢。索末菲在1908年聽完閔可夫斯基的演講後，就藉著他的數學實力，給予狹義相對論更牢固的數學基礎，將電動力學與力學寫成四維時空的向量表達法，使許多仍舊持有懷疑態度的物理學家能夠心服口服。這段時間他還研究過無線電波傳送的問題，此外他與女物理學家Iris Runge共同發表了幾何光學的研究，這篇研究非常有意思，因為後來有三位物理學家沿著相同思路將它運用到量子力學，成了有名的WKB近似。(W 指的是Gregor Wentzel, K是指Hendrik Anthony Kramers, B是 Léon Brillouin。) 值得一提的是Gregor Wentzel 與Léon Brillouin 都是索末菲的學生。Iris Runge 是 數學家Carl David Tolmé Runge 的長女，可以說是虎父無犬女呀。而Leon Brillouin後來在1914年曾與索末菲共同以特殊相對論來研究電磁波的傳播於色散介質。可以說慕尼黑理論物理所在索末菲的帶領下成了相對論研究的重鎮。
 

另外一個在慕尼黑的重大的成就是關於X光的研究。當時對於X光是粒子還是波眾說紛紜，馬克斯·馮·勞厄Max von Laue從1909年起在慕尼黑大學的理論物理學研究所任教光學、熱動力學和相對論。他得出一個想法，電磁射線的波長越短，正如X射線所呈現的那樣，會在某種介質中引起衍射或者干涉現象，而晶體則正是這樣一種介質。雖然當時參與討論的他的同事Sommerfeld和W. Wien等對此提出了反對意見，但是Sommerfeld的助手W. Friedrich與P. Knipping對此進行了實驗，在經歷了幾次失敗後，終於成功證明了這一想法的正確性。馮·勞厄給出了這一現象的數學公式，並於1912年發表了這一發現。馮·勞厄並因此獲得了1914年的諾貝爾物理學獎。索末菲對慕尼黑研究群的這項成就非常引以為榮呢。
 

索末菲在慕尼黑大學教書三十二年，桃李滿門，望重杏壇。期間雖然維也納大學，甚至柏林大學都試圖來挖角，但是索末菲都不為所動。他在這裡培育了新一代德國物理界的眾多人才，但是最為人津津樂道的，應該還是索末菲的兩個高足，包立與海森堡。他們兩個人對量子力學以及量子場論的貢獻，阿文在之前的幾篇文章中已經談了許多，就不再贅述，但是他們倆人能在弱冠之年有這麼驚人的表現，一來是他們的確是天資過人，但是索末菲的提攜也是功不可沒。向來玩世不恭的包立就算上了年紀，站在索末菲身旁還是畢恭畢敬，有照片為證。索末菲之所以能培養他們，也是因為他自己在量子物理下了很深的功夫。在1915年他將波爾的原子模型推廣到橢圓軌道，發現一個軌道對應到三個量子數，一個對應到軌道大小，一個對應到軌道形狀，一個對應到軌道的傾角。(軌道在一個平面上，與空間固定軸之間有一傾角)而氫原子能階只與其中兩個量子數的和有關，換句話說，對應到不同量子數的軌道可能對應到相同的束縛能，這個現象稱之為簡併。更進一步他發現外加磁場下去，對應到軌道傾角的量子數會造成能階的分裂，以此漂亮地解釋了Zeeman 效應。他進一步考慮特殊相對論效應，居然成功地解釋了氫原子的精細結構，其中他定義了所謂精細結構常數，是電磁交互作用中電荷之間耦合強度的無因次度量。但是後來狄拉克方程式也解釋了相同的現象，但是狄拉克方程式是自旋為二分之一的粒子的相對論性方程式，索末菲在1916年又不知道電子的自旋，怎麼會得到正確答案呢?這得要有興趣的看官去詳讀相關的參考資料(五)了。
 

但是電子的自旋與索末菲也很有緣喔，索末菲是最早嘗試將波爾模型延伸到鹼金族元素光譜的人，因為鹼金族如鋰，鈉，鉀這些元素在參與化學反應時都只有一個活躍的電子，暗示鹼金族的光譜與只有一個電子的氫原子的光譜應該有相似之處，然而很快地索末菲就發現不對勁了，因為鹼金族的光譜出現氫原子光譜所沒看過的所謂"雙元態"，就是兩個非常靠近的能階，而且在外加磁場下，它的能階不像氫原子一般地裂成三個能階，而是裂成偶數個能階，由於古典電磁理論不能解釋這個現象，甚至連索末菲所推廣的原子模型也無法解釋，所以鹼金族光譜在磁場下的變化被稱為異常Zeeman 效應。索末菲是最早引入新的量子數試圖來解決這個問題的科學家。1919年他寫了一本關於原子理論的書，《Atombau und Spektrallinien》。這本書後來還隨著新的研究成果出了新版，並且被翻成別國語文，成為新一代物理學家學習原子理論的必讀之書。
 

索末菲如何成為量子革命中最年長的領航者? 除了海森堡與包立，他有哪些傑出的學生?他是如何度過德國混亂的二十與三十年代?他又是如何形塑今天物理系的基礎訓練，這一些都在下一回的阿文開講中會詳細地介紹，敬請期待!

參考資料:

(一) 中文 英文 德文 維基相關條目

(二)https://web.archive.org/web/20060927084229/http://www.amphilsoc.org/library/guides/ahqp/bios.htm

(三) MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.

(四) Born, Max, Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld, 1868–1951, Obituary Notices of Fellows of the Royal Society Volume 8, Number 21, 274–296 (1952)

(五) Sommerfeld formula and Dirac's theory by Ya. I. Granovskii Physics-Uspekhi(2004),47(5):523