孤高的物理學家:許文格 (二) 邁向巔峰

上一回阿文介紹了朱利安‧西耶爾‧許文格在戰前以及二戰中的學術生涯，這一次阿文要詳細介紹許文格最為人所知的貢獻，就是建立完整而且一致的量子電動力學(Quantum Electrodynamics, 簡稱QED)，特別是針對理論中出現的發散而發展出再重整化(renormalization)的程序，使得量子電動力學能夠做出非常精確的預測，這不但標示著量子電動力學的成功，更是宣示「量子場論」的時代的來臨。今天的粒子物理與凝態物理都是建立在量子場論的基礎上，所以說發展出完整的QED是許文格的一生成就的巔峰，應該不為過吧。有趣的是，如同二十世紀初量子力學剛出現時有兩種乍看之下完全不同的樣貌，分別是海森堡的矩陣力學以及薛丁格的波動力學，再重整化的量子電動力學出現時也有兩個完全不同的樣貌，其中一個是許文格所開創，以「量子場的創生與毀滅算子」為核心概念的相對性量子場論，另一個則是由理查‧費恩曼所開創的，以「粒子與波」為基礎的相對性量子力學為基礎發展出來的「費恩曼圖」。雖然今天的學生都是學習費恩曼的方法，然而許文格的方法在當時可是一面倒地受到物理界的青睞。有趣的是，沒過多久，就有人指出雖然這兩種方法表面看來完全不同，但是許文格與費恩曼的方法存在著一一對應的關係，無怪乎它們總是給出相同的答案!更令人吃驚的是，在二戰的時候日本年輕物理學家朝永振一郎也發展出一套與許文格相近的方法。許文格，費恩曼與朝永振一郎三個人因此在1965年一起獲得諾貝爾獎。請各位看官聽阿文娓娓道來這段科學史上激勵人心的故事吧！

在三零年代由狄拉克，海森堡，包立以及費米等人所建構的量子場論雖然解決了長期以來對所謂物質與光的雙相性的困擾，在量子場論中，物質如電子以及傳播作用力的媒介如光子都放在一個統一的架構下，而且如果限定在最低階的散射振幅的計算時，如康普頓散射或是電子散射等都得可以到滿意的答案，但是只要一算到高階的微擾效應的話，就會出現發散的積分！上一回阿文已經簡單地介紹了其中一項會發散的高階效應：「真空極化效應」，另一個嚴重的發散則是來自於電子。這個效應是來自電子放出再吸收任意能量與動量的「虛」光子(所謂虛光子指的是它的動量與能量並不滿足E²=m²c⁴+c²p²這個關係。) 換個角度可以把它看成是電子加速時受到先前自己放出的電磁場的影響而改變加速度的效應。一般將此效應稱之為電子的「自身能」。此外還有一個類似的效應，發生在電子在發出光子再吸收光子的過程之中與另一個光子作用。這個效應被稱為「頂點修正"(vertex correction)」。真空極化效應是相對性量子力學發展出來以後才能設想的新效應，但是電子的「自身能」的問題，其實在電動力學的發展中早就出場了，最簡單的例子就是一顆均勻帶電的球狀粒子的靜電場能就是與其半徑成反比，所以一顆點狀帶電粒子的靜電場能就發散了。二十世紀初羅倫茲與大數學家彭加略都嘗試建立一個「電子理論」，他們甚至嘗試解釋電子的質量與電量為何是特定的數值(當時電子是惟一被發現的基本粒子)。羅倫茲與彭加略都曾假設電子的質量完全都是從自身的電磁場反過來作用在自身的電荷上而產生的，彭加略還寫過一篇文章叫"La fin de la matière"(The end of matter)(1906)呢! 不過這些有趣的想法後來都被放棄了，但是羅倫茲的電動力學將電子的質量區分成力學質量與電磁質量這個作法深深影響了同樣也是荷蘭物理學家的H. A. Kramers。(H. A. Kramers 當年是波爾的頭號助手，對量子力學的發展也很有貢獻，可惜在最後關頭被師弟海森堡給後來居上了。這段故事阿文會另寫一篇。)話說當狄拉克等人在發展量子電動力學時，Kramers 一直不以為然，因為他深深信服波爾的「對應原則」，換言之，量子理論在特定極限下應該給出古典的結果。而狄拉克等人的理論完全沒有注意到電子的自身力的問題。所以Kramers 一直嘗試企圖寫下一個古典有內部結構的電子模型，然後將它量子化之後，再將與結構有關的部分消去。但是他一直沒有成功。但是他相信將電磁質量與力學質量相加之後，發散可以消失，因為電磁質量算出來是發散的量，只要力學質量也是發散的量，兩個發散的量相減有可能是有限的!聽起來雖然令人錯愕，但是無人能直接量到那個與電磁作用無關的「力學質量」，因為電子的電磁場永遠與電子的電荷「長相左右」，所以也不算是"天方夜譚"啦。Kramers把這一過程取名字叫(renormalization)就是因為他相信只要重新定義Hamiltonian 的兩個參數：電子質量與電子的電量，將發散的效應吸收進這兩個參數，就可以解決發散的問題了。

另一方面，在1934年包立的助理Victor Weisskopf 曾利用狄克發明的電子海理論去推算電子的自身能而得到對數的發散，相較於原先古典理論的線性發散是一大進步，(順便一提，狄拉克方程式會產生負能量解，造成許多問題，所以狄拉克假設負能量的能階都被填滿了，稱之為電子海，負能量的電子要是被激發到正能量的能階，電子海就出現一個「缺口」，看起來就像是個帶正電的「粒子」與電子一同被生成，這個帶正電的「粒子」的質量與電子一模一樣。) 然而發散的理論終究是完全沒有預測能力的。所以量子電動力學一直無法得到物理界的認同。當大戰陰影逐漸接近時，理論物理學家都投身於與戰爭相關的研究工作，Victor Weisskopf 跑到美國還參與了曼哈頓計畫。量子電動力學的發展自然停頓了一陣子，但是戰爭結束後，理論物理學家馬上面臨了新的挑戰，量子電動力學再一次成了眾所矚目的問題了，是哪些新的挑戰呢?

說來有趣，新的實驗發現都是拜二戰期間快速發展的微波技術所賜，而且都是由哥倫比亞大學的拉比研究團隊成員發現的，其中一項是是由Polykarp Kusch 和 Henry Michael Foley 發現電子的g 值並不是狄拉克方程式所給出的值2，而是2.00244±0.0067。g值是粒子的磁偶矩與角動量之間的比值。另一項則是由Willis Lamb 與 Robert C. Retherford 第一次量到氫原子能階中，2S_1/2 與 2P_1/2 這兩個能階並不像狄拉克方程式所預測那樣簡併在一起，前者比後者高了4.372x10^-6 電子伏特，換算成頻率則是1057MHz。這兩項效應雖然都非常小，卻是第一次顯明了狄拉克方程式無法精準地描述電子的電磁性質，所以引起物理學家的注意。這正是Shelter Island 會議的背景。Shelter Island 會議在1947年的六月二日開始，與會的除了有歐本海默，拉比，Weisskopf(現在是MIT教授)，Willis Lamb 以及Kramers 之外，還有Hans Bethe，Edward Teller，Gregory Breit，George Eugene Uhlenbeck 這些老前輩，年輕一輩的只有許文格和當時還不太出名的理查‧費恩曼，此外費恩曼的老師 John Archibald Wheeler 跟大數學家John von Neumann 也都參與了這次的盛會。這一次的會議最出風頭的莫過於Willis Lamb 了，他在會中第一次公開了他的實驗結果，拉比也在會中介紹了Kusch的實驗結果，第二天則換理論學者上場，Kramers 與 Weisskopf 分別介紹他們先前的結果與他們的看法，第三天則是討論與介子理論相關的議題，特別是Robert Marshak 提出之前發現的渺子並非介子，並懷疑真正的介子尚未被發現。(沒多久 π介子就被發現了!) 這個會議在六月四日結束，但是它的影響卻非常地巨大。首先是Hans Bethe 在回程的火車上利用Kramers 的想法，用非相對性量子力學算了自由電子與束縛在氫原子中的電子的自身能的差，雖然這兩者的自身能都是發散的積分，但是它們的差卻是有限的，而且這個差與電子隨能階不同而不同！而這個不同就足以來解釋原本簡併的兩個能階會產生能量差。Bethe 的計算本質上是非相對論性的，他估計高能量光子的貢獻是與虛光子最高的能量成對數的關係，照理說最高能量應該是無限大，但是Bethe很隨意地取了一個能量上限，mc² (m 是電子的質量)，卻神奇地給出1040MHz的答案!(當時的實驗值是1057 MHz!) 這個令人訝異的成功很快就傳到其他與會者的耳中。許多人躍躍欲試，尤其是年輕的費恩曼最為積極，很快地他就發展出一套獨特的方法來計算各種散射振幅，這個方法是建立在相對性量子力學，特別是把入射粒子與散射粒子當作平面波，而光子與電子的交互作用以頂點(vertex)來表達，而量子電動力學的發散項對應的就是所謂的圈圖(Loop diagrams)。這套方法現在已經成為研究生學習量子場論的標準教材，當時卻沒有人看得懂，這位年輕學者葫蘆裡賣的是什麼藥。相形之下，孰悉正則量子化場論的許文格倒是老神在在，Shelter Island 會議結束後許文格回到波斯頓與戰時結識的Clarice Carrol小姐結婚，然後渡蜜月去了。九月份許文格才回到哈佛，不過顯然他胸有成竹，因為兩個月後在華府的喬治華盛頓大學由Edward Teller 與著名的宇宙學家George Gamow 主辦了一次會議，時間是1947年的十一月十三日到十午日，許文格在會中就發表了他有關電子磁偶矩的最新計算結果。底下的聽眾有歐本海默和費恩曼。順帶一提的是這一次會議的聽眾中出現了一位新人，Freeman Dyson，他來自英國，當時拿Commonwealth Fellow 在康乃爾大學跟Hans Bethe 做研究，當時才二十四歲。當時應該沒有人料到，不多久他也將成為這場龍爭虎鬥中重要的一員吧。

1974 年6月Shelter Island 會議的合影。（由左自右）Isidor Rabi , Linus Pauling, John Van Vleck, Willis Lamb, Gregory Breit, Duncan MacInnes, Karl Darrow, George Uhlenbeck, Julian Schwinger, Edward Teller, Bruno Rossi, Arnold Nordsieck, John von Neumann, John Wheeler, Hans Bethe, Robert Serber, Robert Marshak, Abraham Pais, Robert Oppenheimer, David Bohm, Richard Feynman, Victor Weisskopf, Herman Feshbach. （Photograph courtesy of AIP Emilio Segrè Visual Archives, Marshak Collection.）

他的論文在年底送到Physical Review 的手上，這是一篇只有一頁的論文，文中給出電磁輻射作用修正後的磁偶矩與修正前的比值是1.001162，與實驗值完全相符! 緊接著，隔年的一月底美國物理年會在紐約市哥倫比亞大學召開，會議時間是一月二十九日到三十一日，這次許文格受邀發表他的量子電動力學的成果。他的演講排在最後一天，他在演講中講述了他如何利用不斷使用正則變換將發散的部分孤立起來，再重新定義電子的電荷與質量，最重要的是他給出了Lamb 位移以及電子的g值都與實驗相當吻合!這場演講造成了大轟動，在聽眾的要求下，許文格在下午時重覆講了兩次!這在美國物理年會的歷史上是絕無僅有的記錄了。但是此時許文格的計算公式還不是明顯地符合相對論性的計算，戰前的量子場論通用Hamiltonian Formulation，一開始的公式就必須選擇特定的座標系，這不表示理論本身不滿足相對不變性，然而一般來講也無法判斷計算的結果與座標系的選擇是否有關。許文格從戰時計算電磁波的經驗知道，他必須要發展出明顯符合相對論不變性以及規範不變性的計算架構來計算電子的磁偶矩以及Lamb shift 才能算是大功告成。但是許文格只花了三個月不到就完成了這個乍聽之下不可能的艱鉅任務!

1948年三月三十日在歐本海默的安排下，眾多世界頂尖的物理學家如波爾，狄拉克，Walter Heinrich Heitler，Eugene Wigner 以及Gregor Wentzel等二十八位來到賓夕法尼亞州一個叫Pocono的地方參加一次特別的會議。在這次的會議中許文格介紹他的新的計算架構，從頭到尾完全符合相對論不變性與規範不變性，主要的改變是他將原本定義在同一個時間的毀滅與創生算子的對易關係改成定義在四維時空中一個「空間類(space-like)」的超平面上。許文格這次的講演與三個月前一樣，令人印象深刻，許多人都留下當時的筆記，甚至連大物理學家費米也不例外！(許文格後來將他的工作整理成三篇文章，分別是Quantum Electrodynamics (I)(量子電動力學(一): 共變公式)，Quantum Electrodynamics II: Vacuum polarization and self energy (量子電動力學(二):真空極化與自身能) Quantum Electrodynamics (III) The electromagnetic properties of the electron-radiative corrections to scattering (量子電動力學(三): 電子的電磁性質，散射的輻射修正)。這三篇陸續登在Physical Review上。阿文記得當年當兵時隨身帶著這三篇論文，睡覺時放在枕頭下，整整讀了兩年!說實話，從沒看過這麼多方程式仿佛在跳芭蕾舞一樣!)

在許文格演講之後，費恩曼也上台介紹他的「費恩圖」的作法，但是聽眾們對他的演講反應與對許文格的演講的反應大不相同! 像是狄拉克就一直追問：你的結果是么正的嗎? Teller 則是咬住費恩曼的作法不滿足包立不相容原理，從頭反對到底，波爾一聽到「路徑」就頻頻蹙眉，跟費恩曼大談測不準原理呢。如果許文格的演講讓大家頻頻點頭，那麼費恩曼的演講則是讓聽眾們大搖其頭。七十年後的今天很難想像，當時的物理學家可以接受許文格一波又一波的方程式，而對「簡單」的費恩曼圖卻是如此的大惑不解，無法接受，不過費恩曼最有力的辯護就是他幾乎得到與許文格一模一樣的答案!惟一的差異是Lamb shift的結果中，許文格的答案多了一項，就是對應到「真空極化」效應。因為在費恩曼最早的計算中，這個效應沒有被包含進來，即光子與正負電子對作用的效應。誠如在上一篇曾提到許文格在歐本海默那裡接觸過這類反應，所以許文格正確地沒把它排除。事實上到今天，教費恩曼圖時，遇到費米子迴圈要附上一個負號這件事，還是要用一般的量子場論的算子語言才交代得清楚。有趣的是許文格與費恩曼的Lamb shift的結果其實都犯了一個一模一樣的錯誤，反倒是Weisskopf 和他在MIT的學生Bruce French 先前用不明顯符合相論不變性的舊式算法算的結果才是正確的，但是Weisskopf當時對自己的結果沒有把握，再三檢查都找不到問題，直到幾個月後，費恩曼與許文格才找到他們犯了一個錯誤，但是此時Norman Kroll 和 Willis Lamb 類似的文章已經登在Physical Review 了!許文格和費恩曼為什麼會犯一模一樣的錯誤呢?這是因為在明顯符合相對不變性的計算中，必須先假設讓光子帶一個質量λ，計算的最後讓λ趨近於零，但是質量不為零的粒子有非橫向的極化分量，這一個微妙處是許文格與費恩曼一開始都沒注意到的地方，Weisskopf 與French的文章當然最後也發表了，然而最先得到Lamb shift正確結果的頭銜卻硬生生地飛了，只能扼腕長嘆了。

許文格大概做夢也沒有想過，就在大戰期間，有一小群日本學者也在構思一套明顯符合相對不變性的量子場論。在哥倫比亞大學的美國物理學會的演講後，歐本海默告訴許文格，日本的朝永振一郎在1943年就寫下明顯符合相對不變性的電子場方程式了(朝永稱之為super-many-time theory)！由於戰爭的關係，歐本海默直到1946年才知道朝永的工作。但是朝永當時顯然還沒辦法克服發散的問題。但是在讀到Bethe關於Lamb shift的論文後，朝永很快就追了上來，他特別回頭去研究歐本海默的學生Sidney Michael Dancoff 在1939年有關電子自身能的論文，發現了一處錯誤，改正之後他得到了有限的結果! 1948年歐本海默邀請他將他們的工作成果寄到Physical Review 發表，不過在這篇文章中朝永的團隊犯了一個錯誤，造成光子質量不為零，歐本海默看了之後指出這個錯誤並附在文末。沿著之前Dancoff 的做法，他們很快地在1948年九月他也得到了Lamb shift以及電子磁偶矩的正確結果。值得一提的是朝永在阿文開講的『理研的故事之浴火重生的鳳凰』曾經提過他，他是仁科芳雄的得意門生，日後當另外為他撰文來介紹他。

雖然Lamb shift以及電子磁偶矩都得到完美的解釋，然而這兩種方法到底有什麼關係? 為什麼它們看起來南轅北轍卻總是得到一模一樣的結果呢? 這個謎題最後還是由之前提到的Freeman Dyson 在康乃爾大學跟Bethe 作研究。他跟費恩曼同在康乃爾，是當時少數搞得懂費恩曼在做什麼的年輕人，在花了一番功夫苦讀朝永振一郎的文章以及許文格的演講筆記(當時還沒有寫成論文發表)之後，他終於了解這兩個做法其實存在著一一對應的關係，關鍵在於他將朝永-許文格方程式的解寫成一個以電子光子交互作用的Hamiltonian 的依時排序乘積(Time-ordering product)的展開式，這些Hamiltonian 正是電子與光子的創生與毀滅算子的乘積，而費恩曼圖其實就對應於這些算子乘積的真空期望值，所以這個展開式的每一項對應到特定的「費恩曼圖」!更進一步，我們只要寫得出任何一個量子場系統的Hamiltonian，我們就可以找到相應的規則來畫"費恩曼圖"，不限於量子電動力學，但是有兩點要注意，第一，這個對應只適用於自由粒子相互散射的過程，無法拿來算束縛態，第二，這個展開式是否數學上有意義完全取決於耦合係數的值，萬一粒子之間作用力很強，費恩曼圖的作法就沒有意義了。

1955年，William Lamb 與 Polykarp Kusch 得到諾貝爾獎的肯定，十年之後許文格與費恩曼，還有朝永振一郎一起分享諾貝爾的榮耀，但是對他們三人而言，量子電力學的成功都只是他們輝煌事業的起點，尤其許文格在之後的二十年，對於量子場論以及粒子物理有許多了不起的貢獻，這些就留給阿文下一回繼續開講了！敬請期待! Ate breve! Obrigado!

參考資料:
(一) 中文 英文 日文 德文 維基相關條目
(二) J. Mehra and K.A.Milton: Climbing the mountain
(三) Selected paper s on Quantum Electrodynamics edited by J. Schwinger
(四) H.A.Kramers, between tradition and revolution by M. Dresden
(五) QED and the men who made it by S.S. Schweber
(六) Early Quantum Electrodynamics: A Sourcebook by Arthur I. Miller
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