蘋果樹下的牛頓與萬有引力定律

你相信「占星學」嗎？假設火星（質量 6.4×10²³ kg）運行到最接近地球的時候（距離 8×10¹⁰ m），剛好有一位新生嬰兒（質量 4 kg）出生，此時負責的婦產科醫生（質量 75 kg）與嬰兒相距 0.3 m。試問，是火星還是婦產科醫生對這位新生嬰兒產生較大的萬有引力？

記得是在小學三或四年級的自然課，有一天，老師在開始上課之前，問了我們一個問題：「請問是太陽繞著地球轉，還是地球繞著太陽轉？」當時我心中覺得這個問題真是太簡單了，答案再明顯不過了，於是不假思索地成了全班第一個舉手的小朋友，勇敢地站起來跟老師與同學說：「太陽繞著地球轉」，結果惹來全班哄堂大笑，當時我不明究裡，不知道這個答案的笑點在哪裡？多年後，我才知道，當時我應該是那個少數在家沒有預習課本的學生！


地心說與日心說，從哥白尼在1543年發表《天體運行論》之後開始分家，後續的科學發展，包括伽利略、克卜勒、牛頓等人的貢獻，讓日心說取得優勢，成為科學思想的主流。然而，在自然課本之外的「日常生活」裡，托勒密的地心說並沒有消失不見，仍然存在大家熟悉的「占星學」裡，也就是說，在有很多人的心裡，太陽與五大行星，都還是繞著地球旋轉的！ 

 

 

萬有引力與「距離的平方」成反比

在1686年時，人類已經累積了很多關於月球與各個行星運行的觀測資料。但對於造成這些行星運動背後的作用力，卻還沒有一個明確的認識。在這一年，牛頓寫了《自然哲學的數學原理》，為解開這些天體運動的背後的謎團，提供了一把鑰匙。


首先，根據慣性定律，他推論必定有個作用力作用在月球上，否則它會以等速直線運動的方式離開地球，而不是以圓形軌道繞行地球。由此，他也推理存在於地球與月球之間的作用力是個吸引力。


其次，牛頓認為存在於地球與月球之間的吸引力，也存在於太陽與其它行星之間。讓牛頓作此猜想如此的理由是，地表上的所有物體，無論是在平地或是高山上，都會往下掉落，而且具有加速度。根據牛頓第二運動定律 (F=ma )，向下掉落的物體必然受有外力作用，而這個外力的來源顯然就是地球。


從當時已知的幾個數據來看：在地表附近物體掉落的重力加速度為9.8 m/s²，月球繞地球作圓周運動的向心加速度是0.00272 m/s²。比較一下這兩個加速度大小：

 我們發現，如果蘋果與月球都受到地球的吸引力，那麼這兩個吸引力的大小相差了3600倍。

再看另外一組數字：月球與地球的平均距離為384,000 km，而地球的半徑大小為6380 km，這也是蘋果樹上的蘋果與地心的距離。兩相比較：

$$ \frac{384000}{6380} = 60.2 \approx 60 $$

也就是說，從與地心的距離來看，月球是蘋果的60倍，而所受到的萬有引力大小只有三千六百分之一 ()。由於月球與地球之間的距離很遠，蘋果的大小與地球半徑相比也是微不足道，因此這三者可視為是「質點」之間的關係。牛頓由此大膽的推論，萬有引力的大小與距離的平方成反比關係：

$$ F \varpropto \frac{1}{r^2}$$
 
這就是那個著名傳說，牛頓在蘋果樹下所得到的啟發的主要內容。


重的東西掉落得比較快？

物體都會往下掉落，這不是什麼新鮮事。與輕的東西相比，重的東西會掉得比較快，似乎也很自然，因為與掉落的石塊相比，羽毛總是輕飄飄地慢慢著地。西元前四世紀的希臘哲學家亞里斯多德首先闡述了這個想法：物體掉落的速度由重量所決定，物體愈重，下落的速度愈大。亞里斯多德的理論影響深遠，在其後的兩千多年裡，人們普遍認同他的觀點。


一直到1638年，伽利略出版了《關於兩門新科學的對話》（Dialogues Concerning Two New Sciences，簡稱《新科學對話》），在書中，他化身為薩爾維亞蒂 (Salviati)，代表新科學的科學家，在對談之中，依照亞里斯多德學說的邏輯提出論述：「假設較重的大石頭掉落的速度較快，較輕的小石頭掉落速度較慢。若把兩個石頭綁在一起，原本掉落速度較快的石頭會受到較慢石頭的阻滯，而較慢的石頭則會受到較快石頭的促進，最終的速度會介於原先二者的速度之間。」


在信奉亞里斯多德學說的對談人辛普里修 (Simplico) 認同這個論述之後，伽利略又反問：「當兩塊石頭綁在一起之後，會成為一個更重的大石頭，此時它應該有更快的速度，而不應該被輕的石頭影響而減慢速度。」就這樣，以子之矛，攻子之盾，伽利略很明顯的點出了亞里斯多德學說裡的矛盾之處，讓辛普里修感到一頭霧水。


以我們今日熟悉的語言來說就是：物體掉落的速度不是由它們的重量所決定。自由落體是以等加速度向下掉落；如果忽略空氣阻力不計，從相同高度掉落的兩物體會同時著地，而且著地前瞬間的末速度也會相同。


關於這個現象的實驗證據，最讓大家印象最深刻的應該是「比薩斜塔實驗」。這個實驗出現在伽利略的學生為他撰寫的傳記裡，不過它的真實性在科學史上有些爭議，很多學者認為它只是一個假想實驗。根據歷史記載，荷蘭數學家斯特芬 (Simon Stevin) 是第一個完成此類實驗的人，他在1586年出版的實驗報告中描述，他在台夫特 (Delft) 新教堂 (Nieuwe Kerk) 的塔頂，以重量相差10倍的2個鉛球，完成了這個實驗。在時間上，比伽利略首次討論重力問題早了3年，比伽利略開始研究落體運動早了18年。


在近代，阿波羅15號的太空人史考特 (David Scott)，於1971年8月2日在沒有空氣的月球表面，使用一把鐵鎚和一根羽毛重複了這個試驗，證明並讓地球上的電視觀眾親眼看到了這兩個物體同時掉落在月球表面上（註一）。


另一個有名的實驗是在2014年時，由英國廣播公司第二台BBC Two製作的《我們的宇宙》(Human Universe)，主持人考克斯 (Brian Cox) 造訪美國太空總署 (NASA) 位於俄亥俄州的一處基地，那裏有著全世界最大的真空室，用以模擬太空船在外太空時的狀況。在關閉艙門之後，以3個小時的時間，把室內30噸的空氣（體積約23000 m³）抽到大約只剩下2克。在移除空氣的干擾後，藉由同時釋放懸掛在空中的羽毛和保齡球（圖一），展示重力的本質。結果與伽利略在1638年書中的推論一致：保齡球與與羽毛同時著地！
 

 

為什麼輕與重的物體會「同時」著地？

雖然我們已經親眼目睹，在移除空氣阻力的干擾之後，重量不同的物體，的確會同時著地，但是，為什麼會這樣呢？誠如在《新科學對話》書中的辛普里修所發出的疑問：「你的討論實在令人讚歎，但是我仍然覺得很難相信一個小彈丸會和一個大炮彈同樣快地下落。」


要理解這個現象背後的原因，需要透過牛頓第二運動定律（加速度定律）：物體的加速度，與所受外力成正比，與本身質量成反比。質量較大的物體，雖受到較大的重力吸引，但也因慣性較大因而有較小的加速度，兩相抵銷之後，在地表自由掉落的物體加速度大小與質量無關。也就是說，所有的物體，無論質量多寡，在地表附近只受重力影響而掉落時，都具有相同的加速度大小，稱為重力加速度。


第一個測量出重力加速度的人是伽利略，約在1590年時，他利用斜面與三角函數，測量並推理出重力加速度大小約為 9.8 m/s²。


根據牛頓第二運動定律，我們定義了力的單位1牛頓 (N) 為使質量1 kg的物體產生加速度1 m/s²的作用力大小。根據這個定義，如果我們拿起質量1 kg 的砝碼，然後鬆手讓它掉落到地上，在這個掉落的過程中，砝碼的加速度大小為9.8 m/s²，由於砝碼只受有重力作用，因此這個重力的大小等於9.8 N。在日常生活中，我們說這個砝碼重量為1公斤重 (kgw)，而這就是「1公斤重等於9.8牛頓」(1kgw=9.8N ) 的道理（圖二）。若想要心算或方便估計的話，可以用近似值10來替代9.8，也就是說：1公斤重等於10牛頓，或是1牛頓等於100克重，約為1瓶養樂多的重量。
 

萬有引力與「質量乘積」成正比

在蘋果樹下，牛頓除了理解到萬有引力與「距離的平方」成反比之外，他也理解到萬有引力與質量有關。理由就是剛剛關於重量的討論，很顯然，質量愈大的物體，受到的重力吸引愈大。


根據牛頓第三運動定律（作用與反作用定律）：如果地球對某物體有作用力，無論是蘋果或是月球，這個物體也會對地球有一個反作用力。根據對稱關係，牛頓推論：重力的大小會同時正比於地球質量 ( m_E) 與該物體質量 ( m_o )，亦即

牛頓進一步檢視其它行星繞日運行的軌道，他發現讓行星維持軌道運行所需的向心力大小，也與距離平方成反比，這讓他相信，重力也存在於太陽與其它行星之間。而且，如果重力存在月球與地球之間，也存在於太陽與行星之間，為什麼不會存在於其它物體之間呢？


因此，牛頓把這個吸引力推廣到「所有」具有質量的物體之間，故稱為「萬有引力」：任何兩質點之間都彼此互相吸引，吸引力的大小與兩質點的質量乘積成正比，而與它們之間的距離平方成反比，作用力方向沿著兩質點的連線上。
 

 式中 m₁與 m₂分別為兩質點的質量，r為兩質點間的距離，G為萬有引力常數。這就是牛頓的萬有引力定律 (Law of Universal Gravitation) 。



幫地球量「體重」的卡文迪西

在牛頓提出他的萬有引力定律超過100年之後，一直到1798年，才由英國科學家卡文迪西 (Henry Cavendish) 透過扭擺（如圖三）測量出萬有引力常數G的大小：他以絲線懸吊1.8 m長的木棍，在其兩端各有一個直徑2 英寸 (51 mm) ，重為1.61英磅 (0.73 kg) 的小鉛球。另有兩個直徑12英寸 (300 mm) ，重為348 英磅 (158 kg) 的大鉛球分別放在距離小鉛球約9英寸 (230 mm) 的位置處，各自以懸掛裝置架著 ，藉由絲線旋轉的角度測得鉛球之間的重力大小。


附帶一提的是，這個實驗對精密度要求非常高，為了避免空氣擾動的影響，卡文迪西把整個裝置放進一個大木箱裡，再一起放到自己家裡的一個密閉棚內，自己則以望遠鏡，透過在這個密閉棚上的兩個小洞，觀察扭擺轉動的角度。

 

使扭秤旋轉的力非常小，大約只有小球重量的五千萬分之一 (1⁄50,000,000)，約為1.7×10^-7 N。這個實驗精度，在後續近百年的時間裡，沒有人能超過。以18世紀的工藝條件而言，卡文迪西能完成這樣精密的實驗真是一個偉大的成就。


如今科學界接受的萬有引力常數值為

 
這個數值的物理意義之一是，我們可以藉此求得地球的質量 ( M_E)。假設你的質量是50 kg，你的體重為490 N，也就是你所受到的萬有引力大小，由於地球的半徑是 6380 km，把這些數值代進牛頓的萬有引力定律：

 

經過簡單的移項運算之後可得地球的質量 。以現代中文的計數方式，一個億表示有8個零，所以地球的質量約為「六億億億公斤」。在國際單位制詞頭 (SI prefixes) 裡10²⁴是「佑」(Yotta)，所以地球的質量約為「5.98佑公斤」 (5.98 Yotta Kg) 。


從西元前三世紀古希臘人測量出來地球的半徑之後，中間經過牛頓的理論，再到卡文迪西精確地測量出萬有引力常數，人類經過了兩千多年，才知道我們身處的地球質量有多少！



結語：科學的「預測」能力？

回顧整個關於萬有引力定律的推理，牛頓其實很深刻地運用了他自己的三大運動定律：從第一運動定律（慣性），他推理出重力是一個吸引力；從第二運動定律（加速度），包含重力加速度與向心加速度、地球半徑與月地距離等數據，他推理出重力與距離的平方成反比的關係；從第三運動定律（作用與反作用），他推理出重力與質量乘積成正比的關係。牛頓把這些思考，濃縮成一條簡潔而優美的數學式：

這條數學式，除了能讓我們知道地球的質量之外，還能掌握月球、行星、太陽甚至包括星系等天體運行的規則。例如，在1845與1846年時，英國的亞當斯 (John Adams) 與法國的萊威利埃 (Urbain Le Verrier) 兩位天文學家，只靠著鉛筆、白紙與牛頓的重力定律，各自分析天王星的攝動現象，不約而同得出相同的結論，而柏林天文台在收到萊威利埃的信件後，依照他的說明，不到半小時，就發現了海王星！之後，對於天王星攝動現象的進一步分析，還引導了冥王星的預測與發現，最終由美國亞利桑那州的羅威爾天文台於1930年觀測到。


「占星學」或許可以預測出人的性格與命運，然而牛頓的「萬有引力」卻能預測出托勒密模型中並不存在的海王星與冥王星。這樣的「預測」能力，怎不叫人讚嘆？



附錄：自由落體實驗相關影片

1. 阿波羅15號的「鐵鎚與羽毛落地實驗」: https://youtu.be/oYEgdZ3iEKA
2. Brian Cox 造訪世界最大的真空室，進行自由落體實驗：https://www.bbc.co.uk/programmes/p02985m0 
3. 卡文迪西實驗示意影片：https://youtu.be/Ym6nlwvQZnE?t=10

作者：蔡坤憲
St John’s College Hamilton 物理教師
sam9117@gmail.com