薇爾莉特能不能在湖面上踏水而行?

    說到2018年冬番動畫讓人印象深刻的作品，就會想到紫羅蘭永恆花園了。這部京都動畫公司的全力之作，有著感人的故事，和每一幕都能當螢幕桌布般精緻的作畫。如同電影為了追求戲劇性張力，總是要犧牲一些事實一樣，紫羅蘭永恆花園為了唯美的畫面，也只好違背一些物理了。

    在動畫第七集有一幕，女主角薇爾莉特在湖邊撐著一把小洋傘，向著湖中央快跑後跳起來，落下時，在平靜的湖面上踩著漂浮的樹葉，奔跑了三步後才摔到水裡 (話說薇爾莉特這麼做是有劇情的原因，她不是頭殼壞掉(也許吧))。這一段稍有常識的人就可以看出來是超自然現象(難道江湖人稱”鐵掌水上飄”4ni??)，但是薇爾莉特在動畫中的體能表現跟超人差不多，所以我們還是算算她是不是真的能做到水上飄。

圖一  蜻蜓點水的薇爾莉特（圖片來源 https://i2.kknews.cc/SIG=3v2hpai/ctp-vzntr/1521768698354ro71234p21.jpg）

    不過，在流體上的運動是很難精確計算的(所以說這篇文章將會從頭到尾一直在假設與概算)。幸好從2013年的搞笑諾貝爾獎裡就是研究人在水上奔跑的的條件[1]。因此，我們從文章的內容知道要在水面上跑，須符合(如圖二):

J_SLAP+J_STORKE≥J_MIN

 J_SLAP是拍擊水面的反作用力所產生的衝量大小，J_STORKE指水阻力與浮力所生的衝量大小，而J_MIN是可支撐人體的衝量大小。很明顯地，

J_MIN=Ft=Mgt_STEP

Mg是體重，而tSTEP是兩踏步的間隔時間。從動畫中可以看出薇爾莉特武藝高強，所以就假設踏步時間短到跟人的反應一樣快，大概0.1秒吧。如果薇爾莉特體重50公斤，這樣子J_MIN大概是50牛頓∙秒。

接下來看看J_SLAP。拍擊樹葉使得本來靜止的水得到向下的衝量，而反作用力給予腳一樣大小的向上衝量。這樣J_SLAP可以寫為

JSLAP=mv

m和v是被拍擊出去的水質量和速率，m可以寫成水的體積乘上密度，所以J_SLAP可以寫成

J_SLAP=Ahρv

 h為踩下的入水深度，ρ是水的密度1000 kg/m³，A是薇爾莉特踩下的樹葉面積，而速率v平均來說約是她踩在水面上的速率量值u_SLAP的一半[2]。而入水深度利用這個平均速率的概念估算，大約等於: 

所以

另一項J_STORKE是:

D(t)是水的阻力，可寫成

D=1/2C_DAρu²(t)

 C_D是阻力係數，平板C_D的大約是1.2左右[3]。為了簡化計算，這裡u(t)利用之前所提到的平均速率 1/2u_SLAP帶入。而Aρght是浮力項，h(t) 以入水深度 h 帶入，t’大約就是踏步的時間t_STEP。。整理一下可得到  

圖二

    寫到這裡，我們總算只需要知道剩下的兩個參數A、u_SLAP便可計算。就動畫中看來，薇爾莉特是用腳尖踩在樹葉上，樹葉面積A大概跟1/4個鞋底差不多大，因此估計是20平方公分。u_SLAP就用薇爾莉特的起跳速率來帶入吧。她跳到湖中央差不多就是最高點的時候(動畫可看出她不再繼續上升)，可以從她的身高161公分，推算出這個高度H大概是2.4公尺[4]。如果不考慮空氣阻力，那她在湖邊跳起的速率可利用拋體運動算出。

V₀大約是7m/s，而在水上的起跳速率大概不會超過這數值，所以我們就用u_SLAP=7m/s。
 

圖三 薇爾莉特離湖高度(灰線)約是身長(白線)的1.5倍，可推算出上升了2.4公尺。(圖片來源 http://psgels.net/2018/02/24/violet-evergarden-07/）

  把全部參數帶入計算後，得到了

J_SLPA+J_STORKE=12.3+(14.7+3.5)=30.5

 這比需要的衝量J_MIN]還小。所以如所想像的情況一樣，會直接掉進水裡，(不過其實也很接近J_MIN了)[5]。

不過也許京阿尼廚[6]會質疑說:”薇爾莉特在劇中有撐了把洋傘，這把傘也會給一些幫助吧?” 所以只好再次計算這把傘可以提供多少升力。下落在水面時，傘會給予一些阻力[7]，所造成的衝量仍然是:

傘的形狀大概是個半圓空心球，而半圓空心球C_D為1.4[3]，A為傘的截面積，若以直徑1公尺來計算，A大概是0.8平方公尺。ρ是空氣的密度1.3 kg/m3，u²(t)是薇爾莉特抓著傘踩在水面的速率。把參數和u²t、t’以1/2u_SLAP與t_STEP帶入，可得到

J_STORKE= 0.9

加上這個實在是沒有太多用處。所以，依我們的估算，動畫第七集的場景看來不容易發生，除非薇爾莉特踩的樹葉夠大，或是她體重非常輕，才會有機會。(雖然對二次元的妹子體重是不用太認真的)

對二次元的妹子體重是不用太認真的(圖片來源 https://i.imgur.com/YEzcyqP.jpg ）

 [1]關於2013搞笑諾貝爾獎的介紹，可參考泛科學http://pansci.asia/archives/69731

論文為http://journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371/journal.pone.0037300

[2]一個持續能夠在水上跳起來的流程大概是這樣: 一開始腳先以向下拍擊水面的速率u_SLAP接觸水面上樹葉，然後減速到零，最後又蹬著樹葉以原本拍擊的速率向上跳起，所以是個u_SLAP→0→u_SLAP的過程，而總時間花了tSTEP。但是每個時刻下踢出的水，其質量和速率都不一樣，是個太複雜的變化，所以只好用最大加最小除以二的平均值 1/2u_SLAP來做近似，而減速到零所花的時間也估計為1/2t_STEP 

[3]這裡假設踩到的樹葉是個圓平面，而且輕又超硬不會變形。C_D可從這裡查到:S. F. Hoerner, Fluid-Dynamic Drag; Second Edition (1965). page 3-17. 平板與空心半球(逆流)的C_D 為1.17與1.42

[4]目前跳高世界記錄為2.45公尺https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B7%B3%E9%AB%98 又跳高不會是動畫這種立得直挺挺的姿勢。所以薇爾莉特可說已超越人體極限了XD

[5]可能是因為在水上更難施力的緣故，注釋[1]的論文中，實驗上拍擊水面的速率平均來說是2.5m/s。這裡刻意取最大值的速率7m/s來算看看。

[6]可說是極推崇京都動畫的粉絲的簡稱。

[7]當然因為傘有阻力，所以也會對我們之前u_SLAP的估算有影響。利用

D=1/2C_DAρu²(t)

u(t)即便以7m/s帶入， D也只有35牛頓，影響不大 (重力有500牛頓)。

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　　——史蒂芬．史匹柏（Steven Spielberg）

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