愛因斯坦的真正革命性思想－－光量子假說
- 科學家隨筆
- 撰文者：作者：張峻輔／高雄中學物理科教師
- 發文日期：2021-05-24
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愛因斯坦在1905年提出光量子（light quantum，註一）假說，認為電磁輻射是由在空間中離散分佈的光量子組成，一舉解決包含光電效應在內，難以用古典電磁波理論理解的光學現象，從而榮獲1921年諾貝爾物理學獎。光量子概念啟發法國物理學家德布羅意（Louis de Broglie）提出物質波假說，而薛丁格（Erwin Schrödinger）是在物質波假說上建立起量子力學的第二種理論框架－－波動力學，因此光量子的提出，在量子力學發展史上具有承先啟後的關鍵作用。本文回顧愛因斯坦如何由黑體輻射問題入手，在進一步拓展普朗克的量子概念後，提出光量子的革命性思想。
普朗克的黑體輻射定律
量子論起源於普朗克1900年12月14日的開創性論文。在分析黑體輻射強度與頻率的關係式時，普朗克發現只要假射空腔諧振子發射（或吸收）之電磁輻射能，具有一個與自身振動頻率v 成正比的最小數值
，且振子與輻射之間的能量交換E僅限於 的整數倍，即 
、
、
、…如此便可推導出他兩個月前所發表的黑體輻射公式，該公式是參考維因定律（Wien's law，1896），與黑體輻射的最新實驗數據擬合而得，但其理論基礎不明（對普朗克推導方法有興趣之讀者請參見延伸閱讀1）。
上述最小輻射能與振動頻率的關係可寫成
，其中h稱為普朗克常數。普朗克由黑體輻射的實驗數據擬合出
，只比現代值少1%，不僅如此，根據他的黑體輻射公式他還推算出波茲曼常數k之值，得到 k=1.346X10-23J/K，比現代值少2.5%。波茲曼常數是奧地利物理學家波茲曼（Ludwig Boltzmann）在研究氣體分子的混亂程度與其具有的狀態數目時引入，但史上首次得到波茲曼常數的準確數值得歸功於普朗克，普朗克為此非常得意地在他1918年的諾貝爾獎得主演說中特別提及此事。
普朗克雖點燃了量子革命的導火線，但他本人對於能量子假說不置可否，堅持認為它只是方便進行數學推導的權宜之計，本身不具備任何實質的物理意義，充斥於空腔內之電磁輻射完全由馬克士威的電磁波理論描述，輻射僅在與振子進行能量交換時，因組成空腔材料的原子具有尚未明瞭的內在屬性，導致其吸收與放射過程呈現量子化現象。事實上，普朗克本人在研究黑體輻射問題時，對於原子的存在與否始終保持懷疑態度，他僅簡單提及空腔振子與原子可能有所關聯，但小心翼翼地避免他的諧振子模型與任何原子理論牽扯上關聯。
量子的概念在提出的五年內，沒有引起學界的支持或反對的聲浪，大多數物理學家（包括普朗克本人在內）不重視此一違反古典物理能量連續性的開創思維，究其原因乃是黑體輻射牽涉到構成空腔的大量諧振子的集體行為，而研究多粒子系統的集體行為必須使用統計力學，但後者當時尚處於發展階段。統計力學是在堅信原子論的物理學家波茲曼手中發展起來的一門學問，用以預測由大量原子或分子組成之多粒子系統的熱力學性質，但有關原子是否真實存在，在科學家之間普遍存有疑慮。當時的化學家雖已將原子、分子視作物質的基本組成，然而物理學家對於原子的存在與性質等還是存有相當大的疑慮，包括普朗克在內許多物理學家，質疑奠基於原子論的統計力學方法，因此量子化的概念是潛伏在黑體輻射有關大量振子的統計問題中隱而未顯，物理學家相信待原子的性質被進一步揭示，或相關統計理論更完善之時，自然能理解普朗克的量子假設。
光量子概念
真正點亮量子革命火炬的是愛因斯坦。愛因斯坦看到普朗克處理黑體輻射問題的手法，為了避免與真空的電磁波理論直接衝突，用了極不自然的諧振子吸收、放射能量子的假設，因此當他進一步得知德國物理學家雷納（Philipp Lenard，1902）有關光電效應的實驗結果也無法用電磁波理論解釋時，再一次肯定潛藏於他內心的想法－－有觀光的微觀理論勢必與現有的電磁學定律大相逕庭。在他寫給女友米列娃（Mileva Marić，後來成為他的第一任妻子）的信中難以掩飾他的興奮情緒，愛因斯坦先是與她分享雷納的論文，才關心女友未婚懷孕的事實。
愛因斯坦的光量子論文發表於1905年六月，題為《關於光的產生與轉化的一個啟發性觀點》（On a Heuristic Point of View about the Creation and Conversion of Light，論文的中譯文請見延伸閱讀2），他此前已就該問題思考達四年之久。愛因斯坦在稱為奇蹟年的1905年共發表四篇劃時代的論文，第一篇以光量子解釋光電效應等實驗現象，第二篇是關於布朗運動的解釋，用統計力學為懸浮液滴中的微粒運動提供理論基礎，進而確認原子的存在，第三篇否定牛頓力學的絕對時間與絕對空間，創立了狹義相對論，第四篇延伸上篇的思想，提出著名的質能等價關係。其中在提出光量子假說的第一篇論文是他自評為真正革命性的思想，其中的開創性思維甚至超越狹義相對論，在他同年給友人的信裡介紹他這四篇論文時，他特別強調第一篇是「關於輻射與光的能量性質，非常具革命性。」而他從未用這麼強烈的字眼形容相對論，愛因斯坦一開始就確定光量子概念是超越相對論的思想，他也曾對蘇黎世聯邦理工學院（ETH Zürich）的同事說過：「我用比相對論還多的腦力在量子論上」。
熟悉相對論歷史發展的讀者就知道，狹義相對論的誕生只是時間早晚的問題，當時荷蘭物理學家勞倫茲（Hendrik Lorentz）已發表相對論中的「勞倫茲變換」公式，法國數學家龐加萊（Henri Poincaré）也闡述了「相對性原理」對力學與電磁學定律是普遍成立的想法，只差放棄光傳遞介質－－以太（ether），以及「光速恆定」等關鍵性思想是由愛因斯坦率先提出。因此相對論的出現是水到渠成的必然，如愛因斯坦所言是馬克士威、勞倫茲等人發展的電動力學理論的自然延伸。然而有關光的量子理論的確是愛因斯坦跨出的革命性步伐，當時沒有物理學家看到黑體輻射公式背後隱含光量子的概念，甚至在光量子問世後，普朗克、波耳（Niels Bohr）等物理學家還群起攻之，認為光量子點狀、分離的能量狀態與用連續函數表達的電磁波互相扞格，而後者已在干涉、繞射等諸多光學實驗獲得證實，具有無法反駁的正確性。
愛因斯坦清楚知道他的光量子概念的立論基礎並不嚴謹，所以採用「啟發性」這樣的字眼為論文下標。光量子來自於對普朗克黑體輻射定律的觀察，是一種嘗試性的假設，但對於解決當前所面臨的有關熱輻射與光電效應等問題具有指引作用。事實上，愛因斯坦在這篇論文之後還花費許多時間，試圖將光量子概念整併進古典電磁學，希冀從馬克士威方程式自然地得出光量子，卻都鎩羽而歸，他發現無論如何都無法從電磁方程式推導出光量子的數學表達。真正的電磁場量子化工作直到量子力學建立後才由狄拉克（Paul Dirac）於1927年完成，而光子其實就是量子化後的電磁場的激發態，電磁場能量與光子頻率和光子數目息息相關。
愛因斯坦在論文開始就旗幟鮮明的點出問題核心，
「物理學家用於描述氣體與其他有質量物體使用的理論概念，與描述真空電磁過程的馬克士威理論，存在根本形式上的差異。對於一個儘管大量但數目有限的原子與電子構成的物體，我們認為其狀態完全由這些粒子的位置與速度決定；但對於確定空間中的電磁狀態，我們卻必須使用連續的空間函數，亦即有限多的變數不足以完全確定空間的電磁狀態。」
愛因斯坦著眼的的正是「離散的粒子」與「連續的波動」這兩個完全對立的觀點。愛因斯坦繼續說明按照當前物理學的觀點，有質量的物質其能量可表示成組成該物的原子和電子之能量總和，換言之，有質量物質的能量是不能被無限分割成任意多、任意小的部分；然而根據馬克士威的理論，點光源發出的光線能量是連續地分佈在一個不斷增加的體積中，因此當考慮光與物質原子之間的產生與轉化過程時，無可避免將出現矛盾與衝突。愛因斯坦在論文引言的第三段便直接建議應當考慮光的微粒理論，
「當從一個點光源發出的光線在傳播時，其能量不是連續分佈在一個不斷增加的體積中，而是由有限數目的能量子所組成，在空間中是定域的，在運動中無法被分割，只能當作整體被吸收或發射。」
光量子論文
光量子論文分為九節，第一節的標題是「關於黑體輻射理論的困難」。愛因斯坦首先根據統計力學中的能量均分定理（equipartition theorem），推算空腔中的電磁輻射在各個頻率上具有的狀態數目（或稱為自由度）。一根兩端被固定的琴弦所能演奏出的頻率是有限的，琴弦的波形必須恰好在兩端點沒有振動，形成節點。這種有固定邊界的波就是駐波（standing wave），而在一定長度的琴弦上，駐波的波長有其上限，最長不能超過弦長兩倍，因為頻率是波長的倒數，故駐波的頻率會有對應的下限，稱為基頻或第一諧音。
黑體輻射的空腔有一固定體積，當達到熱平衡時，輻射便在其中形成駐波，空腔輻射的頻率雖有下限，但在高頻段部分，其對應到的駐波數目卻會越來越多，即自由度數目將隨頻率增加。詳細計算表明輻射強度與頻率的平方成正比，也就是說頻率越高，輻射越強，這會導致幾乎所有能量集中在紫外光以上的高頻波段。如果考慮所有頻率的輻射能量總合，則黑體輻射的總能量將趨近於無窮大！這顯然是一個荒謬的結果。事實上早在五年前，英國物理學家瑞立勳爵（Lord Rayleigh，1900）在他計算黑體輻射強度與頻率關係的論文中，就發現了這個結果，導致他不得不引入一個無來由的附加因子，用以消除高頻段（短波長區間）的輻射強度，並且強調他的推導只適用於低頻段（長波長區間）。1911年，荷蘭物理學家埃倫菲斯特（Paul Ehrenfest）把輻射強度在紫外光波段的無限發散形象化的命名為「紫外災難（ultraviolet catastrophe）」（圖一）。
愛因斯坦並不知道瑞立五年前的論文，他在論文的第一節獨立推導出瑞立公式，但在出現紫外災難後他並沒有像瑞立一樣，試圖找一個抑制輻射在紫外光波段發散的附加因子，而是直接宣布這個結果表明古典電磁學與統計理論存在重大缺陷，需要尋求新的思考方式。
仔細考察紫外災難的來源就來自於能量均分定理。在空腔中，因為高頻率、短波長的波存在更多駐波模式，而能量均分定理認為處於平衡態的系統在每個自由度上應等分到相同能量，如此一來，能量便會越發集中於高頻段，從而發生紫外災難。普朗克提出的量子公式聯繫了輻射頻率與能量，一個高頻率的能量子遠比低頻率的能量子擁有較大能量，當同樣的總能量均分到高頻率和低頻率的駐波模式時，會導致高頻率能量子的數目遠少於低頻率能量子的數目，如果黑體溫度不夠高，以至於達不到激發一個高頻能量子所需能量，則高頻自由度上便不會存在任何能量子，也就不會對輻射頻譜造成任何貢獻，這些高頻自由度彷彿被「凍結」一般，從而不會參與到能量均分之中，輻射頻譜的曲線也就不會在高頻率、短波長區間無止盡上升，也就避免了紫外災難。
普朗克當初不相信統計力學與能量均分定理，他堅信空腔中的電磁波已由電磁學方程式精確描述，沒有必要使用不可靠的統計方法去計算輻射的駐波數目，於是他轉而去計算能量大小不同的諧振子數目與諧振子的熵（entropy，註二），反而沒有遇到紫外災難的問題，卻也誤打誤撞得到量子概念，愛因斯坦後來評論普朗克的工作有歪打正著的幸運成份。
論文的第二節標題為「關於普朗克基本量子的建立」。在這裡愛因斯坦簡短地提及普朗克的黑體輻射公式，承認該公式符合現有一切實驗數據，並說明該公式的長波長、高能量密度極限就是前一節得到的瑞立公式，愛因斯坦比較兩公式的係數得到亞佛加厥數（Avogadro constant），大小與用其他方法得到的數值一致。值得注意的是，愛因斯坦在第二節開頭就直接點明
「下面我們會證明普朗克給出的基本量子，在某種程度上，和他所提出的黑體輻射理論是獨立的。」
愛因斯坦相信普朗克公式的正確性，但對於普朗克對能量子的物理詮釋卻不認同，愛因斯坦認為量子的概念不侷限於空腔振子對輻射能的吸收與放射上，而是一個關於輻射的普適概念。空腔振子只能以量子為單位吸收與發射電磁波，不是因為這些振子有不為人知的內在屬性，而是因為自由空間的電磁能的確分佈於離散的光量子上。綜合前兩節的分析，愛因斯坦認為，對於輻射能量密度越高、波長越長的區間，古典電磁波理論越適用（符合瑞立公式）；反之，對於輻射能量密度越低、波長越短的區間，電磁波理論會逐漸失效（符合維因定律）。
因此從第三節「關於輻射的熵」開始，愛因斯坦轉而研究高頻率、短波長的普朗克公式（即維因定律）。他綜合維因定律描述的高頻率輻射能密度公式，以及熱力學定律有關熵與溫度的表達式，去計算輻射熵S與空腔體積V之間的依賴關係。1872年波茲曼在原子論的基礎上，發表關於熵的統計詮釋，他認為一個熱力學系統的熵S正是對其內部允許之微觀運動狀態數目 的計數，熵值越大代表系統內部的微觀狀態數目越多，粒子運動越混亂無序。他進一步猜測S會與 的對數值成正比，普朗克率先將其表示成 ，而對於氣體分子模型，狀態數目 又與氣體佔據的空間體積V以及氣體分子數n相關。
愛因斯坦計算輻射熵S與空腔體積V的關係後，赫然發現S與V的關聯與普通的理想氣體統計規律一致（圖二）。換言之，只要承認對於輻射能密度低的單頻光，它們的行為表現像是彼此獨立、互不相關的能量子，就可合理詮釋高頻率、短波長的普朗克公式。數學分析表明這些能量子的數目n即為輻射總能E除以單一能量子的能量 ，而 的大小恰好滿足普朗克提出的量子公式 ，其中 為輻射頻率，分析過程完全不需額外引入空腔諧振子模型。
愛因斯坦認為對普朗克黑體輻射定律最直接簡單的詮釋，就是承認空腔中的輻射能分佈於離散性的點狀光量子上，他進一步建議我們應當去研究光在產生與吸收的過程中，是否會顯示光是由這些離散的能量子組成，畢竟這個猜測性的想法是由黑體輻射公式推演而來，沒有其他嚴格的理論基礎，於是接下來他列舉可供佐證他的光量子想法的三個實驗事實，其中就包括雷納的光電效應實驗。由此可見，提出光電效應實驗的解釋並不是愛因斯坦思考光量子假說的主要動機，黑體輻射問題才是催生光量子概念的引信（註三）。
實驗驗證
愛因斯坦從論文的第七～九節，列舉了三個當時無法以電磁波理論解釋的光學實驗，它們分別是：光致發光的斯托克斯法則（Stokes’ rule）、光電效應實驗、紫外光電離氣體實驗。
1852年，愛爾蘭物理學家斯托克斯爵士（Sir George Stokes）研究螢石和鈾玻璃的螢光現象，他認為螢光是礦石吸收了入射光之後二度發射的光，某些礦石甚至會吸收不可見的紫外光，轉化為波長較長的可見光發射而出。礦石吸收入射光後因內部機制導致發射出不同波長的光可以理解，但為何就是不能發出波長更短的光呢？對於光致發光的斯托克斯法則，愛因斯坦以光量子假說輕易解決這個問題，因為礦石在吸收一個光量子，再發射另一個光量子的過程中，能量只會損失不可能增加，所以礦石發射的螢光能量必然低於入射光能量，對應到的光量子頻率較小、波長較長。
另外紫外光電離氣體實驗表明短於特定波長的紫外光可使氣體分子電離，以空氣而言，此波長
約為190 nm。愛因斯坦假設當氣體被紫外光電離時，一個氣體分子總會完整吸收一個光量子用以游離電子，因此理論上，氣體分子所需要的電離能不會比一個被有效吸收的光量子能量大，由此得到一個空氣分子的電離能至少達 
，與觀測值相符。
光量子對光電效應結果的解釋在物理教科書已有介紹，筆者不再此贅述，僅特別說明一點。愛因斯坦在論文的第八節解釋光電效應時，提出了關於光電子的截止電壓 Ｖs與入射光頻率 v 關係的光電方程式，改用現代符號表達可寫為：
，其中e為電子帶電量，W稱為金屬的功函數（work function），代表電子脫離金屬表面所需之最小能量。他藉由該式預測各種金屬的 Vs－ v 圖皆為直線，其斜率為普朗克常數與基本電荷之比值 h/e，與被照金屬的種類無關，但要測量不同頻率的色光引起的微弱光電流是極為困難的工作，因此當時尚無法檢驗光電方程式的預測（註四）。
美國物理學家密立坎（Robert Millikan）極力反對光量子假說，在長達10年的一連串改良實驗後－－主要是消除金屬表面因氧化作用造成的對偵測光電流的影響，他在1916年宣布實驗結果證實愛因斯坦光電方程式的預測，且由 Vs－ v 圖直線斜率得出的普朗克常數與之前黑體輻射公式的擬合值相同（圖三）。這是歷史上首次針對普朗克常數的準確測量，且是藉由與熱輻射完全無關的光學實驗，意義非凡。但即便如此，密立坎仍寫道：「愛因斯坦的光電方程式......在我看來，目前不能認為它建立在任何令人滿意的理論基礎上，即使它非常精確地表示光電效應的行為。」
後續發展
除了密立坎，波耳也反對光量子概念，在其1913年發表的氫原子模型中，波耳堅持電子在穩定態軌道之間躍遷時，發出之電磁輻射是遵從馬克士威方程式的電磁波，而非愛因斯坦所言之光量子，即使兩能階的能量差滿足普朗克的量子公式。愛因斯坦則堅持自己的看法，繼續深化光量子概念，在1909年於奧地利薩爾茲堡（Salzburg）召開的德國物理學年會上發表論文《關於輻射本質和組成的觀點演變》（On the Development of our Views concerning the Nature and Constitution of Radiation，對該文有興趣之讀者請見延伸閱讀3），在不預設光是電磁波或光量子的前提下，從普朗克黑體輻射定律出發，反過來討論空腔內的光壓，結果發現光壓來源於兩個獨立的數學項，其中之一是古典波動理論所描述的電磁輻射壓，而另一項則是將輻射視為由能量子組成之光子氣體的壓力。愛因斯坦首次指出光的波動性與粒子性是同時存在，缺一不可的性質，即所謂光的「波粒二象性（wave-particle duality）」。如果空腔溫度極高，普朗克黑體輻射定律會化簡為瑞立定律，此時光壓來源於電磁波的貢獻；反之，如果空腔溫度極低，普朗克定律化簡為維因定律，此時光壓來自於像氣體分子一般的光子撞擊器壁的壓力。
延續該篇論文的思想，愛因斯坦在1916年由波耳的原子能階模型出發，將能階躍遷視為物質中的原子與周遭的電磁場之間的相互作用，大量的原子處於電磁場之中，它們透過不斷地發射和吸收電磁輻射而達到熱平衡。愛因斯坦通過計算發現，能與物質交互作用從而達到熱平衡的電磁場，就是一個符合普朗克定律的黑體輻射場，這是史上首次不依靠空腔諧振子模型嚴格推導出普朗克定律。在該篇論文，愛因斯坦明確指出光子除了攜帶能量之外，還兼具有動量，與電子、質子一樣是實際存在的物理粒子，不僅僅是為了數學推導而假想出來的虛設之物，而此篇論文也成為日後發展雷射的理論基礎。
光量子的決定性證據來自1923年的康普頓散射（Compton scattering）實驗，美國物理學家康普頓（Arthur Compton）以X射線照射石墨，偵測被石墨電子散射的X光波長，發現波長有增加的成分，顯示入射的X光子能量減少，轉移給彈開的石墨電子，整個過程遵守能量與動量守恆定律，證實光子的確是帶有能量和動量的微觀粒子（圖四）。康普頓的實驗說服多數反對光子概念的物理學家，他們逐漸接受光子的想法，僅餘波耳仍頑強地抗拒光子學說，他與研究助手們試圖以電磁波與電子的交互作用構築一個能解釋康普頓散射的模型，甚至不惜放棄動量與能量守恆定律。波耳認為建立在巨觀世界中的能量守恆定律僅是大量粒子參與反應的統計平均結果，對於個別粒子而言無須滿足，但後續有關單顆光子與電子的康普頓散射實驗否決了波耳的想法。波耳的理論不到一年時間就以失敗收場，愛因斯坦在給友人的信中對該理論的評價是：「如果理論物理的未來是波耳這樣的做法，那我寧願改行去當街頭修鞋匠或賭場發牌員。」
在普朗克發表量子論的數十年時間裡，幾乎無人嚴肅看待量子論與古典物理學之間的衝突，在黑體輻射、固體比熱、光電效應…等問題上，物理學家們仍致力於用古典物理學解釋觀測結果。普朗克在提出量子論後，又花了多年時間試圖將普朗克常數納入古典物理學架構，卻都徒勞無功，他遲至1919年才在文章中完全接受愛因斯坦的光量子說。在那個古典物理學與量子論並存的年代，僅有愛因斯坦與波耳等少數幾位物理學家，清楚認知到量子概念是無法在古典物理學的框架中藉由邏輯推理產生，它是一個有別以往的嶄新思想，尤其是愛因斯坦，憑藉著他的敏銳觀察與非凡直覺，從黑體輻射出發衍生出光量子概念，藉由光量子輕易地解釋光電效應等令人費解的實驗現象，之後更融合波耳的能階模型完善光子學說，為日後量子力學的誕生鋪墊了道路。回顧歷史，我們可以說保守的普朗克是名譽上的量子物理之父，是一位不情願的先行者，他雖吹響了量子革命的號角，但真正高舉量子大旗衝鋒陷陣的，恰恰是後來最反對量子力學發展的愛因斯坦。
註釋
註一：光量子即今所稱「光子（photon）」。光子一詞首見於美國化學家路易斯（Gilbert Lewis）1926年給《自然》編輯的信。從技術上講，路易斯是在描述一種輻射能的載體，而不是光本身，因此他的光子概念並不同於愛因斯坦的光量子，但是「光子」一詞後來被廣泛用於指稱愛因斯坦的光量子而沿用至今。本文主旨回顧愛因斯坦光量子假說的提出，仍維持使用「光量子」術語。
註二：熵為1865年德國物理學家克勞修斯（Rudolf Clausius）引進於熱力學中的物理量，用以表示系統對外作功能力退化的一種指標。entropy在希臘字根中的涵義為「內在的變動」，反映的是系統無法作功的能量總數。當孤立系統的總熵增加時，其整體作功能力也相應地下降，熵的大小被視為系統可用能量退化的指標。
註三：愛因斯坦許多偉大的思想創見多是來自於對舊有理論的考察，發現其和日常經驗存在衝突，再運用他個人強大的物理直覺猜測出自然運作的規律，從而建立完整的理論體系，而當時既有的實驗觀測有時僅僅作為檢測其理論的利器，最知名的例子就是相對論的出現。
註四：雷納對光電效應實驗結果的解釋是，光波並沒有給予電子任何能量，位在金屬內之電子本來就已具備這些能量，光波扮演的角色是觸發器，一觸即發地選擇並釋出束縛於原子內的電子，他稱此為「觸發假說（triggering hypothesis）」，但當時有關陰極射線的實驗並不支持觸發假說。雷納極力反對愛因斯坦的光量子論，在希特勒上台後他加入納粹黨，並多次在公開場合批評愛因斯坦，對於人們把愛因斯坦的名字與光電效應放在一起，雷納一直耿耿於懷。
延伸閱讀
1. 張峻輔，〈量子的開端－普朗克的黑體輻射研究〉，《科學月刊》，608期，2020.8.
2. 愛因斯坦著，崔豫笳譯，〈一個關於光的產生與轉換之啟發性看法〉，《物理雙月刊》，廿七卷五期，2005 .10 .
3. 維基百科英文翻譯，https://en.wikisource.org/wiki/Translation:The_Development_of_Our_Views_on_the_Composition_and_Essence_of_Radiation
普朗克的黑體輻射定律
量子論起源於普朗克1900年12月14日的開創性論文。在分析黑體輻射強度與頻率的關係式時，普朗克發現只要假射空腔諧振子發射（或吸收）之電磁輻射能，具有一個與自身振動頻率v 成正比的最小數值
，且振子與輻射之間的能量交換E僅限於 的整數倍，即 、、、…如此便可推導出他兩個月前所發表的黑體輻射公式，該公式是參考維因定律（Wien's law，1896），與黑體輻射的最新實驗數據擬合而得，但其理論基礎不明（對普朗克推導方法有興趣之讀者請參見延伸閱讀1）。上述最小輻射能與振動頻率的關係可寫成
，其中h稱為普朗克常數。普朗克由黑體輻射的實驗數據擬合出，只比現代值少1%，不僅如此，根據他的黑體輻射公式他還推算出波茲曼常數k之值，得到 k=1.346X10-23J/K，比現代值少2.5%。波茲曼常數是奧地利物理學家波茲曼（Ludwig Boltzmann）在研究氣體分子的混亂程度與其具有的狀態數目時引入，但史上首次得到波茲曼常數的準確數值得歸功於普朗克，普朗克為此非常得意地在他1918年的諾貝爾獎得主演說中特別提及此事。普朗克雖點燃了量子革命的導火線，但他本人對於能量子假說
不置可否，堅持認為它只是方便進行數學推導的權宜之計，本身不具備任何實質的物理意義，充斥於空腔內之電磁輻射完全由馬克士威的電磁波理論描述，輻射僅在與振子進行能量交換時，因組成空腔材料的原子具有尚未明瞭的內在屬性，導致其吸收與放射過程呈現量子化現象。事實上，普朗克本人在研究黑體輻射問題時，對於原子的存在與否始終保持懷疑態度，他僅簡單提及空腔振子與原子可能有所關聯，但小心翼翼地避免他的諧振子模型與任何原子理論牽扯上關聯。量子的概念在提出的五年內，沒有引起學界的支持或反對的聲浪，大多數物理學家（包括普朗克本人在內）不重視此一違反古典物理能量連續性的開創思維，究其原因乃是黑體輻射牽涉到構成空腔的大量諧振子的集體行為，而研究多粒子系統的集體行為必須使用統計力學，但後者當時尚處於發展階段。統計力學是在堅信原子論的物理學家波茲曼手中發展起來的一門學問，用以預測由大量原子或分子組成之多粒子系統的熱力學性質，但有關原子是否真實存在，在科學家之間普遍存有疑慮。當時的化學家雖已將原子、分子視作物質的基本組成，然而物理學家對於原子的存在與性質等還是存有相當大的疑慮，包括普朗克在內許多物理學家，質疑奠基於原子論的統計力學方法，因此量子化的概念是潛伏在黑體輻射有關大量振子的統計問題中隱而未顯，物理學家相信待原子的性質被進一步揭示，或相關統計理論更完善之時，自然能理解普朗克的量子假設。
光量子概念
真正點亮量子革命火炬的是愛因斯坦。愛因斯坦看到普朗克處理黑體輻射問題的手法，為了避免與真空的電磁波理論直接衝突，用了極不自然的諧振子吸收、放射能量子的假設，因此當他進一步得知德國物理學家雷納（Philipp Lenard，1902）有關光電效應的實驗結果也無法用電磁波理論解釋時，再一次肯定潛藏於他內心的想法－－有觀光的微觀理論勢必與現有的電磁學定律大相逕庭。在他寫給女友米列娃（Mileva Marić，後來成為他的第一任妻子）的信中難以掩飾他的興奮情緒，愛因斯坦先是與她分享雷納的論文，才關心女友未婚懷孕的事實。
愛因斯坦的光量子論文發表於1905年六月，題為《關於光的產生與轉化的一個啟發性觀點》（On a Heuristic Point of View about the Creation and Conversion of Light，論文的中譯文請見延伸閱讀2），他此前已就該問題思考達四年之久。愛因斯坦在稱為奇蹟年的1905年共發表四篇劃時代的論文，第一篇以光量子解釋光電效應等實驗現象，第二篇是關於布朗運動的解釋，用統計力學為懸浮液滴中的微粒運動提供理論基礎，進而確認原子的存在，第三篇否定牛頓力學的絕對時間與絕對空間，創立了狹義相對論，第四篇延伸上篇的思想，提出著名的質能等價關係。其中在提出光量子假說的第一篇論文是他自評為真正革命性的思想，其中的開創性思維甚至超越狹義相對論，在他同年給友人的信裡介紹他這四篇論文時，他特別強調第一篇是「關於輻射與光的能量性質，非常具革命性。」而他從未用這麼強烈的字眼形容相對論，愛因斯坦一開始就確定光量子概念是超越相對論的思想，他也曾對蘇黎世聯邦理工學院（ETH Zürich）的同事說過：「我用比相對論還多的腦力在量子論上」。
熟悉相對論歷史發展的讀者就知道，狹義相對論的誕生只是時間早晚的問題，當時荷蘭物理學家勞倫茲（Hendrik Lorentz）已發表相對論中的「勞倫茲變換」公式，法國數學家龐加萊（Henri Poincaré）也闡述了「相對性原理」對力學與電磁學定律是普遍成立的想法，只差放棄光傳遞介質－－以太（ether），以及「光速恆定」等關鍵性思想是由愛因斯坦率先提出。因此相對論的出現是水到渠成的必然，如愛因斯坦所言是馬克士威、勞倫茲等人發展的電動力學理論的自然延伸。然而有關光的量子理論的確是愛因斯坦跨出的革命性步伐，當時沒有物理學家看到黑體輻射公式背後隱含光量子的概念，甚至在光量子問世後，普朗克、波耳（Niels Bohr）等物理學家還群起攻之，認為光量子點狀、分離的能量狀態與用連續函數表達的電磁波互相扞格，而後者已在干涉、繞射等諸多光學實驗獲得證實，具有無法反駁的正確性。
愛因斯坦清楚知道他的光量子概念的立論基礎並不嚴謹，所以採用「啟發性」這樣的字眼為論文下標。光量子來自於對普朗克黑體輻射定律的觀察，是一種嘗試性的假設，但對於解決當前所面臨的有關熱輻射與光電效應等問題具有指引作用。事實上，愛因斯坦在這篇論文之後還花費許多時間，試圖將光量子概念整併進古典電磁學，希冀從馬克士威方程式自然地得出光量子，卻都鎩羽而歸，他發現無論如何都無法從電磁方程式推導出光量子的數學表達。真正的電磁場量子化工作直到量子力學建立後才由狄拉克（Paul Dirac）於1927年完成，而光子其實就是量子化後的電磁場的激發態，電磁場能量與光子頻率和光子數目息息相關。
愛因斯坦在論文開始就旗幟鮮明的點出問題核心，
「物理學家用於描述氣體與其他有質量物體使用的理論概念，與描述真空電磁過程的馬克士威理論，存在根本形式上的差異。對於一個儘管大量但數目有限的原子與電子構成的物體，我們認為其狀態完全由這些粒子的位置與速度決定；但對於確定空間中的電磁狀態，我們卻必須使用連續的空間函數，亦即有限多的變數不足以完全確定空間的電磁狀態。」
愛因斯坦著眼的的正是「離散的粒子」與「連續的波動」這兩個完全對立的觀點。愛因斯坦繼續說明按照當前物理學的觀點，有質量的物質其能量可表示成組成該物的原子和電子之能量總和，換言之，有質量物質的能量是不能被無限分割成任意多、任意小的部分；然而根據馬克士威的理論，點光源發出的光線能量是連續地分佈在一個不斷增加的體積中，因此當考慮光與物質原子之間的產生與轉化過程時，無可避免將出現矛盾與衝突。愛因斯坦在論文引言的第三段便直接建議應當考慮光的微粒理論，
「當從一個點光源發出的光線在傳播時，其能量不是連續分佈在一個不斷增加的體積中，而是由有限數目的能量子所組成，在空間中是定域的，在運動中無法被分割，只能當作整體被吸收或發射。」
光量子論文
光量子論文分為九節，第一節的標題是「關於黑體輻射理論的困難」。愛因斯坦首先根據統計力學中的能量均分定理（equipartition theorem），推算空腔中的電磁輻射在各個頻率上具有的狀態數目（或稱為自由度）。一根兩端被固定的琴弦所能演奏出的頻率是有限的，琴弦的波形必須恰好在兩端點沒有振動，形成節點。這種有固定邊界的波就是駐波（standing wave），而在一定長度的琴弦上，駐波的波長有其上限，最長不能超過弦長兩倍，因為頻率是波長的倒數，故駐波的頻率會有對應的下限，稱為基頻或第一諧音。
黑體輻射的空腔有一固定體積，當達到熱平衡時，輻射便在其中形成駐波，空腔輻射的頻率雖有下限，但在高頻段部分，其對應到的駐波數目卻會越來越多，即自由度數目將隨頻率增加。詳細計算表明輻射強度與頻率的平方成正比，也就是說頻率越高，輻射越強，這會導致幾乎所有能量集中在紫外光以上的高頻波段。如果考慮所有頻率的輻射能量總合，則黑體輻射的總能量將趨近於無窮大！這顯然是一個荒謬的結果。事實上早在五年前，英國物理學家瑞立勳爵（Lord Rayleigh，1900）在他計算黑體輻射強度與頻率關係的論文中，就發現了這個結果，導致他不得不引入一個無來由的附加因子，用以消除高頻段（短波長區間）的輻射強度，並且強調他的推導只適用於低頻段（長波長區間）。1911年，荷蘭物理學家埃倫菲斯特（Paul Ehrenfest）把輻射強度在紫外光波段的無限發散形象化的命名為「紫外災難（ultraviolet catastrophe）」（圖一）。
圖一：黑體輻射強度對波長的分布圖與相關理論曲線。瑞立的理論經京斯修正後，稱為瑞立－京斯理論，雖符合長波長段的實驗數據，但在短波長段卻顯現出輻射強度無限發散的紫外災難。維因理論符合短波長段數據，但在長波長段會逐漸偏離觀測值。唯有普朗克理論能與實驗數據完美符合。
愛因斯坦並不知道瑞立五年前的論文，他在論文的第一節獨立推導出瑞立公式，但在出現紫外災難後他並沒有像瑞立一樣，試圖找一個抑制輻射在紫外光波段發散的附加因子，而是直接宣布這個結果表明古典電磁學與統計理論存在重大缺陷，需要尋求新的思考方式。
仔細考察紫外災難的來源就來自於能量均分定理。在空腔中，因為高頻率、短波長的波存在更多駐波模式，而能量均分定理認為處於平衡態的系統在每個自由度上應等分到相同能量，如此一來，能量便會越發集中於高頻段，從而發生紫外災難。普朗克提出的量子公式聯繫了輻射頻率與能量，一個高頻率的能量子遠比低頻率的能量子擁有較大能量，當同樣的總能量均分到高頻率和低頻率的駐波模式時，會導致高頻率能量子的數目遠少於低頻率能量子的數目，如果黑體溫度不夠高，以至於達不到激發一個高頻能量子所需能量，則高頻自由度上便不會存在任何能量子，也就不會對輻射頻譜造成任何貢獻，這些高頻自由度彷彿被「凍結」一般，從而不會參與到能量均分之中，輻射頻譜的曲線也就不會在高頻率、短波長區間無止盡上升，也就避免了紫外災難。
普朗克當初不相信統計力學與能量均分定理，他堅信空腔中的電磁波已由電磁學方程式精確描述，沒有必要使用不可靠的統計方法去計算輻射的駐波數目，於是他轉而去計算能量大小不同的諧振子數目與諧振子的熵（entropy，註二），反而沒有遇到紫外災難的問題，卻也誤打誤撞得到量子概念，愛因斯坦後來評論普朗克的工作有歪打正著的幸運成份。
論文的第二節標題為「關於普朗克基本量子的建立」。在這裡愛因斯坦簡短地提及普朗克的黑體輻射公式，承認該公式符合現有一切實驗數據，並說明該公式的長波長、高能量密度極限就是前一節得到的瑞立公式，愛因斯坦比較兩公式的係數得到亞佛加厥數（Avogadro constant），大小與用其他方法得到的數值一致。值得注意的是，愛因斯坦在第二節開頭就直接點明
「下面我們會證明普朗克給出的基本量子，在某種程度上，和他所提出的黑體輻射理論是獨立的。」
愛因斯坦相信普朗克公式的正確性，但對於普朗克對能量子的物理詮釋卻不認同，愛因斯坦認為量子的概念不侷限於空腔振子對輻射能的吸收與放射上，而是一個關於輻射的普適概念。空腔振子只能以量子為單位吸收與發射電磁波，不是因為這些振子有不為人知的內在屬性，而是因為自由空間的電磁能的確分佈於離散的光量子上。綜合前兩節的分析，愛因斯坦認為，對於輻射能量密度越高、波長越長的區間，古典電磁波理論越適用（符合瑞立公式）；反之，對於輻射能量密度越低、波長越短的區間，電磁波理論會逐漸失效（符合維因定律）。
因此從第三節「關於輻射的熵」開始，愛因斯坦轉而研究高頻率、短波長的普朗克公式（即維因定律）。他綜合維因定律描述的高頻率輻射能密度公式，以及熱力學定律有關熵與溫度的表達式，去計算輻射熵S與空腔體積V之間的依賴關係。1872年波茲曼在原子論的基礎上，發表關於熵的統計詮釋，他認為一個熱力學系統的熵S正是對其內部允許之微觀運動狀態數目 的計數，熵值越大代表系統內部的微觀狀態數目越多，粒子運動越混亂無序。他進一步猜測S會與 的對數值成正比，普朗克率先將其表示成 ，而對於氣體分子模型，狀態數目 又與氣體佔據的空間體積V以及氣體分子數n相關。
愛因斯坦計算輻射熵S與空腔體積V的關係後，赫然發現S與V的關聯與普通的理想氣體統計規律一致（圖二）。換言之，只要承認對於輻射能密度低的單頻光，它們的行為表現像是彼此獨立、互不相關的能量子，就可合理詮釋高頻率、短波長的普朗克公式。數學分析表明這些能量子的數目n即為輻射總能E除以單一能量子的能量 ，而 的大小恰好滿足普朗克提出的量子公式 ，其中 為輻射頻率，分析過程完全不需額外引入空腔諧振子模型。
圖二：愛因斯坦發現光量子彼此獨立、互不相關的統計規律類似於理想氣體分子模型。
愛因斯坦認為對普朗克黑體輻射定律最直接簡單的詮釋，就是承認空腔中的輻射能分佈於離散性的點狀光量子上，他進一步建議我們應當去研究光在產生與吸收的過程中，是否會顯示光是由這些離散的能量子組成，畢竟這個猜測性的想法是由黑體輻射公式推演而來，沒有其他嚴格的理論基礎，於是接下來他列舉可供佐證他的光量子想法的三個實驗事實，其中就包括雷納的光電效應實驗。由此可見，提出光電效應實驗的解釋並不是愛因斯坦思考光量子假說的主要動機，黑體輻射問題才是催生光量子概念的引信（註三）。
實驗驗證
愛因斯坦從論文的第七～九節，列舉了三個當時無法以電磁波理論解釋的光學實驗，它們分別是：光致發光的斯托克斯法則（Stokes’ rule）、光電效應實驗、紫外光電離氣體實驗。
1852年，愛爾蘭物理學家斯托克斯爵士（Sir George Stokes）研究螢石和鈾玻璃的螢光現象，他認為螢光是礦石吸收了入射光之後二度發射的光，某些礦石甚至會吸收不可見的紫外光，轉化為波長較長的可見光發射而出。礦石吸收入射光後因內部機制導致發射出不同波長的光可以理解，但為何就是不能發出波長更短的光呢？對於光致發光的斯托克斯法則，愛因斯坦以光量子假說輕易解決這個問題，因為礦石在吸收一個光量子，再發射另一個光量子的過程中，能量只會損失不可能增加，所以礦石發射的螢光能量必然低於入射光能量，對應到的光量子頻率較小、波長較長。
另外紫外光電離氣體實驗表明短於特定波長的紫外光可使氣體分子電離，以空氣而言，此波長
約為190 nm。愛因斯坦假設當氣體被紫外光電離時，一個氣體分子總會完整吸收一個光量子用以游離電子，因此理論上，氣體分子所需要的電離能不會比一個被有效吸收的光量子能量大，由此得到一個空氣分子的電離能至少達 ，與觀測值相符。光量子對光電效應結果的解釋在物理教科書已有介紹，筆者不再此贅述，僅特別說明一點。愛因斯坦在論文的第八節解釋光電效應時，提出了關於光電子的截止電壓 Ｖs與入射光頻率 v 關係的光電方程式，改用現代符號表達可寫為：
，其中e為電子帶電量，W稱為金屬的功函數（work function），代表電子脫離金屬表面所需之最小能量。他藉由該式預測各種金屬的 Vs－ v 圖皆為直線，其斜率為普朗克常數與基本電荷之比值 h/e，與被照金屬的種類無關，但要測量不同頻率的色光引起的微弱光電流是極為困難的工作，因此當時尚無法檢驗光電方程式的預測（註四）。美國物理學家密立坎（Robert Millikan）極力反對光量子假說，在長達10年的一連串改良實驗後－－主要是消除金屬表面因氧化作用造成的對偵測光電流的影響，他在1916年宣布實驗結果證實愛因斯坦光電方程式的預測，且由 Vs－ v 圖直線斜率得出的普朗克常數與之前黑體輻射公式的擬合值相同（圖三）。這是歷史上首次針對普朗克常數的準確測量，且是藉由與熱輻射完全無關的光學實驗，意義非凡。但即便如此，密立坎仍寫道：「愛因斯坦的光電方程式......在我看來，目前不能認為它建立在任何令人滿意的理論基礎上，即使它非常精確地表示光電效應的行為。」
圖三：密立坎以納為金屬靶所得截止電壓 Vs與入射光頻率 v 關係圖。金屬鈉的底限頻率 v0=4.39X1014Hz（對應到波長683 nm的紅光），當光頻率 v 小於v0 將無法擊出光電子，而直線斜率為h/e亦符合光電方程式的預測。
後續發展
除了密立坎，波耳也反對光量子概念，在其1913年發表的氫原子模型中，波耳堅持電子在穩定態軌道之間躍遷時，發出之電磁輻射是遵從馬克士威方程式的電磁波，而非愛因斯坦所言之光量子，即使兩能階的能量差滿足普朗克的量子公式。愛因斯坦則堅持自己的看法，繼續深化光量子概念，在1909年於奧地利薩爾茲堡（Salzburg）召開的德國物理學年會上發表論文《關於輻射本質和組成的觀點演變》（On the Development of our Views concerning the Nature and Constitution of Radiation，對該文有興趣之讀者請見延伸閱讀3），在不預設光是電磁波或光量子的前提下，從普朗克黑體輻射定律出發，反過來討論空腔內的光壓，結果發現光壓來源於兩個獨立的數學項，其中之一是古典波動理論所描述的電磁輻射壓，而另一項則是將輻射視為由能量子組成之光子氣體的壓力。愛因斯坦首次指出光的波動性與粒子性是同時存在，缺一不可的性質，即所謂光的「波粒二象性（wave-particle duality）」。如果空腔溫度極高，普朗克黑體輻射定律會化簡為瑞立定律，此時光壓來源於電磁波的貢獻；反之，如果空腔溫度極低，普朗克定律化簡為維因定律，此時光壓來自於像氣體分子一般的光子撞擊器壁的壓力。
延續該篇論文的思想，愛因斯坦在1916年由波耳的原子能階模型出發，將能階躍遷視為物質中的原子與周遭的電磁場之間的相互作用，大量的原子處於電磁場之中，它們透過不斷地發射和吸收電磁輻射而達到熱平衡。愛因斯坦通過計算發現，能與物質交互作用從而達到熱平衡的電磁場，就是一個符合普朗克定律的黑體輻射場，這是史上首次不依靠空腔諧振子模型嚴格推導出普朗克定律。在該篇論文，愛因斯坦明確指出光子除了攜帶能量之外，還兼具有動量，與電子、質子一樣是實際存在的物理粒子，不僅僅是為了數學推導而假想出來的虛設之物，而此篇論文也成為日後發展雷射的理論基礎。
光量子的決定性證據來自1923年的康普頓散射（Compton scattering）實驗，美國物理學家康普頓（Arthur Compton）以X射線照射石墨，偵測被石墨電子散射的X光波長，發現波長有增加的成分，顯示入射的X光子能量減少，轉移給彈開的石墨電子，整個過程遵守能量與動量守恆定律，證實光子的確是帶有能量和動量的微觀粒子（圖四）。康普頓的實驗說服多數反對光子概念的物理學家，他們逐漸接受光子的想法，僅餘波耳仍頑強地抗拒光子學說，他與研究助手們試圖以電磁波與電子的交互作用構築一個能解釋康普頓散射的模型，甚至不惜放棄動量與能量守恆定律。波耳認為建立在巨觀世界中的能量守恆定律僅是大量粒子參與反應的統計平均結果，對於個別粒子而言無須滿足，但後續有關單顆光子與電子的康普頓散射實驗否決了波耳的想法。波耳的理論不到一年時間就以失敗收場，愛因斯坦在給友人的信中對該理論的評價是：「如果理論物理的未來是波耳這樣的做法，那我寧願改行去當街頭修鞋匠或賭場發牌員。」
圖四：康普頓散射示意圖。入射光子撞擊作為標靶之靜止電子，將部分能量、動量轉移給彈開電子，導致散射光子能量減少，波長增長。
在普朗克發表量子論的數十年時間裡，幾乎無人嚴肅看待量子論與古典物理學之間的衝突，在黑體輻射、固體比熱、光電效應…等問題上，物理學家們仍致力於用古典物理學解釋觀測結果。普朗克在提出量子論後，又花了多年時間試圖將普朗克常數納入古典物理學架構，卻都徒勞無功，他遲至1919年才在文章中完全接受愛因斯坦的光量子說。在那個古典物理學與量子論並存的年代，僅有愛因斯坦與波耳等少數幾位物理學家，清楚認知到量子概念是無法在古典物理學的框架中藉由邏輯推理產生，它是一個有別以往的嶄新思想，尤其是愛因斯坦，憑藉著他的敏銳觀察與非凡直覺，從黑體輻射出發衍生出光量子概念，藉由光量子輕易地解釋光電效應等令人費解的實驗現象，之後更融合波耳的能階模型完善光子學說，為日後量子力學的誕生鋪墊了道路。回顧歷史，我們可以說保守的普朗克是名譽上的量子物理之父，是一位不情願的先行者，他雖吹響了量子革命的號角，但真正高舉量子大旗衝鋒陷陣的，恰恰是後來最反對量子力學發展的愛因斯坦。
註釋
註一：光量子即今所稱「光子（photon）」。光子一詞首見於美國化學家路易斯（Gilbert Lewis）1926年給《自然》編輯的信。從技術上講，路易斯是在描述一種輻射能的載體，而不是光本身，因此他的光子概念並不同於愛因斯坦的光量子，但是「光子」一詞後來被廣泛用於指稱愛因斯坦的光量子而沿用至今。本文主旨回顧愛因斯坦光量子假說的提出，仍維持使用「光量子」術語。
註二：熵為1865年德國物理學家克勞修斯（Rudolf Clausius）引進於熱力學中的物理量，用以表示系統對外作功能力退化的一種指標。entropy在希臘字根中的涵義為「內在的變動」，反映的是系統無法作功的能量總數。當孤立系統的總熵增加時，其整體作功能力也相應地下降，熵的大小被視為系統可用能量退化的指標。
註三：愛因斯坦許多偉大的思想創見多是來自於對舊有理論的考察，發現其和日常經驗存在衝突，再運用他個人強大的物理直覺猜測出自然運作的規律，從而建立完整的理論體系，而當時既有的實驗觀測有時僅僅作為檢測其理論的利器，最知名的例子就是相對論的出現。
註四：雷納對光電效應實驗結果的解釋是，光波並沒有給予電子任何能量，位在金屬內之電子本來就已具備這些能量，光波扮演的角色是觸發器，一觸即發地選擇並釋出束縛於原子內的電子，他稱此為「觸發假說（triggering hypothesis）」，但當時有關陰極射線的實驗並不支持觸發假說。雷納極力反對愛因斯坦的光量子論，在希特勒上台後他加入納粹黨，並多次在公開場合批評愛因斯坦，對於人們把愛因斯坦的名字與光電效應放在一起，雷納一直耿耿於懷。
延伸閱讀
1. 張峻輔，〈量子的開端－普朗克的黑體輻射研究〉，《科學月刊》，608期，2020.8.
2. 愛因斯坦著，崔豫笳譯，〈一個關於光的產生與轉換之啟發性看法〉，《物理雙月刊》，廿七卷五期，2005 .10 .
3. 維基百科英文翻譯，https://en.wikisource.org/wiki/Translation:The_Development_of_Our_Views_on_the_Composition_and_Essence_of_Radiation