神奇的馬克斯威方程組：從發電機、相對論，到超穎材料

在大學的電機、物理，與光電相關科系裡，電磁學都是必修的科目。以電磁學為基礎，向各種理論面與應用面延伸，至少有電信工程、微波工程、高頻電路、天線理論、電動力學、相對論、量子場論、高能物理、微分幾何、光子晶體 (photonic crystals)、奈米光子學 (nanophotonics)、電漿子光學 (plasmonics)、超穎材料 (metamaterials) 等等。

       很難再找到其它的物理理論架構，能夠像電磁學這樣與這麼多領域的知識產生連結。事實上，電磁學的核心方程式只有四個，它們就是在 19 世紀時，由馬克斯威 (James Clerk Maxwell) 將前人的研究結合自己的理論思考，所寫下的電磁方程組，現在被稱為馬克斯威方程組 (Maxwell equations)。物理學家費曼 (Richard P. Feynman) 給予馬克斯威方程組非常高的評價，甚至認為它們在人類歷史上的重要性遠勝過美國的南北戰爭。他說：「從人類歷史的長遠視角來看——比如說，從一萬年後的視角來看——可以毫無疑問地認為，19世紀最重要的事件將被視為馬克斯威發現電動力學定律。相比之下，美國內戰將顯得微不足道，成為與這一重大科學事件相比的地方性小事。」以下我將跟讀者分享馬克斯威方程組對近代與當代物理的啟發，以及它在光電相關研究中所扮演的角色。

       馬克斯威方程組的四個方程式包含兩個描述散度 (divergence) 的方程式 分別被稱為電--高斯定律 (Gauss’s law for electricity) 與磁--高斯定律 (Gauss’s law for magnetism)；以及兩個描述旋度 (curl) 的方程式，被稱為法拉第感應定律 (Faraday’s law of induction) 以及修正的安培定律 (modified Ampere’s law)。以 E 與 B 分別表示電場與磁場，ρ 與 J 表示電荷密度與電流密度，則電與磁的高斯定律可表示為

$$\bigtriangledown \cdot E=\frac{\rho }{\epsilon _{0}},$$       $$\bigtriangledown \cdot \textbf{B}=0.$$        (1)

上式的左式來自庫倫定律 (Coulomb’s law)，基本上說的是電通量 (electric flux) 正比於產生這些電通量的電荷 (electric charge)，其中$$\epsilon _{0}$$是一個常數，被稱為真空的電容率 (permittivity)。右式暗示磁場沒有對應的磁荷 (magnetic charge)，幾何上來說這表示磁力線一定是封閉曲線。法拉第感應定律與修正的安培定律寫成

$$\bigtriangledown\times \textbf{E}=-\frac{\partial B }{\partial t},$$     $$\bigtriangledown \times \textbf{B}=\mu _{0}\epsilon _{0}\frac{\partial E}{\partial t}+\mu \textbf{J}.$$         (2)

左式說明變化的磁場會生出感應電場，右式說明電流或是變化的電場都會產生磁場。方程式中的 μ_0 是一個常數，被稱為真空的磁導率 (permeability)。右式中等號右邊的第一項來自馬克斯威的修正，在 “原版” 的安培定律中是沒有的。馬克斯威發現原版的安培定律會導致物理上不合理的結果，例如電容器不能充電。在加入了這個修正項後，不合理的結果就消失了。更驚人的是，將這個修正後的安培定律結合法拉第感應定律，會推導出電磁波的波動方程式。根據這個推出的波方程式，馬克斯威發現電磁波的傳播速率是$$c=\frac{1}{\sqrt{\mu _{0}\epsilon _{0}}}\approx 3\times 10^{8}/s$$，也就是真空中的光速。這促使馬克斯威假定光就是一種電磁波。馬克斯威沒有活著看到他預測的電磁波被實驗驗證，但這一發現開啟了以電磁學研究光學的新時代，並在後來的發展中取得了巨大的成功。

       嚴格說來，電磁學的核心方程式還包含以下這個被稱為羅倫茲力 (Lorentz force) 的方程式

$$\textbf{F}=q(\textbf{E}+v\times \textbf{B}).$$                     (3)

此公式表達一個電荷 q 在電磁場中所受的電磁力包含電力 qE 與磁力 qv×B，其中 v 是粒子 (電荷) 的運動速度。想像一個導體，在一塊靜止的磁鐵的附近移動。根據 (3) 式，此導體內的電荷會受到磁力的作用而產生一個感應電流。現在，若我們轉換到相對於導體靜止的坐標系，會看到磁鐵在運動，而根據 (2) 式左式的法拉第感應定律，會知道導體內因為外在磁場的變化而感應出了一個電場，而此電場導致了電流的產生。就結果論，此電流是相同的，但卻有兩種不同的解釋。1905 年，愛因斯坦根據上述的 “思想實驗” ，提出了狹義相對論的第一個假設：所有的自然定律 (包括電磁定律) 在不同的慣性坐標系中都有相同的形式。    事實上，如果進一步假定電磁波在真空的傳播不需要虛構的介質 (以太)，且真空電容率 ϵ_0 與真空磁導率 μ_0 在任意慣性系中都有相同的數值，就會導出狹義相對論的第二個假設：真空光速在任意慣性坐標系中都有相同的數值。當然，愛因斯坦並沒有以馬克斯威方程組在任意慣性系成立作為相對論的出發點，但馬克斯威方程組的上述特性啟發了愛因斯坦提出相對論，應該是無庸置疑的。

       當量子力學在上世紀 20 年代建立起來之後，人們很快就認識到，在主要是關於電子的量子力學之外，也需要建立關於光子的量子力學，才能給電子與光子的交互作用一個正確的量子力學描述。一個很自然的問題是：什麼是給光子使用的 “薛丁格方程式”？答案很簡單也很有趣：就是馬克思威方程組！不過，在描述光子的量子行為時，並不是以電場 E 以及磁場 B 為場變量，而是純量勢 (scalar potential) V 與向量勢 (vector potential) A，它們與電磁場的關係是

$$\textbf{E}=-\bigtriangledown V-\frac{\partial A}{\partial t}$$,     $$\textbf{B}=\bigtriangledown \times \textbf{A}.$$          (4)

利用物理學家發展出的量子化 (quantization) 程序，他們成功的建立了一套關於電子與光子交互作用的全量子理論，這就是量子電動力學 (quantum electrodynamics，簡寫 QED)。這可能是人類歷史上發展出的最精確的理論，對實驗結果的預測與精密實驗的測量結果的一致性可以符合到小數點後第八位。在這個理論裡，馬克斯威電磁場被描述為一個 U(1) 規範場 (U(1) gauge field)。電子波函數透過一些跟 V 與 A 有關的項而跟電磁場偶合起來，也就是它們之間有交互作用。根據狹義相對論， V 與 A 組合成一個四維時空中的四--向量 (4-vector)，它就是光子的 “波函數”，而光子是一個規範波色子 (gauge boson)。

       上世紀 50 年代，為了解釋強作用力之下質子與中子幾乎沒有差別，楊振寧與米爾斯 (Robert Mills) 合作，參考馬克斯威方程組，將原本的 U(1) 規範群 (gauge group) 推廣為 SU(2) 規範群，並將質子與中子視為只是同位旋 (isospin) 的兩種不同狀態。這個推廣後的理論被稱為非阿貝爾規範場 (non-abelian gauge field)，理論中出現了三種規範波色子，且它們彼此之間是有交互作用的，跟原本的光子不同。雖然這個理論在解釋強作用力上不是很成功，但是在後來與這個相似的理論架構變成了發展粒子物理標準模型 (standard model) 的基礎。藉著選擇適當的規範群，並引入自發對稱破缺 (spontaneous symmetry breaking) 的機制，物理學家成功地發展出了電弱理論 (electroweak theory)，統一了電磁力與弱作用力，此外也發展出描述強作用力的量子色動力學 (quantum chromodynamics) 理論。「對稱決定相互作用」(symmetry dictates interaction) 因此成為了發展基本粒子相互作用理論的重要指導原則。 

       馬克斯威電磁理論除了間接啟發了相對論與粒子物理的研究外，它有一個非常重要的直接應用就是光學。當探討光在材料中的傳播行為時，是將光認知為與材料相互作用的電磁波。與探討天線輻射或接收電磁波的問題不同，通常在材料/介質中的電荷、電偶極 (electric dipole)、磁偶極 (magnetic dipole moment) 與電流分布並不是給定的已知量，而是材料介質在與電磁波相互作用時，被電磁場極化 (polarized) 而產生的。適當的處理方式是先研究介質在電磁場作用下的反應，再研究此種反應所導致的光學效應。例如在所謂線性等向介質 (linear isotropic media) 中，代表單位體積中的電偶極的電極化 (electric polarization) P 會與電場 E 成正比，兩者組成的電位移 (electric displacement) $$\textbf{D}=\epsilon \textbf{B}+\textbf{P}$$也會與 E 成正比，寫成 D=ϵE，則此電容率 ϵ (permittivity) 就反應了此介質對外加電場的反應強度。與此類似，代表單位體積中的磁偶極的磁極化 (magnetization) M 會與磁場 H 成正比 (B 場被改稱為磁感應 (magnetic induction) 或磁通密度 (magnetic flux density))，兩者組成的磁感應$$\textbf{B}=\mu _{0}(\textbf{H}+\textbf{M})$$也會與磁場 H 成正比，寫成 B=μH，則此磁導率 μ (permeability) 就反應了此介質對外加磁場的反應強度。將上述關係代入馬克斯威方城組，再推導出電磁波方程式，會發現介質中電磁波的傳播速率是$$v=\frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon }}=\frac{c}{n},$$，其中$$n=\sqrt{\frac{\mu \epsilon }{\mu _{0}\epsilon _{0}}}$$是介質的折射率 (refractive index)。在晶體材料中，介質被電磁場極化的難易度在不同方向上是不同的，但在電磁場不太強的情況下，D 與 E 或是 B 與 H 之間的關係仍是線性的，此時只要將電容率 ϵ 與磁導率 μ 換成張量 (tensor)，依然可以用馬克斯威方程組研究光學問題。若沒有光的電磁理論，要對這些晶體的特殊光學現象 (例如雙折射 (birefringence)、圓錐折射 (conical refraction)) 給出合理的解釋，是非常不可能的。

       當介質是色散 (dispersion) 或吸收 (absorptive) 介質時，只要將 ϵ 與 μ 視為頻率的複數函數，就可以繼續使用馬克斯威理論研究。某些關於介質中電荷在原子/離子束縛下的簡諧振子 (simple harmonic oscillator) 模型，例如羅倫茲模型 (Lorentz model)，能給出關於 ϵ 怎樣隨頻率變化的近似描述。上述諧振子模型的彈性回復力趨近於 0 的特殊情況，給出了關於金屬介質的電磁性質的生動描述，被稱為德魯模型 (Drude model)。此模型在電漿子光學的研究中有重要應用。事實上，即使探討的是強光場與非線性介質 (nonlinear media)，依然可以透過探討 P 與電場 E 的非線性關係，而藉馬克斯威方程組建構出非線性光學 (nonlinear optics)。需要注意的，是在所有上述理論中，“介質中的電磁場” 並不是一個很簡單的概念。由於所有介質都是由原子、分子，或離子組成，物質中的局部電磁場無論在空間分布 (顆粒狀) 或是時間變化 (微觀熱運動) 上其實都是很複雜的。那麼，我們是如何將介質中的電磁場視為時間與空間上連續變化的函數呢 ? 答案是適當的平均。一般的可見光波長是幾百奈米，遠大於分子或離子的大小。因此，所謂 “介質中的電磁場”，其實是取 “微觀夠大，巨觀夠小” 的範圍內的原子/分子的電磁場做平均，所得到的平均電磁場。平均後的電磁場就近似於平滑變化的函數了。這個考量暗示不可直接將巨觀的電磁場觀念套用於只有幾千個原子的系統。對於邊界複雜的微觀系統，必須根據系統的特性判斷馬克斯威方程組的適用性。

       在最近三十年內，馬克斯威方程組的最引人注目的應用大概就是光子晶體與超穎材料的研究了。光子晶體是週期分布的介電質結構，可以用半導體製程的方法製造出來。當光在這樣的週期介質中傳播時，會有非常複雜的內部反射與散射，導致光在其中的傳播行為與均勻介質有很大的差異。例如在某些頻段會出現光子能隙 (photonic bandgaps)，這表示這些頻段的光無法穿透光子晶體，或者說此介質可以將光擋住。利用這個特性，就可以在光子晶體中挖出一些 “洞”，製造光子共振器 (resonator)，或是挖出一些通道做出可以直角轉彎的光子晶體波導 (photonic crystal waveguides)。超穎材料則是另一種更為戲劇化的光子晶體，在某些典型的設計中含有金屬材料，並可能內建有共振的機制，例如裂環共振器陣列 (split-ring resonator array)。藉著組合大量特殊設計的週期結構或局部近似於週期結構的漸變結構，可以形成等效介質 (effective media)，並表現出一般天然材料沒有的特性，例如：負磁導率、負折射率、非正定介電張量 (indefinite dielectric tensor)、超強吸收性，或是隱形…等等。所有這些研究的理論基礎都是馬克斯威方程組。如果沒有馬克斯威方程組，這些驚人的研究成果都是不可能的。

       馬克斯威方程組無疑是物理學史上影響力最大的方程組。它不僅統一了電學和磁學，深刻影響了相對論和粒子物理的發展，還在現代的光電領域研究中扮演不可或缺的角色。隨著科學技術的持續進步，這些方程組的應用一定會繼續拓展，引領我們探索自然的奧秘。未來三十年，馬可斯威方程組會再帶給我們什麼新的啟發？就讓我們拭目以待吧！

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