粒子物理行(十五)粒子衰變

  • 粒子物理行
  • 撰文者:黎偉健
  • 發文日期:2022-07-26
  • 點閱次數:613

在上一章,我們討論了粒子的散射。粒子的散射是\(m\)顆粒子到\(n\)顆粒子的過程。我們可以考慮\(m=1\)的特例,即一顆粒子到\(n\)顆粒子的過程,這種過程稱為粒子衰變(particle decay)。粒子衰變是粒子物理的一個常見現象,一個成功的粒子物理理論必須能對粒子的衰變率作準確預言。



能量不確定度

根據量子力學,具有確定能量的態(即所謂的能量本徵態)不會隨時間演化【註1】。所以,如果一顆粒子具有完全確定的能量,它不可能發生衰變。在量子場論裏,粒子是場的激發,能量本徵態一般涉及多顆粒子,甚至是含不同粒子數目的態的疊加態。因此,我們沒有理由相信實驗中所發現的粒子具有確定能量。由於粒子的質量即粒子在其質心系的能量,我們可以推斷,一般來說,粒子碰沒有確定質量。對於質量不確定的粒子,它們會演化成其他粒子,即會發生衰變。事實上,當我們量度粒子衰變後的終態粒子的總能量時,我們會發現是一個分佈。圖一顯示了\(Z\)粒子的衰變\(Z \rightarrow \mu + \mu^-\)(即\(Z\)粒子衰變成一對正反緲子)中終態粒子對的勞侖茲不變質量\(m_{\mu \mu}\)的分佈。終態粒子對的勞侖茲不變質量即該粒子對的質心系總能量,基於能量守恆,其值與衰變粒子的質量相等。從圖一可見,\(m_{\mu \mu}\)的分佈是一個具有寬度的峰,即衰變粒子(\(Z\)粒子)的質量並不確定。為了敘述上方便起見,我們一般把如圖一中峰頂的位置定義為衰變粒子的質量。有趣的是,峰的寬度(記為\(\Gamma\))與該粒子的總衰變率相等。圖二顯示了理論上給出的粒子衰變\(A \rightarrow B_1 B_2...\)的終態勞侖茲不變質量\(m_B\)的分佈。圖二中的峰頂位置即衰變粒子\(A\)的質量\(m_A\),而峰的一半高度處的寬度 \(\Gamma_A\) 等於粒子\(A\)的總衰變率【註2】。因此,我們常稱粒子的總衰變率為粒子的寬(width)。粒子的平均壽命(mean lifetime)由\(\tau = 1/ \Gamma\)給出,而半衰期則為\( \tau_{1/2}=\tau \ln 2\)。所謂粒子的半衰期,即當該種粒子在沒有被產生的情況下,每當過了一個半衰期,該粒子的數量會因衰變而減半。

Fig_1.jpg
圖一【註3】

 

Fig_2.jpg

圖二

 

粒子共振

粒子如果不穩定,會衰變,那麼我們在自然環境中便很難找到它。我們之所以知道不穩定粒子的存在,常常是因為它們在粒子加速器中被產生,然後在很短的時間內衰變成穩定的粒子,而這些穩定的粒子被粒子探測器探測到。例如圖一中涉及到的\(Z\)粒子,它在質子碰撞中被產生,然後衰變成較穩定的緲子【註4】,而圖一的峰表示了\(Z\)粒子的確被產生,並且峰頂的位置便是\(Z\)粒子的質量。這過程的費曼圖如圖三,其中初態為來自初態質子的一對正反夸克\(q\)和\(\bar{q}\),這對正反夸克互相湮滅,產生了一顆虛\(Z\)粒子(記為\(Z^*\)),然後這顆\(Z\)粒衰變成一對正反緲子\(\mu^+ \mu^-\)(這過程在第十四章也提及過,而本章的圖一其實是從如十四章圖六的散射截面分佈中抽取而獲得的)。這顆虛\(Z\)粒子的壽命很短,只有約10-25 s。我們可以把整個過程看成一種對真空激發的共振現象。

所謂共振現象,即因作用在系統的外力頻率舆系統的自然頻率相同,導致系統振幅增大的現象。例如鞦韆,它有一固有自然搖擺頻率,這頻率由鞦韆吊繩的長度決定。如果我們拉起鞦韆然後放手,鞦韆便會以這自然頻率擺動。當然,由於空氣阻力,鞦韆的擺幅會隨時間減小,而鞦韆的動能和位能會轉化為空氣中的熱能。可是,如果每當鞦韆到達搖擺週期中的最高點時,我們都推它一把,那時鞦韆正開始回落,運動方向與施力方向相同,因此我們在對鞦韆作正功,即我們在對鞦韆輸入能量,那麼鞦韆的擺幅便會隨時間增大,這就是共振現象。在這例子裏,為了確保每次施外力在鞦韆時我們都在作正功,施力的頻率必須與鞦韆的自然頻率一致【註5】。回到粒子物理,真空就是基態,即能量最低的態;正如鞦韆靜止地停在它的最低點。正反夸克碰撞的一刹那,大量能量被輸入真空,而由於粒子是真空的激發,粒子會被產生;正如我們作正功在鞦韆,使它獲得能量,偏離最低點。產生的粒子會衰變成其他粒子;正如鞦韆的擺幅會因空氣阻力而減小,能量從鞦韆傳到空氣中。我們可以問,怎樣才能最有效地激發真空,從而使\(Z\)粒子的產生率達到最高?對於真空,它的自然振動模就是粒子,而所謂的自然頻率其實就是粒子的質量。所以,當兩顆粒子\(A\)和\(B\)碰撞,如果物理定律容許這兩顆粒子湮滅成一顆虛粒子\(C\),那麼當\(A\)\(B\)的質心系總能量等於粒子\(C\)的質量時,共振便會發生,從而粒子\(C\)的產生率最高。這現象稱為粒子共振(particle resonance),是圖一中的峰背後的物理學解釋。可是,由於圖一中的横軸是終態正反緲子對的質心系能量,而非初態正反夸克對的質心系能量【註6】,它並不直接顯示共振現象對初態能量的依賴。

粒子共振的最佳示範是正反電子對撞實驗。考慮過程\(e^+e^- \rightarrow X\),其中\(X\)為含任意顆強子的終態。這過程的費曼圖如圖四,其中虛粒子(波浪線)為光子\(\gamma\)或\(Z\)粒子。根據以上對粒子共振的討論,當初態正反電子對的質心系總能量(又稱為碰撞能量,記為\(\sqrt{s}\))與虛粒子的質量相等時,粒子共振便會發生。圖五顯示了過程\(e^+ e^- \rightarrow X\)的散射截面對的\(\sqrt{s}\)依賴。從圖可見,散射截面在 \(\sqrt{s}=m_Z=91 \hspace{1mm} \)Z粒子質量)處有一個峰,這對應Z粒子的共振。

 

Fig_3.jpg

圖三

 


Fig_4.jpg
圖四

 

 

Fig_5.jpg

圖五【註7】

 

 

衰變率的計算

正如文章開首提及過,粒子的衰變可看成散射過程的特例,即初態為一顆粒子的散射。給定一顆粒子,它有可能衰變成多種不同的終態。例如以上提及過的\(Z\)粒子,它可以衰變成一對正反電子(\(Z \rightarrow e^+ e^-\)),或者衰變成一對正反緲子(\( Z \rightarrow \mu^+ \mu^-\)),或者衰變成任意顆强子(\(Z \rightarrow X\))等。每一個可能的衰變過程稱為一個衰變模式(decay mode或decay channel)。對於給定的衰變模式 \(i\)(\(A \rightarrow X_f\),\(X_f\) 為終態),對應的衰變率 \( \Gamma_{A,i}\) (即單位時間內衰變模式 \(i\) 發生的機率)可從理論上用以下方程計算獲得:$$ \Gamma_{A,i}=\int d \Gamma_{A,i}= \frac{1}{2m_A}\int |M_i|^2d \Pi$$

其中 \(m_A\) 為衰變粒子 \(A\) 的質量,\(M_i\) 為衰變幅,\(d \Pi \) 為相空間。類似於散射幅,衰變幅的值可從費曼圖的計算得出。正如上一章提及過,相空間是終態動量分配可能性的數量,可寫成終態粒子動量的積分測度。衰變幅取決於過程中粒子交互作用的細節,而相空間則只由動量守恆和能量守恆決定,與交互作用的細節無關。衰變過程所涉及的交互作用種類決定着衰變幅的大小,從而決定着衰變率的基本大小。例如,考慮三種不穩定粒子----緲子 \( \mu^- \)、中性 \( \pi \) 介子 \( \pi^0\) 和中性 \( \rho \) 介子\(\rho^0\) ----的主要衰變過程 \( \mu^- \rightarrow e^- \bar{\nu_e} \nu_{\mu}\)(其中為 \(\nu\) 微中子) 、\( \pi^0 \rightarrow \gamma \gamma \)(其中 \( \gamma \)為光子)和 \( \rho^0 \rightarrow \pi^+ \pi^-\)。這三個衰變過程的衰變率分別為 \( \Gamma(\mu^- \rightarrow e^- \nu_e \nu_{\mu}) \sim 10^6 \hspace{2mm} s^{-1}\)、\( \Gamma( \pi^0 \rightarrow \gamma \gamma) \sim 10^{16}\hspace{2mm} s^{-1}\) 和 \(\Gamma( \rho^0 \rightarrow \pi^+ \pi^-) \sim 10^{24} \hspace{2mm} s^{-1} \)。它們的值之所以相差數個數量級,是因為過程 \( \mu^- \rightarrow e^- \bar{\nu_e}\nu_{\mu}\) 是基於弱交互作用,過程 \( \pi^0 \rightarrow \gamma \gamma\) 是基於電磁交互作用,而過程 \(\rho^0 \rightarrow \pi^+ \pi^-\) 是基於強交互作用,而我們知道,強交互作用比電磁交互作用強,而電磁交互作用比弱交互作用強。歷史上,我們之所以稱弱交互作用為弱交互作用,稱強交互作用為強交互作用,正正是因為不同粒子的衰變率具有截然不同的數量級。

 

穩定粒子

我們知道,粒子衰變是粒子物理學實驗中常見的過程。那麽,我們很自然會問,什麽粒子是穩定的,不會衰變的呢?粒子衰變能發生的首要條件是能量守恆和動量守恆,這要求衰變粒子的質量大於終態粒子質量的和。例如,緲子之所以能衰變成電子和兩顆微中子(\( \mu^- \rightarrow e^- \bar{\nu_e}\nu_{\mu}\)),是因為緲子的質量(\( m_{\mu} = 106 \hspace{2mm} \rm MeV\))大於電子質量(\( m_e = 0.5 \hspace{2mm} \rm MeV\))和兩顆微中子質量(\(m_{\nu} \approx 0\))的和;中性 \( \pi\) 介子 \( \pi^0\) 之所以能衰變成兩顆光子(\( \pi^0 \rightarrow \gamma \gamma\)),是因為光子沒有質量。可是,我們可以問,既然光子沒有質量,那麽豈不是所有粒子都可以衰變成光子嗎?我們在第二章裏介紹了守恆量。一切物理過程必須滿足守恆定律,即守恒量的終態值與初態值相等。在粒子物理裏,守恒量有兩種,一種是時空對稱守恆量,如能量、動量、角動量等【註8】;另一種是內在對稱守恒量,即荷。荷有很多種,電荷便是一種荷。電子之所以不可以衰變成光子,是因為電子帶電荷,而光子不帶電荷。那麽,為何質子不可以衰變成反電子和光子(\(p \rightarrow e^+ \gamma\))呢?質子的質量(\(m_p = 0.94 \rm GeV\))比電子高,因此該過程符合能量守恆;質子的電荷和反電子相等,因此該過程符合電荷守恆。可是,在標準模型裏,除了電荷守恆,還有重子數 \(B\)(baryon number)和輕子數 \(L\)(lepton number)守恆【註9】。對於質子,\(B=1\),\(L=0\);對於反電子,\(B=0\),\(L=-1\);對於光子,\(B=0\),\(L=0\)。所以,過程 \(p \rightarrow e^+ \gamma\) 違反重子數守恆和輕子數守恒,因此不會發生。由於電子是帶非零輕子數粒子中質量最小的,而質子是帶非零重子數粒子中質量最小的,因此電子和質子為穩定粒子。當然,所謂的穩定粒子只是指至今並未在實驗中探測到該粒子衰變。所以,對於所謂的穩定粒子,我們其實只能給出該粒子平均壽命的下限,而不能確切說該粒子不會衰變。例如,質子平均壽命的下限為3.6×1029年,遠大於宇宙年齡(~1010年)。

 

 

註解:

  1. 如第二章所討論到,能量是對應時間平移對稱的守恆量。在量子力學裏,守恆量是一個算符,它代表着對稱變換在態空間中的作用。所以,能量是一個代表時間平移變換在態空間中作用的算符。對於具有確定能量的態,即能量算符的本徵態,它在能量算符作用下不變,即在時間平移作用下不變。
  2. 這裏我們用了自然單位系統 \(\hbar=c=1\)。如果採用SI單位系統,那麼粒子A的總衰變率等於 \(\Gamma_A/ \hbar\)。粒子A的總衰變率即單位時間內粒子A發生衰變的機率。
  3. 圖表引用自ATLAS Collaboration,  Eur. Phys. J. C 80 (2020) 616
  4. 緲子也會衰變,但常常在未衰變前已經到達粒子探測器,因而能被直接探測到。
  5. 更準確地,設想我們施在鞦韆上的力為一橫向力 \(F_0 \cos(\omega t)\),具有形成。那麽當 \(\omega\) 與鞦韆的自然頻率 \(\omega_0= \sqrt{(g/l)}\)(其中\(g\) 為地面重力加速度,\(l\) 為鞦韆吊繩長度)相等時,共振現象便發生。
  6. 在質子-質子碰撞中,我們只能控制初態質子的能量,而不能直接調控質子中夸克的能量。質子中夸克的能量是一個連續分佈,而由於色荷禁閉,我們無法操控個別夸克的能量,也無法操控夸克的能量分佈。
  7. 圖表引用自ALEPH Collaboration et al.,  Phys.Rept.  427  (2006)  257-454
  8. 除了能量、動量和角動量,時空對稱守恆量還有宇稱和時間反演宇稱。宇稱是對應空間反演對稱的守恆量;而時間反演宇稱是對應時間反演對稱的守恆量。有別於能量、動量和角動量所對應的連續時空對稱,空間反演對稱和時間反演對稱屬於離散時空對稱。在未來的章節,我們會討論到這兩種對稱性的破缺。

在標準模型裏,重子數B和輕子數L並不嚴格守恆,而它們的差 \(B-L\) 才是嚴格的守恆量。可是理論上,除非是在宇宙初期的極高温環境下,重子數或輕子數不守恆的機率極微,可以忽略。事實上,至今所有粒子物理實驗中觀察到的過程都嚴格遵從重子數和輕子數守恆。我們會在以後的章節詳細介紹重子數和輕子數。