風是如何產生波浪的？

Print   PDF

儘管這是一個經典的問題，風如何將能量傳遞給海面上波浪的細節仍是不明的。

海浪對於現今的地球科學家而言是很重要的，因為它們會影響在空氣與海面交界處的物理特性 (請見《今日物理學》11月份的第34頁，由David Richter 與 Fabrice Veron所寫的文章)。波浪可傳輸物質，而波浪所引起的漂移改變了海洋上層的動力學：它混和了表層的海水並調節了溫度，這是在地球天氣與氣候的耦合模型中，空氣與海洋之間的關鍵邊界條件。事實上，波浪的統計模型描述了波浪如何在各式各樣的環境條件下—例如微風和強風—在海面上發展及傳播，並量化了它們如何影響海洋環流以及在海洋表面上，廢棄物、船隻殘骸，和汙染物的運輸。

即使是一般的觀察者，也能明顯地看出風在水中所引起的波浪。這在幾個世紀以來，一直受到數學家及物理學家的關注。即便如此，現在的研究人員仍無法對此現象進行完整的描述。其中的困難來自於這樣一個事實：

波浪發生在兩種流體(在這裡是空氣與水)的交界處，而兩者的流動通常都是紊流。波浪在空間和時間上的變化足以被認為是隨機的，且流體會在很廣泛的尺度範圍中相互作用—在空間上能從毫米到公尺，而時間上能從幾秒到幾小時。這樣的範圍讓解析上與數值上的分析進展極為困難。

實驗室研究的挑戰是，要在彎曲且快速變化的表面上同時解決在該大範圍內空氣與水的紊流。實地研究則要面臨在海上測量的困難，特別是在對風進行測量時，會因海洋調查船的存在所產生的干擾而量測失真。儘管存在著這些阻礙，我們仍在實驗上取得了很大的進展—圖1顯示了一個在海上的研究平台，避免了海洋調查船時常會產生的流動干擾—並且在理論上理解了這個現象。在本文中，我們簡單列出一些問題，再回顧解決那些問題的歷史方法，並對一些尚未解決的問題做討論。



e.png


問題概述

想像一道吹過靜止海面的水平風。表面波(surface wave)會在什麼樣的條件下形成？海浪的恢復力(restoring force)是重力和表面張力。在空氣與海洋間交界面上的動力學，受到在兩種流體中應力連續及動量守恆的要求所控制。該系統可由納維-斯托克斯方程式(Navier-Stokes equation)描述。對於小的波和沒有渦漩度(vorticity)的流體而言，它是線性的，表現得像一個簡諧振盪器(simple harmonic oscillator)，衰減波(evanescent wave)根據波散的關係(dispersion relation)在水平方向上傳播。

但當波浪不再是線性的，或者當空氣或水的流動帶有渦漩度時，系統就會變得盤根錯節地複雜。更糟糕的是，邊界條件必須在快速變化的波界面處進行考量，而波界面本身就是系統的一個變數。這大大增加了問題的複雜性。要解決這樣的問題，需要在廣大範圍中，空氣與海水交界面上所有點都符合非線性的納維-斯托克斯方程式。


統計方法

統計波浪模型(statistical wave model)是該研究領域中最大的推動力之一，它們對水手、國家安全行動員，及衝浪者等，有著巨大的實用價值。這些模型是建立在波高的統計數據上。被稱為波浪作用(wave action)—考慮到水流對波浪的影響—的量為基本守恆量(fundamental conserved quantity)1。在水流中的波浪就好比一個有著不同長度的單擺。當單擺的長度發生變化時，系統的能量也會發生變化。同樣地，水波與水流交換能量，但波浪作用卻保持守恆，這便成為了統計波浪模型中的核心特徵。

現代統計模型是建立在波浪作用的頻譜(wave action spectrum)演變上，以方程式表示如下：

$$\frac{\partial N}{\partial t}+\left( c_g + U \right) \cdot \nabla N = S$$

其中，\(N\) 代表波浪作用(wave-action)的密度，也就是波數能量譜(wavenumber energy spectrum) 除以固有的波頻(wave frequency) \( \omega = \sqrt{(g|k|)}\)。波的群速(group velocity)— \( c_{\rm g} \) —等於 \(\partial \sqrt{(g|k|)}/ \partial k\) ，其中 \(g\) 為重力加速度；\(k\) 為波數；\(U\) 則是海水表面的水流。請注意，在海水深處的波是頻散的，因此長波會比短波快。

在方程式中的源項(source term) \(S\) 為 \(S_{\rm in}+S_{\rm diss}+S_{\rm nl}\) 的加總，其中 \(S_{\rm in}\) 為輸入波浪中的風；\(S_{\rm diss}\) 是主要由波浪破碎造成的作用消散；而 \(S_{\rm nl}\) 則是透過波浪與波浪間交互作用所形成的非線性傳遞作用。在方程式左側的內積項為波浪作用沿著海水表面的傳輸。

在1960年代，克勞斯．哈塞爾曼(Klaus Hasselmann)和弗拉基米爾．扎哈羅夫(Vladimir Zakharov)解釋了非線性相互作用 \(S_{\rm nl}\)2,3。對於表面重力波(註解1) (surface gravity waves)來說，它們在四個波相互共振時產生。這項發現，連同它對在水–波的系統中直接和相反串連存在的影響，為扎哈羅夫(Zakharov)贏得了2003年的狄拉克獎章(Dirac Medal)(註解2)。(順帶一提，哈塞爾曼(Hasselmann)因他在氣候模型上的研究，獲得了2021年諾貝爾物理學獎。) 作為在水–波理論發展上的傑出人物，扎哈羅夫(Zakharov)與羅伯特．克拉奇南(Robert Kraichnan)—艾爾伯特．愛因斯坦(Albert Einstein)最後的博士後研究生之一，闡明了二維紊流的同等特性(analogous property)—共同獲得狄拉克獎章(Dirac Medal)。消散項 \(S_{\rm diss}\) 的表現主要受波浪破碎所控制，且仍是個活躍的研究領域。在本篇文章中，我們專注於介紹其中的物理，用來更好地理解風對波浪能量上的貢獻— \(S_{\rm in}\) 這一項。


歷史上的風生成機制

許多文明對風和浪之間的關係有著直觀的理解。例如，密克羅尼西亞人和波里尼西亞人以使用長浪來幫助他們導航而聞名4。這種關係的現代解釋開始於19世紀物理學的兩位關鍵人物，赫爾曼．馮．亥姆霍茲(Hermann von Helmholtz)與威廉．湯姆森(William Thomson，後來被封為克耳文男爵(Lord Kelvin))，他們認為風透過剪切流的不穩定性產生波浪。這兩位科學家經常在搭著克耳文的船去出遊時討論這個問題5。

每當流體在密度變化的區域內改變速度時，就會發生這個被稱為克耳文–亥姆霍茲(Kelvin-Helmholtz)的過程。兩人計算出，要使該機制在現實條件下運行，需要 6.5 m/s 的風速才能產生波浪。但是在幾項實際觀測的實驗中，已經記錄到了在相對低得多的風速下產生的波浪。顯然，這其中的機制不止克耳文和亥姆霍茲所提出的內容。

在1925年，哈羅德．傑弗里斯(Harold Jeffreys)認為，流過水波的空氣就像流過球體的空氣一樣，會因表面的幾何形狀而偏移6。這個類比導致了現在對所謂氣流分離(airflow separation)的理解—氣流方向在波峰背風側上的逆轉(請見圖2)。這個被傑弗里斯稱為「遮蔽」的幾何現象，是由波浪的迎風側與背風側之間的壓力差所引起。水波上的風壓及水波的斜率都是反覆振盪的，當兩者相互發生相位移動時，會對波浪作功，並使其增長。在該理論中有個不受約束的尺度參數，稱為遮蔽係數(sheltering coefficient)，用於估計風對波浪所作的功。目前對風在固體物上的實驗中發現，遮蔽係數主要取決於物體的特定幾何形狀，而在傑弗里斯的理論中沒有考慮到這點。

之後這個問題便蟄伏了15年。直到第二次世界大戰才再次被提起，那時準確的海浪氣象預測對於補給的運輸與士兵的兩棲登陸而言變得至關重要。在美國工作的研究員—主要是在美國加州斯克里普斯海洋研究所(Scripps Institution of Oceanography)的哈拉爾德．斯維德魯普(Harald Sverdrup)與沃爾特．蒙克(Walter Munk)—需要預測在有限風域(fetch-limited)的海域中產生局部波浪的高度，這種類型的暴風波浪在D日(D-Day)(註解3) 期間拍打在法國諾曼第(Normandy, France)附近的海灘上。他們使用簡單的比例參數，從風吹的強度和持續時間來估計那些波的高度。這些變數之間的關係構成了風如何區域性地產生波浪的經驗模型基礎，且這些關係現在仍在使用中。

與此同時，在英國的W小組(Group W)—其代號代表著「波浪」的字首—主要關注在作戰時期影響南太平洋的湧浪。該小組開始熱中於那些長浪是如何行進遙遠的距離。他們借助於在19世紀，預測了湧浪行為的數學家奧古斯丁．路易．柯西(Augustin Louis Cauchy)與西梅翁．德尼．帕松(Siméon Poisson)的理論。他們解決了落入池塘的岩石如何產生波浪的問題。研究人員使用該理論—把長距離的風暴模擬為「落入池塘的岩石」—來預測這些湧浪的到達時間。

大約在W小組對湧浪預測進行著研究的時候，諾貝爾物理學獎獲得者彼得．卡皮察(Peter Kapitza)(註解4)重新檢驗了傑弗里斯的遮蔽機制7。但他並沒有將重點集中於接近水面的薄薄空氣層中的氣流分離，而是考慮在波長尺度上的氣流分離事件。且儘管這項工作受到的關注很少，但他對波峰附近的大氣流分離事件的直覺是有憑有據的。

蒙克用一些重要的觀察對這些理論著作進行了補充。但他並沒有將注意力侷限在風浪區域(fetch)的關係上。在與查爾斯．考克斯(Charles Cox)從B-17轟炸機上拍攝的照片進行開創性研究的合作中8，蒙克調查了風速與海面坡度之間的關聯。他們的觀察使人們意識到這兩個變數之間具有高度相關性。蒙克基於這項工作的基礎，進一步提出短波長的浪是與風耦合最活躍的波，而耦合的強度或增長取決於波浪的斜率9。即便如此，這個被蒙克稱之為「一個麻煩的海上真相」的基本過程背後的機制，至今仍未被理解。


邁爾斯與飛利浦斯 (Miles and Phillips)

W小組的成員弗里茨．厄塞爾(Fritz Ursell) 在他1956年對該主題的評論中寫到，海洋學家對風產生波浪的理解是「不盡滿意的」10。兩位年輕科學家—在加利福尼亞大學(University of California)的約翰．邁爾斯(John Miles)和劍橋大學(Cambridge University)的歐文．飛利浦斯(Owen Phillips)—回應了他的說法並採取行動。

所謂的Miles機制(Miles mechanism)11是在克耳文與亥姆霍茲原始理論中的主要精神—剪力流不穩定性。然而，邁爾斯基於接近邊界的流動特性，對於解釋風的平均速剖面(mean wind profile)有著關鍵的看法。他製作了一個半層流的無黏性流體模型(semilaminar inviscid model)，其中剪切流的不穩定發生在臨界高度處，特別是風速與成長中波浪的相位速度一樣的地方(請見圖2)。這樣的不穩定性將表面波與其在該高度處引起的擾動耦合，而這樣的耦合又因此從風中去除能量和動量，並隨之產生波。這些波浪增長的速率不是取決於風速或是風的梯度，而是取決於風速剖面(wind profile)在臨界高度處的曲率(curvature)。



wind3.jpeg

圖2、波浪發生的機制。(a)空氣中紊亂的渦流擾亂了原本平靜的海洋，並產生波長約為幾公分的漣漪。(b)這些漣漪的波長增長到公尺尺度，使得風能在波峰的下游處(背風側)獲得「庇護」。在波峰的迎風側(左)與背風側(右)之間的壓力差將風的能量傳遞給波浪，使波浪增大。(c)風速在遠高於水面時最高，越接近海面會越小，直到到達海面時風速為零。在風速等於波浪相位速度的臨界高度處，風的剪切力會與波浪共振，並傳遞出更多的能量。(圖片提供自Donna Padian)

 

正當邁爾斯發表論文時，飛利浦斯也提出了一種機制來解釋，該機制仰賴表面波和風中壓力波動之間的共振12。也就是說，風在吹過水面時具有湍流分量(turbulent component)—由渦流的集合組成。壓力的擾動與那些渦流一起對水面作功，而產生小波。如果這些小波及壓力擾動以自由表面重力波的速度傳播，就會發生共振，並讓小波得以成長為波浪。(請見《今日物理學》2019年6月份的第34頁，由Callum Shakespeare所寫，與第40頁，由Erdal Yiğit與Alexander S. Medvedev所寫的文章。)

直到最近，Phillips理論(Phillips theory)的有效性才透過詳細的實驗室實驗和紊流的數值模擬進行了探索。結果表明了在波浪形成過程的初期，Phillips理論是準確的，並提供在完全平穩的海水表面上掀起漣漪的機制(請見圖2)。一旦這些漣漪的振幅達到幾毫米，就會有其他的增長機制發生，能量在波浪間的非線性轉移成為了主要的波浪形成因素。

儘管這兩種機制很有吸引力，但它們都有各自的局限。一方面，Phillips理論預測了波的振幅會隨著時間，呈現線性但微弱地增長。且如上所述，這似乎只適用於波浪增長的早期階段。一旦波浪變得越大越長，Miles機制就成為了主導：波浪隨時間呈指數增長，其增長的速率遠高於Phillips機制。

然而，Miles機制忽略了紊流及其對波浪引起的空氣流擾動的影響。對短波來說，其臨界高度接近於海水表面—該區域渦流的對流相較於它們的壽命來說非常緩慢。那麼就可以合理地認為，這些渦流能與波浪相互作用，包含另一個極可能是紊流，因此在短波的範疇中成為主要的影響。其他Miles機制的局限，包含了它不處理流體中的非線性效應13、黏度的影響，以及短波和長波之間的相互作用。


驗證理論的困難

Phillips與Miles理論假設海浪並不陡峭，將波浪視為(接近)單波長的，且不考慮紊流的多尺度特性。為了克服這些缺點，史蒂芬．貝爾奇(Stephen Belcher)與朱利安．杭特(Julian Hunt)在1993年提議將傑弗里斯的遮蔽機制(sheltering mechanism)擴展到紊流中14。他們使用紊流理論中的工具，來量化由遮蔽引起的壓力差是如何受存在的渦流影響。由此產生的機制完全建立於波浪背風面上的氣流變形。且它確實地估計了短波的波浪增長。

在實際的田野條件中，海面可以用與紊流空氣相互作用的寬頻波譜(broadband wave spectrum)來描述。因此，理論上波的增長速度應該由實驗室內與田野的實驗觀察來進行測試。然而，完整的驗證需要有對氣流結構的了解。此外，Miles的臨界高度與波長成正比。因此，對於預計會與風強烈耦合的短波而言，該高度距離快速變化的海水表面只有0.1公分。這讓人們難以測量波浪正上方的大氣特性。

為了透過實驗證實波浪增長的理論，研究人員必須驗證Miles理論的推論結果。這些結果包含了理論預測的流線形式以及波浪增長速率隨風速的變化關聯性。此外，由於在海面附近缺乏準確的測量，人們通常必須從邊界層理論(boundary-layer theory)中近似風剖面(wind profile)的形式。該理論產生了幾個重要的尺度參數—粗糙度長度(roughness length)的尺度就是其中一個例子—並且因為這些尺度參數受到波場的強烈調控，已經證明了它們很難受限制。儘管困難重重，在長波中，波浪增長的預測和觀察有很大程度上是一致的13。

Miles理論的使用及其簡單的擴展，構成了現代用於頻譜波浪模型，風-波相長參數化(wind-wave growth parameterizations)—即\(S_{\rm in}\) —的基礎。這些模型通常不分析短波，因此它們僅僅—也有可能是不完整地—使用物理基礎作為假設，將頻譜形狀及對風力的反應進行參數化15,16。


目前研究上的挑戰

對於風如何產生波浪理解上的最新進展，是由計算及觀測能力的技術發展以及在改進問題上理論立式(theoretical formulation)所推進的。

在實驗室和現場進行的測量表明了臨界高度的存在—Miles理論的必要特徵—及其在控制長波動量通量方面的重要性。自然的參考坐標系—以和表面垂直和水平相切的距離，而不是與某個固定點之間的距離—大大地闡明了觀測的數據。大氣邊界層的大渦流模擬的發展也揭示了各種狀態，尤其是弱風以及長波。在這些狀態下，甚至可以顯著地將動量從波浪傳遞回大氣中。


wind4.jpeg

圖3、在水波上方量測到的氣流速度(以顏色表示)。在這項實驗室實驗中，每張圖都說明了水面上方空氣的水平流動，在不同風速和波浪條件狀況下。顏色代表空氣的流速 \(v_{\rm air}\) 除以在水面以上10公尺處測量到的風速 \(v_{10}\)。氣流從低風速時近似層流的狀態，轉變為高速時的紊流狀態，且在陡峭波峰處的水面附近，氣流會強烈地「分離」。(由Marc Burckley與Fabrice Veron提供)

由於波浪破碎的影響，短波的動力學比起長波來說更為複雜。當波浪破碎時出現的陡坡會導致在波峰下風處的三維氣流分離(請見圖3)。隨著風的強度增加到颶風級別，波浪破碎的事件會變得更加重要。在能夠產生這種極端條件的實驗室設備中所進行的實驗顯示了與較低的風速相比，在較高風速下，分離空氣流線的重新連接發生的頻率較低，並將波浪與大量的氣流隔離開來。近地表流動特性的改變已被證明了在颶風強度的條件下是很重要的，且是個活躍的研究領域。

目前已經實現了一些實驗和計算，以解決空氣與水完全耦合的紊流系統，而這些實驗和計算也開始變得更加常規。在實驗上的挑戰是同時測量在空氣與水中的紊流。在計算上的挑戰則是要解決包含廣泛範圍的兩相納維-斯托克斯方程式。

圖3顯示了在最近進行的實驗室實驗中，在各種斜率的水波正上方與風強度增強時的氣流快照。圖4顯示了在紊流邊界層下波浪增長的完全耦合模擬例子。實驗和模擬都解決了靠近表面的氣流問題。數值模擬還有一個額外的好處，那就是捕捉沿著水流的完整三維速度和壓力場。

wind5.jpeg

圖4、波浪在狂風中—類似於圖3中最強的風速條件—增長的數值模擬。波的斜率 \(2 \pi A / \lambda = 0.2 \)，其中 \(A\) 為波的振幅，\( \lambda \) 是它們的波長。注意在靠近水面，無因次風速場 \(V_{\rm wind}/c\) 中的三維結構，其中 \(c\) 代表波的相位速度。無因次波速場 \(V_{\rm wave}/c\) 在風力方向 (\(x\)) 與沿著波峰的橫向 (\(z\)) 上都有變化。這項模擬數值解了水流、空氣流，以及這之間交界面上的三維納維-斯托克斯方程式(Navier-Stokes equation)。(由Jiarong Wu、Stéphane Popinet，以及Luc Deike提供)

兩項研究都強調了水波和狂風紊流之間的複雜耦合。在由我們其中一個小組(Deike的小組)的成員製作的數值模擬(圖4)中，為研究所有的三維場(例如海洋表面的壓力場)奠定了基礎。這是一項因為迅速移動的波浪，使得它難以在實驗室中測量而惡名昭彰的領域。另一個例子是對從風到波浪的能量和動量轉移的分析。這能幫助進一步測試那些被提出的各種狀態下波浪增長的理論。

儘管許多細節仍難以捉摸，但在理論上、數值模擬上、實驗室中和田野現場中進展的結合使研究人員能對風產生的波浪有更好地了解。毫無疑問地，關於它是如何發生的這個簡單問題將持續激發對於海洋結構及海洋與大氣耦合模型的研究。

 

 

參考資料

  1. F. P. Bretherton, C. J. R. Garrett, Proc. R. Soc. A. 302, 529 (1968).
  2. K. Hasselmann, J. Fluid Mech. 12, 481 (1962).
  3. V. E. Zakharov, J. Appl. Mech. Tech. Phys. 9, 190 (1968).
  4. D. Lewis, We, the Navigators: The Ancient Art of Landfinding in the Pacific, 2nd ed., U. Hawaii Press (1994).
  5. O. Darrigol, Arch. Hist. Exact Sci. 58, 21 (2003).
  6. H. Jeffreys, Proc. R. Soc. A 107, 189 (1925).
  7. P. L. Kapitza, Collected Papers of P. L. Kapitza, vol. 2, D. ter Haar, ed., Pergamon (1965).
  8. C. Cox, W. Munk, J. Opt. Soc. Am. 44, 838 (1954).
  9. W. Munk, Annu. Rev. Mar. Sci. 1, 377 (2009).
  10. F. Ursell, in Surveys in Mechanics, G. K. Batchelor, R. M. Davies, eds., Cambridge U. Press (1956), p. 216.
  11. J. W. Miles, J. Fluid Mech. 3, 185 (1957).
  12. O. M. Phillips, J. Fluid Mech. 2, 417 (1957).
  13. P. Janssen, The Interaction of Ocean Waves and Wind, Cambridge U. Press (2004).
  14. S. E. Belcher, J. C. R. Hunt, J. Fluid Mech. 251, 109 (1993).
  15. Y. Toba, J. Oceanogr. Soc. Jpn. 29, 209 (1973).
  16. K. Hasselmann et al., Dtsch. Hydrogr. Z., Ergänzungsheft Reihe A (1973).

譯者註解

  1. 這邊所指的重力波(gravity wave)，不是引力波(或譯重力波)(gravitational wave)。此處所指的重力波是指在流體力學中，其恢復力來自於重力的波，例如在海面表層的海浪。
  2. 狄拉克獎章(Dirac Medal)被譽為理論和數學物理界的最高榮譽。它是國際理論物理中心(International Centre for Theoretical Physics, ICTP)在1985年，為了紀念英國理論物理學家保羅．狄拉克(Paul Adrien Maurice Dirac)而設置的獎項，會在每年保羅．狄拉克的生日日期中頒布。
  3. D-Day為軍事術語，代表發動攻擊的日期。在這邊指的是二次世界大戰中，盟軍在法國諾曼第登陸作戰的發起日。
  4. 彼得．卡皮察(Peter Kapitza)為蘇聯著名的物理學家。因其在低溫物理領域的基本發明和發現而獲得了1978年的諾貝爾物理學獎。(“The Nobel Prize in Physics 1978 was divided, one half awarded to Pyotr Leonidovich Kapitsa ‘for his basic inventions and discoveries in the area of low-temperature physics.”)

 

作者簡介： 

Nick Pizzo是加州大學聖地亞哥分校(University of California, San Diego)斯克里普斯海洋研究所(Scripps Institution of Oceanography)的一名專題科學家。Luc Deike是普林斯頓大學(Princeton University)機械和航太工程系(mechanical and aerospace engineering department)以及High Meadows環境研究所(High Meadows Environmental Institute)的助理教授。Alex Ayet是法國格勒諾布爾圖像語音信號和控制實驗室(Grenoble Images Speech Signal and Control lab)的法國國家科學研究中心(法語：Centre national de la recherche scientifique, CNRS)研究員。

 

譯者   宋育徵

 

本文感謝Physics Today (American Institute of Physics) 同意物理雙月刊進行中文翻譯並授權刊登。原文刊登並收錄於Physics Today, 2021 雜誌內 (Physics Today 74, 11, 38 (2021); https://doi.org/10.1063/PT.3.4880)。原文作者：Nick Pizzo 、 Luc Deike、Alex Ayet。中文編譯：宋育徴，國立中央大學物理系助理。

Physics Bimonthly (The Physics Society of Taiwan) appreciates that Physics Today (American Institute of Physics) authorizes Physics Bimonthly to translate and reprint in Mandarin. The article is contributed by Nick Pizzo, Luc Deike, Alex Ayet, and is published in (Physics Today 74, 11, 38 (2021); https://doi.org/10.1063/PT.3.4880. The article in Mandarin is translated and edited by Y.C.Sung , working at the Department of Physics, National Central University.