粒子物理行（十四）粒子散射 - 粒子物理行 - 新聞訊息

粒子物理行（十四）粒子散射

粒子物理行

撰文者：黎偉健

發文日期：2022-04-01

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我們對粒子物理的認識絕大部份是從粒子碰撞實驗獲得。粒子物理學的重要一環，是建立一個能有效解釋粒子碰撞實驗數據的理論。而粒子物理的標準模型（Standard Model），就是一個這樣的理論。標準模型雖然只有18個自由參數，但它能精準解釋無數的粒子碰撞實驗測量結果。要理解標準模型的成功，我們須要先對粒子碰撞過程有一基本認識。

粒子散射

所謂粒子碰撞，其實即粒子散射。考慮兩顆粒子，起初它們互相距離很遠，那麽它們之間的相互作用便很小，我們可把它們看作是自由粒子，一顆帶動量$ \textbf{p}_1$，另一顆帶動量$\textbf{p}_2$。過了一段時間，這對粒子互相靠得很近，發生交互作用，交換了動量，之後又互相遠離。當它們再次互相距離很遠時，我們又可以把它們看成自由粒子，一顆帶動量$ \textbf{k}_1$，另一顆帶動量$ \textbf{k}_2$（見圖一，其中左端為初態，右端為終態）。這就是粒子的散射過程。

圖一

粒子的散射現象在日常生活中很常見。我們能看見物體，正是因為投射到物體的光子被物體表面的原子散射，然後作自由直線運動，直至到達我們的視網膜。從這個角度看，我們對世界的認知很大程度上是基於粒子的散射現象。又例如，天空之所以是藍色也是基於粒子的散射現象：在太陽裏被產生的光子，在太空中作自由運動，到達地球大氣層後，與大氣中的份子發生散射。由於高能量（即頻率高，波長短）的光子比低能量（即頻率低，波長長）的光子被散射得厲害，如果我們在白晝時不正視太陽，那麽我們看到從天空來的光子都是因被大氣份子散射而運動方向被改變的光子，因而顏色偏藍（頻率高）。類似地，水之所以為藍色也有部份原因是基於光子被水中的雜質份子散射【註1】。

散射截面

考慮如圖一的散射過程，即粒子A與粒子B碰撞。為方便起見，我們可考慮粒子A的初態静止參考系，在該参考系中，粒子A的初始速度為零，如圖二。粒子B起初向粒子A方向運動，然後發生散射，運動方向發生偏轉，並沿新的運動方向遠離粒子A，而粒子A也因散射而獲得非零終態速度。我們可以問，什麽的觀察量能量化該散射過程的強度？假設我們不是只有一顆粒子A和一顆粒子B，而是大量A粒子和一束B粒子，如圖三。假設A粒子堆具有粒子數密度（每單位體積中的粒子數量）$n_{ \rm A}$和長度$L$（並且闊度為無限大），而B粒子束的粒子數密度為$n_{ \rm B}$，速度為 $v$，截面為 $A$（並且長度為無限大）。那麽，在時間 $ \Delta t$ 內發生的散射過程次數【註2】$ \Delta N$ 顯然正比於 $n_{\rm A}n_{\rm B}LAv \Delta t$。我們可把正比常數記為 $ \sigma $，即
$$ \Delta N = \sigma n_{\rm A}n_{\rm B}LAv \Delta t $$

注意，以上方程式左邊的$ \Delta N$ 為散射過程的發生次數（在實驗中對應探測器觀察到的非沿B粒子束方向的B粒子數目），沒有量綱。方程式的右邊裏，$n_{\rm A}LA$ 沒有量綱，$n_{\rm B}v \Delta t$ 的量綱為(長度)^-2，因此 $\sigma$ 的量綱為(長度)²，即為面積的量綱。 $\sigma$ 稱為散射截面（scattering cross section）。散射截面 $\sigma$ 有一很直觀的圖像意義。我們可想像粒子A具有一有效截面面積 $\sigma$，如粒子B的初態在該截面的範圍內，粒子B便會被散射（圖四a）；如粒子B的初態不在該截面的範圍內，粒子B便不會被散射（圖四b）。對於給定散射過程，散射截面 $\sigma$ 代表了該散射過程能發生的概率。一個成功的粒子物理理論必須能對粒子的散射截面作準確預言。

圖二

圖三

圖四a

圖四b

以上我們討論的散射，是兩顆粒子到兩顆粒子的散射，並且初態粒子種類與終態粒子種類相同（均為A和B），即過程為AB→AB。這是最簡單的一種粒子散射過程，稱為彈性散射（elastic scattering）。更一般地，粒子散射可涉及 $n$ 顆初態粒子和 $m$ 顆終態粒子，並且初態粒子的種類可以與終態粒子的種類不同。在粒子碰撞實驗中，我們一般把兩束粒子加速然後相撞，或者把一束粒子加速然後撞向静止的粒子上。對於這兩種情況，散射過程的初態都是兩顆粒子。也就是說，粒子碰撞實驗所觀測到的都是兩顆粒子到 $n$ 顆粒子的散射，即AB→C₁C₂...C_n，或簡單記為 $2 \rightarrow n$。類似於彈性散射，我們也可對 $2 \rightarrow n$ 散射定義散射截面。

散射幅和相空間

從以上的討論，我們知道，一個成功的粒子物理理論必須能對實驗中觀測到的 $2 \rightarrow n$ 散射的散射截面作準確預言。根據量子場論， $2 \rightarrow n$ 散射的散射截面 $\sigma$ 由以下公式给出

$$ \sigma = \int d \sigma = \frac{1}{F} \int |M|^2 d \Pi$$

其中 $F$ 是通量因子（flux factor），它正比於初態粒子的質心系能量平方【註3】；$ | M |^2 $ 是散射幅（scattering amplitude）$M$ 的平方模，它代表散射的強度，可通過計算費曼圖獲得；$d \Pi$ 是勞侖兹不變相空間（Lorentz-invariant phase space），簡稱相空間，它代表可能終態的數量，可寫成終態粒子動量的積分測度。$F$ 和 $ d \Pi $ 與粒子交互作用的細節無關，只取決於初態和終態粒子的動量值。散射幅 $M$ 取決於粒子之間交互作用的細節，即不同的理論會給出不同的散射幅的值。

經典例子 ----Drell-Yan過程

讓我們看看一個很經典的粒子散射過程----Drell-Yan過程（$pp \rightarrow l^+ l^- + X$）。在這個過程中，兩顆質子（記為 $p$）相撞，產生了一對正反帶電輕子（記為 $l^-$ 和 $l^+$，其中 $l^+$是 $l^-$ 的反粒子，$l^-$ 可以是電子 $e^-$ 或緲子 $ \mu^-$ ）及任意顆其他粒子（記為 $X$）。圖五a和b是Drell-Yan過程中作主要供獻的費曼圖。費曼圖的初態是一對正反夸克（記為 $q$ 和 $ \bar{q}$），分別來自於初態的兩顆質子【註4】。這對正反夸克互相湮滅，變成一顆虛光子（記為$\gamma ^*$）（圖五a）或一顆虛 $Z$ 粒子（記為 $Z^*$）（圖五b），然後這顆虛粒子衰變成一對正反輕子 $l^+ l^-$。圖六顯示了大型強子對撞機（LHC）的CMS實驗中探測到的Drell-Yan過程散射截面對終態輕子對的勞侖兹不變質量 $M$【註5】的分佈，數據點是實驗數據，實綫是根據標準模型的理論預言。從圖可見，理論預言與實驗數據極為吻合。值得注意的，是在約 $M = 90 \, \rm GeV$ 處的一個峰，它對應虛 $Z$ 粒子的共振【註6】，即 $Z$ 粒子的質量約為90 GeV。歷史上，$Z$ 粒子正是透過測量Drell-Yan過程的散射截面而發現的【註7】。

至今，標準模型已成功對無數粒子碰撞實驗數據作精確解釋。以後我們還會討論到更多不同的粒子散射過程，以及它們所揭示的物理學發現。

圖五a

圖五b

圖六（圖片取自：https://cms.cern/tags/drell-yan）

註解：

水之所以為藍色，另一原因是水份子的振動模會吸收紅色波段的光，這使水具有近乎青色（綠藍色）的固有顏色。
這裏，我們假設兩顆粒子如果發生散射，那麽這兩顆粒子各自不會再與其他粒子發生散射。這是一個用來定義散射截面的理想化假設。在現實中，這個假設成立與否取決於具體的實驗設置，如粒子束的密度等。
給定數顆粒子，它們的質心系是一類參考系，在此參考系中粒子動量的總和為零。質心系中粒子能量的總和稱為質心系能量（center-of-mass energy）。
質子裏面，除了有夸克，還有反夸克。這是因為質子內部的量子漲落會隨機產生正反夸克對。
給定數顆粒子，它們的勞侖兹不變質量即是它們的質心系能量。
我們會在以後的篇章詳細介紹粒子共振的概念。
$Z$ 粒子於1983年由歐洲核子研究組織（CERN）的質子反質子對撞機的UA1和UA2實驗透過對Drell-Yan過程的觀測而發現。注意，雖然這裏的初態是質子和反質子，所涉及到的主要費曼圖仍然如圖五。