光的祕密

霍金當年寫《時間簡史》時，出版社警告他：書內每多一條公式，銷售量便會減半。

為何我仍然會在科普裡寫數學公式？這是因為我希望即使讀者未能理解推導過程的每一個步驟，也能夠體會大自然確確實實是物理與數學的美麗結合。越基本的科學所涉及的數學就越複雜，所以有人說「物理是科學之父、數學是科學之母」。終究科學並不是寫作，科學必須經過嚴謹論證，不可能每一次都用純文字去解釋。
聖經上寫道：「神說：『要有光！』就有了光。」如果宇宙真的存在一個創造者，我不相信這會是祂說過的話。天文學家使用越來越大型亦越來越精密的天文望遠鏡收集來自宇宙深處的光，希望得知宇宙的奧秘。今次我要討論一個問題，其實「光」是甚麼？

我們一般說的光，多指可見光(visible light)，波長約由400 納米至700 納米。整個電磁波譜由射電(即radio wave) 到伽瑪射線(gamma-ray)，可見光只佔其中非常少的部分。為甚麼我們會叫它們做「電磁」波呢？光又為何會是電磁波？

在日常經驗裡，「電」與「磁」看上去是兩種不同的物理現象。事實上，「電」與「磁」是同一個硬幣的兩面，本為一體，只是其中的關聯不容易被察覺而已。
1665 年，牛頓用三稜鏡把白光分解為七彩的光。他把另一個三稜鏡倒轉放在彩光後面，發現七色能夠結合變回白光。他認為光是一種粒子，其他一些人則認為光是一種波動。

1806 年，奧斯特(Hans Christian Ørsted) 發現了電流磁效應。有一天，他在課堂上做電學實驗的示範，察覺到電線旁的指南針會受電流影響，從而發現了電流可以產生磁場。這就開啟了物理學的一道大門：「電」與「磁」兩種看來互不相干的物理現象之間的關聯被發現了。

1831 年，法拉第(Michael Faraday) 發現了磁場的改變能夠產生電流，原來電能生磁、磁亦能生電。這些發現暗示了「電」與「磁」有可能只是同一種物理現象的兩個表現。

在19 世紀，科學界已經累積了非常多的電磁現象實驗數據，但卻未有人能夠解釋所有現象。終於在1865 年，馬克士威(James Clerk Maxwell) 成功將所有理論與實驗數據整理好，他只用幾條方程式就解釋了所有電磁現象，從此電學與磁學統一為電磁學，成為一個完整的電磁理論。這是現代物理史上第二次將兩個看上來不同的現象統一起來；第一次統一是牛頓用運動三定律和萬有引力定律把力學和行星運動結合起來，就是我們學過的經典力學。

讀者若有中學程度的物理底，該會聽過庫倫定律(Coulomb’s Law) 與法拉第定律(Faraday’s Law) 等等之電磁學定理。這些定律全被包含在馬克士威方程式(Maxwell’s Equations) 當中，所有的電磁現象都可以從這四個公式推導出來：

其中E及B分別為電場(electric field) 及磁場(magnetic field)、ρ是電量密度(charge density)、J是電流密度(current density)，E、B 與 J 上面的箭咀表示它們是三維向量。

現在嘗試由(1) 式推導出庫倫定律。把(1) 式作體積積分，就會得到
                  

                     (5)




左邊使用高斯散度定理(Gauss’s divergence theorem)，右邊使積分電量密度寫成總電量 Q，就有




                                                         (6)


考慮球狀對稱，左邊就只剩下沿半徑向外的電場分量，所以變成純量 EdA 的積分，故此就得到電場

                                  (7)




這就是讀者熟悉的庫倫定律。

其實當年馬克士威的方程式組包含了二十個公式，以上只有四個公式的現代版本是由黑維塞(Oliver Heaviside) 與吉布斯(Josiah Willard Gibbs) 於1884 年使用向量形式重新表達的。

說到這裡，究竟電磁學與光有甚麼關係？早在1676 年，奧勒．羅默(Ole Rømer) 聰明地利用觀測所得之木星衛星掩食時間與理論上的數值比較，從而計算出光從木星飛到地球的時間，是有史以來首次測量到光速的準確數值：約為秒速30 萬公里。
馬克士威發現，使用(1) 至(4) 式可以推導出數學之中用來描述波動的波動方程，因此他預言電磁波的存在。問題在於如何得知電磁波與光是同一種物理現象？以下我將推導電磁波動公式，答案就藏在結果之中。

考慮(2) 式，把它作旋度(curl)，並使用恆等式
(8)
就得到
(9)
由於旋度算子與對時間的偏微分算子互相獨立，作用次序可以互換。再將(1) 式代入(9) 式左邊，將(4) 式代入右邊，當我們考慮真空狀態，電量密度及電流密度均為零，就得到
(11)
同樣地，磁場也可以寫成
 (12)
讀者可以自行推導。(11) 式與(12) 式就是電磁場三維向量波動公式，它們每一個方向的分量都可以寫成下述模樣：
 (13)
這就是波動方程，f(x,t) 是位置x與時間t 的純量函數，u 是波的速率。所以我們發現電磁現象可被描述成一種波動，而且在真空下具有速率
(14)
所以這樣就證明了電磁波的存在。(14) 式之中的真空電容率與真空磁導率皆為常數：



由此計算出 c 大約等於秒速30 萬公里！「這不是光的速度嗎？何等巧合！」由於電磁波的速率與光速非常巧合地一致，這使得馬克士威不得不下結論說，光就是電磁波！

到了1886 年，赫茲(Heinrich Rudolf Hertz) 在實驗中證實了電磁波的存在，成為世上第一個傳送電磁波的人，頻率的單位赫茲(Hz) 亦以他的名字命名。
當年，赫茲在課堂上做電磁波傳送實驗，有學生問他：「這樣做有什麼實際用途？」

赫茲回答：「一點用也沒有。」

誰又知道，今天差不多每個人都有一部手提電話、電台和電視台無時無刻都在廣播、現代人最重要的必需品不是食物不是水，而是Wi-Fi。

馬克士威把電學與磁學結合成為電磁學，更把光學一同納入電磁學的範疇。這是物理史上一次極其重要的統一，大自然在人類面前展示出她偉大而美麗的一致性。不過，馬克士威的電磁理論當年亦曾被科學家所懷疑，因為(14) 式的結論「光速是個常數」完全抵觸了牛頓的物理學觀點：時間及空間的絕對性。這個問題最終在1905 年被愛因斯坦提出的狹義相對論解決了。

我想，宇宙若存在一個創造者，祂說的應該是：「要有馬克士威方程！」就有了光。

本文感謝余海峯博士同意全文轉載，原文刊登於『余海峯David．物理喵phycat』網站。