兩位飄浮在耶魯校園的寂寞天才(上) 知識沙漠裡一朵綻開的玫瑰

前陣子阿文讀了一本書，"美國的反智傳統"，這本書其實是1967年就出版的老書，作者是哥倫比亞大學美國史教授Richard Hofstadter，這本書對美國社會的觀察非常深刻，雖然是五十年寫的，現在讀來還是絲絲入扣，有時令人拍案叫絕。在書一開始，作者就提到在美國無人不曉愛迪生的大名，但是同時期美國最偉大的科學家，吉布斯，不僅生前默默無聞，甚至到今天還是有許多人不認識這位美國第一位偉大的理論物理學家！無獨有偶的是，吉布斯待了一輩子的耶魯校園中也曾出現一位了不起的物理學家昂山格，但是他的風格以晦澀難解聞名，還曾經因為上課的口碑太差被炒了魷魚！這兩位天才的名聲在物理圈外向來是非常地不響亮，阿文雖不才，對這兩位前輩的景仰如江水滔滔不絕，忍不住手癢，要為各位看官介紹他們特立獨行的一生，還請大家耐著性子，聽阿文慢慢道來呀....
 

吉布斯(Josiah Willard Gibbs )出身於一個美國北方的書香世家，吉布斯家族算得上人才輩出。他的父系血緣可追溯至曾於1701年至1707年擔任哈佛大學校長的Samuel Willard，而其母系血緣則可追溯至新澤西州學院的首任校長Jonathan Dickinson牧師。新澤西州學院是普林斯頓大學的前身。他的父親是語言學家兼神學家，名字與我們的主角完全相同。我們姑且就稱他為老吉布斯。小吉布斯於1839年出生於康乃狄克州的New Haven，他有三個姊姊，一個妹妹，是家中惟一的男孩。老吉布斯自1824年至1861年去世為止，一直都擔任耶魯神學院的聖經教授。老吉布斯強烈地主張廢奴，還曾幫助友誼號（西班牙語：La Amistad）帆船所載的非洲人尋找翻譯，讓他們能夠為他們反抗奴隸船的船員採取的血腥行為作證辯護。喜歡看電影的朋友還記得史蒂芬‧史匹堡曾在1997年拍了一部"勇者無懼"的電影嗎? 那部電影就是在描述友誼號的故事。吉布斯家族正是"美國的反智傳統"作者口中的"知識貴族"最典型的代表。
 

(圖片來源：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%89%E5%B8%83%E6%96%AF%E8%83%BD）

吉布斯10歲時到New Haven 的一所私立學校Hopkins School就讀，1854年進入耶魯學院。他的成績很亮眼，曾因數學及拉丁語成績優異而獲獎。1858年，他以優秀的成績從耶魯學院畢業。畢業後，他留校成為Sheffield Scientific School的研究生。19歲時，吉布斯當選康乃狄克藝術與科學學會會員。這個學會的會員大多是耶魯學院的教員。數學家和天文學家Hubert Anson Newton是吉布斯在耶魯唸書時的導師。Newton是吉布斯的良師益友。他還是流星體方面研究的權威，所謂流星體是太陽系內顆粒狀的碎片，其尺度可以小至沙塵，大至巨礫；更大的則被稱為小行星，更小的則是星際塵埃。我們對吉布斯念研究所的事情所知有限，只知道1861年三月，吉布斯在他的父親去世後繼承了一筆遺產。這筆遺產足以應付他的日常開支。一個月後南北戰爭爆發，但是吉布斯沒有受到徵召，因為他的健康情況不佳，其實吉布斯從少年時期起一直飽受健康問題的困擾。他的醫生曾懷疑他是結核易感者，因為他的母親就是因為染上結核而喪命。同時他還患有散光。由於當時的眼科醫師對如何矯正散光仍知之甚少，因此吉布斯不得不自行驗光，還要自行製作矯正鏡片呢。但他只在晚年時閱讀或做其他耗眼力的工作時才會戴上眼鏡。所以當年輕人紛紛投入戰場時，吉布斯卻得以一直留在耶魯平靜的校園中，算是因禍得福吧。
 

1863年，耶魯學院授予了吉布斯美國第一個工程的哲學博士學位，也是美國有史以來授與的第五個博士學位! 耶魯還是美國第一所授予博士學位的大學呢！他的學位論文題為《論直齒輪輪齒的樣式》（On the Form of the Teeth of Wheels in Spur Gearing）。在這篇文章中，他利用幾何方法探討了不同的齒輪設計樣式。畢業後，吉布斯留在耶魯當了三年助教。他頭兩年講授拉丁語，第三年講授物理。1866年，他還申請了一項有關火車煞車的專利。美國的火車因為此項專利不再需要配備制動員。同年，他在康乃狄克學會宣讀了一篇題為《長度單位的確切大小》（The Proper Magnitude of the Units of Length）的論文。他在文中提出了機械領域中計量單位系統的一個合理化方案。從這些題目有著濃濃的工程味，但是這一年他卸下助教的職務，與兩個姐姐，安娜和茱莉亞，一起去歐洲旅行。這趟旅行改變了吉布斯的一生。
 

此時正是歐洲的物理學進展神速的世代，馬克斯威爾才剛發表他的電磁方程式不久，而克勞修斯也才剛發表關於熵的論文，反觀美國在自然科學方面，特別是在熱力學、電磁學以及光學等領域的研究，都遠遠落後於歐洲，完全看不到車尾燈。可以想像這些物理的新發現對這位年輕的美國工程博士帶來了何等的震了!1866年末至1867年初，姐弟三人都是在巴黎度過的。吉布斯在那裡旁聽了由著名數學家Joseph Liouville和Michel Chasles在Sorbonne巴黎大學以及Collège de France做的講座。而在廢寢忘食的一番學習後，吉布斯患上了重感冒。為了防止病情加重變成肺結核，醫生建議他去法國藍色海岸養病。他與他的姐姐在那裡度過數月，直至他完全康復為止。

 

好學的吉布斯在痊癒之後來到德國首都柏林。吉布斯旁聽了數學家Karl Weierstrass和Leopold Kronecker,以及化學家Heinrich Gustav Magnus的講課。這些學者都是一時之選，阿文在介紹克勞修斯時都曾經提過他們。1867年8月，吉布斯的姐姐茱莉亞與Addison Van Name在柏林完婚。Addison Van Name是吉布斯在耶魯的同學。這對新婚夫婦隨後回到了New Haven，而吉布斯繼續跟姐姐安娜在德國旅行。吉布斯在海德堡大學見習了物理學家Gustav Kirchhoff和Hermann von Helmholtz以及化學家Robert Bunsen的研究工作。當時Gustav Kirchhoff 與Bunsen正在研究光譜學，而Helmholtz則是正在研究聲學與聽覺相關的問題。這些最尖端的學術成果讓吉布斯大開眼界，收獲良多。
 

1869年6月，吉布斯回到耶魯，負責教工科學生法語。同時，他還致力於設計一種新型的蒸汽機調速器。這也是他最後一項在工程領域的重要研究。1871年，他成為耶魯學院的數學物理學教授。這是美國國內第一個數學物理教授的席位。吉布斯當時其實還沒有發表任何學術著作呢。他的主要工作是負責研究生的進階課程。吉布斯此時雖然是耶魯的教授，卻是無薪的職位，幸虧他靠著父母的遺產還能安穩度日。但是他在歐洲的學習可不是白白浪費時間。兩年後，時年34歲的吉布斯發表了他的第一篇學術著作。該年，他在《康乃狄克學會學報》（英語：Transactions of the Connecticut Academy）上發表了兩篇論文，論述了如何利用幾何方法表示熱力學量。第一篇的題目 "Graphical Methods in the Thermodynamics of Fluids," 而第二篇則是"A Method of Geometrical Representation of the Thermodynamic Properties of Substances by Means of Surfaces." 他在這兩篇論文主要在探討怎樣將相圖(Phase diagram)應用到熱力學。吉布斯很喜歡使用相圖來啟發自己的想像力，而不是使用機械模型的方法。在第一篇論文中，吉布斯特別討論了體積-熵(V-S)圖。而第二篇中吉布斯將二維相圖推廣到三維，三個座標分別是體積(V) 熵(S) 以及能量(E)，並且以三維相圖討論化學反應的相結構和穩定性的問題。雖然那本期刊的讀者中大概沒有多少人能理解吉布斯的這兩篇論文，但沒想到他的論文卻引起英國大科學家馬克斯威爾的注意，吉布斯收到了來自英國的馬克斯威爾的熱情回應。馬克斯威爾甚至親手做了一個描繪吉布斯所提出的三維相圖的黏土模子。隨後，他利用這個模子製作了兩個石膏模型，並將其中一個寄給了吉布斯。那個模型現在還陳列在耶魯大學物理系呢。
 

馬克斯威爾在1875年出版的《Theory of Heat）的新修訂本中用一整章的篇幅敘述了吉布斯的這項工作。他在倫敦化學學會做的一次演講中敘述了吉布斯所提出的圖像方法，而且在為大英百科全書撰寫的有關圖解法的文章中也提到了吉布斯的工作。然而，馬克斯威爾與吉布斯之間的合作卻因其馬克斯威爾英年早逝而在1879年戛然而止。而一句話隨後傳遍了New Haven：「只有一個活人能理解吉布斯的論文。那就是馬克斯威爾，但他現在卻死了。」真令人心酸!
 

雖然難得的知音走了，吉布斯還是繼續埋頭研究，他隨後將他發展的熱力學分析方法拓展到混合的系統，並考慮到了許多實際的情況。他的研究成果都發表在《關於多相物質平衡》(On the Equilibrium of Heterogeneous Substances)的學術專著中。這部專著分為兩個部分，分別由康乃狄克學會於1875年和1878年出版。這部300餘頁的專著包含了700個有標號的方程式。有趣的是文章一開頭就是克勞修斯說的一段有關熱力學第一定律和熱力學第二定律的話：「整個世界的能量是守恆的。整個世界的熵趨向於一個最大值。」
 

Yale's Sloane Physical Laboratory, as it stood between 1882 and 1931 at the current location of Jonathan Edwards College. Gibbs's office was on the second floor, to the right of the tower in the picture
（圖片來源：wikimedia https://en.wikipedia.org/wiki/Josiah_W ... /media/File:SloaneLab.jpg)
 

吉布斯在這部專著中利用這兩條定律，再運用他高超的數學分析技巧，嚴謹而巧妙地闡釋了物理化學現象，對大量原本孤立的實驗事實和觀測結果做出了解釋，並將它們聯繫起來。像是有名的吉布斯相律也是在這裡提出的，說明了在特定相態下，系統的自由度跟其他變量的關係。它是相圖的基本原理。吉布斯相律的表達式為： F=C-P+n， 其中C代表系統的獨立組元數（number of independent component）P是相態的數目，而n是外界因素，多數取n=2，代表壓力和溫度；對於熔點極高的固體，蒸汽壓的影響非常小，可取n=1。以水為例子，只有一種化合物，C=1，F=1-P+2=3-P。 在三相點，P=3。F=3-P=0，所以溫度和壓力都固定。當兩種態處於平衡，P=2，F=3-P=1，有一個自由度，而在一個特定壓力，便恰好有一個熔點，符合吉布斯相律的描述。
 

吉布斯這部專著被後人譽為是「熱力學的《自然哲學的數學原理》」，被認為是一部「無所不包」的專著，為物理化學奠下了堅實的理論基礎。將這部專著譯為德語的Wilhelm Ostwald把吉布斯稱作是「化學能量學chemical energetics的鼻祖」。J. J. O'Connor和E. F. Robertson則是這樣評述這部專著：「這部專著的出版被公認為是化學史上一等一的要事……但是人們在許多年後才認識到它的價值。這很大程度上是由於其中的數學表述和嚴謹的推導過程令人望而卻步。特別是對於最需要它的實驗化學學生來說，更是如此。」數學總是令人苦惱，不是嗎?
 

吉布斯最擅長的正是用嚴謹的數學推導給出非常實用又貼切的物理量定義。包括1873年他引入的的吉布斯自由能(Gibbs free energy)、1876年引入的化學勢(chemical potential)都是這類的新物理量。吉布斯自由能可以用來評估一個反應是否具有自發性，它可以用來估算一個熱力系統可以做出多少非體積功。當應用熱力學於化學領域時，吉布斯能是最常用到與最有用的物理量之一。至於化學勢，指的是在化學反應或者相變中，此物質的粒子數發生改變時所吸收或放出的能量。在混合物中的某種物質的化學勢定義為此熱力學系統的吉布斯自由能對此物質粒子數的變化率，在化學平衡或相平衡狀態下，自由能會處於極小值，各種物質的化學勢與化學計量係數乘積之總和為零。可以說，吉布斯演出了數學、物理與化學完美的三重奏，在科學史上少有幾人做得到呀。
 

雖然吉布斯名揚歐陸，他卻是到了1880年才開始領到耶魯的薪酬。那一年，新成立於馬里蘭州的巴爾地摩的約翰·霍普金斯大學為他提供了年薪為3000美元的教授職位。作為回應，耶魯則為他開出了2000美元的年薪。雖然少了三分之一，吉布斯還是欣然接受老東家的條件。
 

在學術生涯初期，吉布斯曾對物理光學領域下過一番功夫。但他在研究時常有意規避對於物質微觀結構的臆測，而選擇基於宏觀的一般原則與實驗事實的問題來進行研究。所以當他發現物理光學領域的進一步研究，會去牽扯到物質微觀結構的時候，他就毅然決然地換到熱力學領域來。後來，當他意識到馬克斯威爾提出的電磁學理論其實不需要對物質的微觀結構做任何假設，又能得到許多結果時，他又再一次激起了他對物理光學的熱情，讓他重啟在物理光學領域的研究。自1882年至1889年，吉布斯一共寫了五篇有關光學的論文。在這些論文中，吉布斯運用馬克斯威爾的電磁學理論研究了雙折射、色散及其它重要光學現象，並反駁了開爾文男爵等人提出的光的機械波理論。
 

延續著他在熱力學的研究的習慣，吉布斯使用的方法既簡單又直接。儘管吉布斯在物理光學方面的研究並不如他的其它科學工作那樣為人們熟知，但是他利用馬克斯威爾方程組對於雙折射、色散以及偏振現象做出理論解釋，是古典電磁學領域的一項重大工作。吉布斯展示了馬克斯威爾方程組在不需要對於物質微觀結構及電磁波傳播介質，即所謂的「以太」，做任何複雜假設，仍能對於這些現象進行充分的解釋。同時，吉布斯強調，利用馬克斯威爾方程式，可以輕易證明縱波形式的光並不存在。光的性質都是基於光的橫波形式。反過來，如果利用開爾文男爵提議的機械波傳播於無窮可壓縮以太的理論去分析光的話，則需要更多特定條件才能成立，而馬克斯威爾的電磁理論根本不需要引入新的假設 。沒多久，光的電磁性質被德國物理學家赫茲加以證實了。吉布斯所獲得的結果為馬克斯威爾的電磁理論提供了決定性證據。有興趣的讀者請參閱阿文之前的電磁英雄傳之九:馬克斯威爾(上)(下)兩篇以及電磁英雄傳之十:赫茲。

 

Building housing the Josiah Willard Gibbs Laboratories, at Yale University's Science Hill
（圖片來源：https://en.wikipedia.org/wiki/Josiah_Willard_Gibbs ）

吉布斯還有一項影響至深的工作，就是將向量分析的符號引入物理。19世紀70年代後期，在研究向量分析時，吉布斯發現他所運用的方法與先前Hermann Günther Graßmann在研究多元代數時所利用的方法類似。隨後，吉布斯試圖宣傳Graßmann 的這項工作，並強調這個方法比四元數方法更一般，並且從歷史的角度來說，被引入的時間更早。(四元數是由愛爾蘭大數學家也是大物理學家威廉·漢密爾頓引入，當時被英國科學家廣泛應用。) 為了確立Graßmann方法更早被引入，吉布斯勸說Graßmann的後人尋找Graßmann 在1840年向柏林大學的研究機構提交的一篇論述潮汐現象的論文。在這篇論文中，首Graßmann先引入了後來被稱為向量空間（線性空間）的概念。
 

自1880年至1884年的這段期間，吉布斯致力於將Graßmann的外代數發展為符合物理學家需要的向量微積分。為了實現這一目標，吉布斯分別定義了兩個向量的內積(數量積)和外積(向量積)，並引入了並矢張量(dyadic tensor)的概念。用今天習慣的用語，並矢張量就是一個以特別標記法寫出的二階張量，是由成對的向量並置形成的。而英國的數學家和工程師奧利弗·黑維塞也在同一時期獨立地進行類似的工作。吉布斯一直嘗試讓物理學家們認識到向量分析比起當時流行的四元數分析好用。這引起了他和Peter Tait等人在19世紀90年代初於《自然》雜誌上展開了一場論戰。論戰的焦點在於英國的科學家認為描述物理量的動態變化時，非用威廉·漢密爾頓所提出的四元數的概念不可，一般向量是做不到的，舉例來說，馬克斯威爾對於三維空間中電場與磁場的大小及方向不相同的電磁場所做的描述就需要用四元數來表示。然而，吉布斯注意到四元數之間的和總是可以表示為一個純量與一個三維向量的和。為了表達兩個四元數的積，他特別定義了兩個向量的內積(數量積)和外積(向量積)。他所運用的這兩種積的表示法至今仍被廣泛運用。他所運用的一些運算技巧至今在電動力學、流體力學等領域還仍被沿用。反而是四元數，現在少有人會用了。(阿文還記得在大二應數課本看到四元數時一頭霧水，結果老師上課跳過了，哈哈哈。)
 

由於吉布斯在19世紀80年代到90年代的努力提倡，四元數最終被由他及奧利弗·黑維塞分別獨立發展的向量分析理論取代。吉布斯在確定行星及彗星的運行軌域時運用了這種向量方法，展現出這個方法的威力。他還發展了互為倒易的三元向量(Reciprocal Vector Triads)的概念。這項工作對於之後晶體學的發展非常重要。吉布斯有關向量分析的講義《向量分析要素》（Elements of Vector Analysis）起初並沒有公開發行，僅在1881年和1884年為學生印了少量。這本講義可稱是現代向量分析的開端。由美國數學家Edwin Bidwell Wilson依據這部講義改編的教科書《向量分析》（Vector Analysis）後於1901年出版。這本書推廣了後來在電動力學和流體力學領域受到廣泛使用的∇標記。對現在的讀者很難想像不用向量符號的物理學吧!
 

吉布斯的另一項在數學領域的成就是「重新」發現了傅立葉級數的吉布斯現象。這一現象在被吉布斯發現的50年前曾被一位並不出名的英國數學家Henry Wilbraham描述過，但吉布斯本人並不知情。這個現象是將不連續的函數作傅立葉級數展開後，將當選取的傅立葉級數的項數前N項加起來與原來的函數比較。當N增加時，合成的波形雖然更逼近原函數，但在不連續點附近會出現一個固定高度的過沖，N越大，過沖的最大值越靠近不連續點，但其峰值並不下降，而是大約等於原函數在不連續點處跳變值的9%，且在不連續點兩側呈現衰減振盪的形式。這個有趣的現象現在已經是大學物理數學的標準教材了。
 

像吉布斯這樣多產的知識分子，在當時的美國，毫無疑問是個異數，但是他不像與他同時代的愛迪生一樣成了家喻戶曉的人物，而是無聲無息地棲息在耶魯安靜的校園中。他還有什麼樣的貢獻呢? 請期待下一回的阿文開講囉!

參考資料:

(一) 中文 英文 挪威文 維基相關條目

(二) MacTutor History of Mathematics archive
(三) Scientific Papers of Josiah Willard Gibbs, Volume 1/Biographical Sketch

(四) JosiahWillard Gibbs and his Ensembles by K P N Murthy

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延伸閱讀
 兩位飄浮在耶魯校園的寂寞天才(下) 陽春白雪又何妨