與諾貝爾物理獎擦身而過的數學家

眾所皆知諾貝爾獎沒有設數學獎，雖然有人開完笑說是諾貝爾年輕時被瑞典數學家Magnus Gustaf Mittag-Leffler (1846–1927)給搶了女朋友，懷恨在心，故意不設數學獎，但這並非事實。諾貝爾當時認為他的獎是用來獎勵對人類具有重大貢獻的「發明或發現」，數學的研究是純理論的，對人類沒有直接的利益，不符合他設立獎項的初衷，所以沒有必要再多設數學獎。後來設立的菲爾茲獎（Fields Medal），則是在國際數學聯盟的國際數學家大會上頒發的獎項。每四年評選2-4名有卓越貢獻的數學家。得獎者須在該年元旦前未滿四十歲。獎項以加拿大數學家約翰·查爾斯·菲爾茲的名字命名。菲爾茲獎被認為是年輕數學家的最高榮譽，和阿貝爾獎均被視為數學界中與諾貝爾獎同一等級的獎。

儘管如此，還是有兩位數學家曾經多次提名諾貝爾物理獎。巧得是這兩位數學家不但都是二十世紀的數學巨人，對數學發展有莫大的影響，而且他們對物理的貢獻都是與相對論有關。他們就是法國數學家朱爾·亨利·彭加略（Jules Henri Poincaré，1854－1912）與德國數學家大衛·希爾伯特（David Hilbert,1862－1943）。
 

By Eugène Pirou (1841–1909) [1], Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=3960511

彭加略於1854年出生在法國南錫的 Cité Ducale 附近Meurthe-et-Moselle。他的父親是南錫大學的醫學教授。彭加略的堂弟彭加略是1913年至1920年的法國總統。1862年，彭加略進入南錫中學(Lycée in Nancy )。每門功課成績都是頂尖。他的數學老師稱他是"數學怪獸"，他在法國學校的頂級中學生中舉行的競賽開放式競賽(Concours Général)中贏得了幾次一等獎。1871年他從南錫中學畢業。 


1873年，彭加略以第一名考入巴黎綜合理工學院師從數學家夏爾·埃爾米特 (Charles Hermite，1822－1901)。埃爾米特最有名的成就就是證明了e是超越數。我們在量子力學中學到的 Hermitian operator, Hermitian matrix, Hermitian 函數，Hermitian 多項式都是以他來命名的。1875年彭加略畢業後繼續在國立巴黎高等礦業學校 (École des Mines)學習礦業工程，同時仍然學習數學，並於1879年三月取得普通工程師學位。之後他成為了法國礦業團（Corps des Mines）的一員，出任法國東北的沃蘇勒 Vesoul地區的一名督察。法國礦業團最初成立於1794年，目的是為法蘭西礦業局監控，促進法國礦業的開發。隨著工業革命的發展，礦業工程師的職能和權限擴展到其他產業。1810年，「大帝國礦業工程師團」正式成立。自巴黎綜合理工大學創建後，該校畢業排行前幾名的優秀生〔別稱X-Mines〕就選擇礦業團進行深造，這是礦業團唯一的招募來源。每屆招生總數最多3名。可以算得上是菁英中的菁英了。


彭加略同時還在埃爾米特的指導下繼續準備他的數學博士學位。他的博士論文 Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux différences partielles(關於依照偏微分方程所定義的函數的諸般性質)設計了一種研究這些函數屬性的新方法。不僅能得到這些微分方程的解，他是第一個研究它們的一般幾何性質的數學家。他還意識到它們可以用來建構描寫太陽系內多體運動的模型。


彭加略於1879年從拿到博士學位。同年十二月，他被邀請到卡昂大學(Université de Caen Normandie)任教。同時出版他第一本著作，是關於複變分析中的自守函數。他很快就聲名鵲起， 從1881年開始他在巴黎大學（索爾本大學）任教。但是他從未放棄他在礦業相關的職務。他在1881至1885年間作為工程師在公共事業部工作，負責北方鐵路的發展。他最終於1893年成為法國礦業團首席工程師，並在1910年成為總監。 


在1887年，瑞典國王奧斯卡二世贊助了一項現金獎勵的競賽以祝賀他的60歲壽誕，競賽的主題有幾道，其中一道是徵求太陽系穩定性問題的解答，這是三體問題的一個變化。彭加略簡化了問題，提出了「限制性三體問題」，即三體中其中兩體的質量是如此之大，以至於第三體完全不能對其造成任何擾動的特殊情況。在彭加略的論文中，他運用了他發明的相圖理論，描述了例如同宿點（homoclinic points）之類的新想法。評審之一，著名的德國數學家Karl Theodor Wilhelm Weierstraß曾說：「這個工作不能真正視為對所求的問題的完善解答，但是它的重要性使得它的出版將標誌著天體力學的一個新時代的誕生。」 這讓他在1888年贏得了獎金。


這個備忘錄在《數學期刊》（Acta Mathematica）中出版，出版之前編輯找到一個錯誤。該錯誤實際上導致了彭加略進一步發現這個系統的演變居然是渾沌的，意思是說如果初始狀態有一個小的擾動，則後來的狀態可能會有極大的不同。如果該小變動不能被我們的測量儀器所探測，則我們不能預測最終狀態為何。渾沌現象的研究在二十世紀中葉以後成了顯學，而它的祖師爺正是彭加略! 


彭加略之所以被提名諾貝爾物理獎倒是與他在天體力學的成就無關，主要是在發展特殊相對論所做的貢獻。1893年彭加略加入法國經度局，參與統整全世界時間的計畫。在1897年，他開始考慮高速移動的鐘如何互相同步的問題。當時由於鐵道交通開始暢通，在起點校準好的時鐘到了目的地往往不準了，所以校準移動物體上的時鐘成了實際的問題。彭加略是第一個將羅倫茲變換中的局所時(local time)賦予物理意義的科學家。彭加略在1900年的論文中描述了一個相對靜止時鐘的同步程序。 因此，在一個參考座標系中同時發生的兩個事件在另一座標系中不是同時發生的。 它與愛因斯坦後來提出的方案非常相似。 但是，彭加略將移動時鐘的“局所”或“表象”時間與以太中靜止時鐘的“真實”時間區分開。 


彭加略也是最早看出相對性原理是研究電磁現象的關鍵之人。早在1889 年彭加略曾經認為”以太”的效應也許根本無法測量，所以以太的存在毋寧說是物理問題，不如說是哲學問題。甚至提到也許日後以太這個概念會被揚棄。但是又接著說，以太是個好用的假設，而且一直使用它。1895年彭加略認為麥克生實驗的結果表明了，要測到物體與以太的相對運動是不可能的事。1898年，在「時間的測量」一書中，他闡述了相對性原理，根據該原理，沒有力學或電磁實驗能夠區分物體是處於勻速直線運動的狀態還是在靜止的狀態。1900年時提出他把相對性原理推廣，主張運動定律應該對所有慣性座標系都相同。1904年他甚至認為沒有方法可以區分靜止的觀察者與做直線等速相對運動的觀測者。但是他對這麼強烈的主張有所保留。同時他也是第一個了解羅倫茲變換是一個數學上的群的人。今天慣性系間的時空變換加上時空平移稱為彭加略變換。在彭加略變換下兩個時空點的時空距是不變的。


1905年，彭加略發表了他第一篇關於相對論的論文「論電子動力學」。當羅倫茲發現電磁場的動量與能量推出來的縱向電磁質量居然不一致，而且電子靜止質量與靜止能量之間出現一個4/3的因子。更嚴重的是電子在高速時嚴重變形，如何保障電子不會支離破碎呢？這些問題也被彭加略解決了，他引入彭加略應力，保障了電子的完整，也解釋了4/3的因子和縱向電磁質量的問題，簡單地說就是相當於電子的電磁能的三分之一的能量是由彭加略應力所提供。


這年夏天愛因斯坦利用光速恆定和相對性原理推導出羅倫茲變換。愛因斯坦特殊相對論的文章沒有引用其他任何文獻。它確實在第9部分的第二部分中提到，論文的結果與羅倫茲的電動力學是一致的。與彭加略，羅倫茲不同的是，愛因斯坦從一開始就否定了以太的存在，而局所時就是物理時間。可謂一刀斬斷了戈丁結。


另外彭加略也是質能互換的前驅。他在1900年認為輻射可以視為等效質量為E/c²的虛擬流體。他是從羅倫茲的“電子理論”中得到啟發，從馬克斯威爾理論中的輻射壓力得到靈感的。後來在1905年冬天，愛因斯坦率先提出，當物質損失掉一定量的能量（輻射或熱量）時，其質量會降低E/c² 。


1887年時年32歲的彭加略就被選為法國科學院院士。1906年成為其院長，並於1909年入選法蘭西學術院。他除了出版了兩本重要著作，使得天體力學有一個嚴格的數學基礎之外，他也是數學和物理的通俗作家，並寫了多本給一般大眾的書。彭加略對物理的發展一直都極感興趣。當欒琴發現X光時，正是彭加略在法蘭西科學院中介紹X光，他還假設發出螢光的物質也發出X光。雖說這想法是錯的，卻也啟發了貝克勒發現了放射線呢。


1912年彭加略接受手術，卻不幸於1912年7月17日去世。 享年五十八，可以說是法國數學界的一大損失。他終生被提名諾貝爾物理獎五十一次，終究與獎無緣，真是可惜。



另一個與諾貝爾獎結緣的德國數學家希爾伯特則是1862年出生於哥尼斯堡，1885年他從哥尼斯堡大學拿到博士以後留下來當講師。1888年希爾伯特提出了證明對於任意變數的多項式，存在有限個產生子，但這是一個存在性證明，不是一個建構式證明。希爾伯特將研究結果發表到《數學年刊》，高爾頓(Paul Albert Gordan ，1837 – 1912) 是相關領域的權威，他不欣賞希爾伯特的革命性想法，將他的論文退稿，留下一句評語： 

不過另一位數學家菲利克斯·克萊因(Felix Klein，1849－1925)注意到希爾伯特研究的重要性，他保證這篇論文可以在沒有任何更改的情形下出版。由於克萊因的鼓勵，希爾伯特將此方式擴充後再度投稿到《數學年刊》，克萊因在讀完手稿後，寫信給希爾伯特，說： 
 

在希爾伯特的方式廣為認同之後，高爾頓也說： 

1895年希爾伯特在克萊因的推薦下成為哥廷根大學的教授。克萊因自從在與彭加略的競爭中累倒後，就逐漸將工作側重點轉移到數學教育。在希爾伯特的帶領下，哥廷根大學的學術建設走向巔峰，是當時的世界科學中心，為德國帶來了很大影響力。「打起背包去哥廷根」、「哥廷根以外沒有生命!」成為當時流行於世界各地數學系學生中的口號。


1900年，希爾伯特在巴黎的國際數學家大會上作了題為《數學問題》的演講，提出了23道最重要的數學問題，這就是著名的希爾伯特的23個問題。


但是與彭加略不同的是，希爾伯特在1912年之前對應用數學完全沒有興趣，他的同事兼好友Hermann Minkowski (1864–1909)甚至曾開玩笑說，要去見希爾伯特前他需要檢疫隔離個十天，因為希爾伯特只作”純數學”，而Minkowski 作的太過於應用，怕會”汙染”他。1900年，希爾伯特在巴黎的國際數學家大會上作了題為《數學問題》的演講，提出了23道最重要的數學問題，這就是著名的希爾伯特的23個問題。除了第六個問題：物理的公理化，其他都是純數學的問題。有趣的是從1912年之後﹐希爾伯特卻開始對物理產生興趣。甚至請家教來教他呢。
與物理淵源不深的希爾伯特之所以被提名諾貝爾物理獎的原因與他寫下著名的希爾伯特作用量(Hilbert action)有關。從希爾伯特作用量可以很容易用變分法導出愛因斯坦重力場方程式。而且能將重力和其他同樣從作用量出發的古典場論如電磁場統一起來；還可以輕易地根據諾特定理找到守恆量。有些學者認為愛因斯坦方程式的最後版本最早是由希爾伯特寫下來的，但是有些學者不這麼認為，這件事已經成了科學史上的一個著名的公案。相關資料汗牛充棟，阿文在此簡單交代一下。


愛因斯坦在1907年提出等價原理以後就不斷努力要將相對論擴展到非慣性系。愛因斯坦和他的大學同學，格羅斯曼(Marcel Grossmann 1878–1936)在1913年出版的所謂的Entwurf 理論，首先提出了使用擬黎曼度量來描述重力。格羅斯曼認定收縮的黎曼曲率張量，也稱為里奇張量，正是關鍵。但是當他們以此寫下場方程式後卻發現，這個方程式取了弱重力場的極限之後，並沒有明顯地得到牛頓的萬有引力方程式。所以愛因斯坦重起爐灶，最後得到新的場方程，但是這個方程式不僅看起來非常複雜。更糟糕的是它並不能解決水星近日點的進動問題。它產生的值只有觀測值的十二分之五。


1915年6月至7月7日，希爾伯特邀請愛因斯坦到哥廷根大學進行為期一周的廣義相對論的講座，因為當時希爾伯特正醉心於結合電磁理論與重力。愛因斯坦將1914年寫的文章“The Formal Foundation of the General Theory of Relativity”, 寄給希爾伯特過目，而希爾伯特居然找到其中的數學錯誤。愛因斯坦跟索末菲抱怨形容希爾伯特就像在一碗湯裡挑到一根頭髮，整碗湯都毀了。看來愛因斯坦只好重頭開始。


四個月後，愛因斯坦卻有了重大的突破。從11月4日(周四)開始一連四周他在柏林的普魯士學術院發表四次演講，最後一次演講時寫下了著名的愛因斯坦重力方程式，既然如此，為何有人會將這份功勞記到希爾伯特頭上? 這得要將兩人在這段時期的信件往來交代清楚才能說清楚。


愛因斯坦在11月4日的第一場演講先強調物理定律在不同座標系應該都等價的，換言之，場方程應該是協變的。但是他先假定相應的座標變換的行列式絕對值為1。接著他寫下場方程:
 

這正是他與格羅斯曼一開始提出的方程式。演講的最後，愛因斯坦用了一個”任意”的座標條件得到了第一階近似，正是度規張量的帕松方程式，與牛頓理論搭上線了。

愛因斯坦在11日給了第二場演講，他把黎曼度規行列式為1設成座標條件，但是如此一來，方程式左邊的跡(trace，對角元素的和)為零，所以愛因斯坦只好將右手邊能量-動量四維張量的跡也設為零。雖然電磁場對應的能量-動量四維張量的跡的確是零，但是對一般物質而言，卻未必是零。不過此時的場方程倒是達到了協變的要求，但還沒有達到一般協變的要求。


大約此時，愛因斯坦向希爾伯特發送了這兩次演講的兩篇論文副本。13日希爾伯特回信告訴愛因斯坦自己的進展，並且邀請愛因斯坦16日來哥廷根，但是愛因斯坦表示無法赴約。15日，希爾伯特預告將在20日發表演講。16日，希爾伯特先在哥廷根數學學會“物理學的基本方程”上發表了演講。但是演講內容沒有付梓。接著希爾伯特向愛因斯坦發送了一些有關他16日演講的信，但是這封信後來沒有留下來。18日愛因斯坦回信表示希爾伯特的系統與他在前幾週發現的系統相當。愛因斯坦在這封信中還告訴希爾伯特，他“考慮了三年前唯一可能的一般協變場方程”，並補充說：“困難不在於找到一般協變方程式; 利用黎曼張量這並不難。難的是要認出它們是牛頓萬有引力定律的某種推廣”。愛因斯坦在那封信中還告訴希爾伯特，他使用協變場方程，並假設能量動量張量的跡消失，算出了水星的正確近日點進動。其實就在當日，愛因斯坦在普魯士學院的聽眾面前用他的場方程導出行星的軌道，得到水星近日點進動的數值，而且與觀測值一致!兩天後希爾伯特在哥廷根演講。希爾伯特提出了一組方程作為物理學的基本方程。這時愛因斯坦用的方程式還沒有跡項。


在25日的最後一次演講中，愛因斯坦終於提出了正確的場方程。他在右手邊減去上一項：能量-動量張量的跡乘上度規張量的一半，這樣不需要再假設能量-動量張量的跡為零，也不再需要要求黎曼度規行列式為1，而是真正符合一般協變性的方程式了。愛因斯坦還發現新的方程式產生的水星近日點進動的值沒變，因為他用的是真空解，新加的項梅有影響。愛因斯坦的這篇論文發表於12月2日，裡頭沒有提到希爾伯特。


由於許多人相信希爾伯特在20日就寫下重力方程式，包含了跡項，無疑地引起了愛因斯坦的不滿。他在11月25日寫給桑格(Heinrich Zangger, 1874-1957)的信中，愛因斯坦意有所指地說有人想”盜用”(德文nostrifiziert)他的理論。 不過沒多久希爾伯特釋出善意，12月4日，希爾伯特提名愛因斯坦當選為哥廷根數學學會的通訊成員。 在12月20日給希爾伯特的信中，愛因斯坦提議和解來解決爭端。希爾伯特也從善如流，他的20日論文在1916年三月底出版時，將愛因斯坦最後那篇放進參考文獻中，並且宣稱自己的結果與愛因斯坦”宏偉”的理論的結果相符。這一篇論文後來重寫並於1924年重新出版，希爾伯特寫道：愛因斯坦在他的最新出版物中，直接回到了我的方程式。


到底希爾伯特在20日的原始論文中有沒有寫下最後版本的重力方程式呢?希爾伯特的論文的校對樣本後來被歷史學者找到了，上面被打印機標記為“ 12月6日”。校對樣本雖然保存下來，但大約四分之一的頁面丟失。現存部分包含了希爾伯特作用量，雖然可以通過變分導出希爾伯特論文定理III中得出的收縮比安奇恆等式，但是殘存的樣本並沒有包含這些步驟。更重要的是，裡頭的場方程並不是完全是協變的。除了十個協變的度規張量的方程式外，為了維持方程式滿足定命性，還需要四個非協變的輔助方程式。這與出版的論文大異其趣，所以很可能是希爾伯特在得知愛因斯坦11月25日演講的內容改動的。當然啦，整件事錯綜複雜，兩人之間到底誰”啟發”了誰，外人實難知曉，有興趣的讀者請自行參閱相關的資料了。不過希爾伯特後來提過廣義相對論是愛因斯坦獨力完成的，只是針對誰式第一個寫下方程式的，始終沒明白表態。


希爾伯特被提名諾貝爾獎六次，其中四次是法國數學家Jacques Hadamard提名的還有兩次是瑞典數學家Torsten Carleman，比起彭加略被提名五十一次，那真是小巫見大巫，可是你若去問物理系的學生老師，認識希爾伯特的卻一定要多得多，這與廣義相對論無關，倒是跟一本書有關。那就是《數學物理方法》（Methoden der Mathematischen Physik)。這本書分成兩冊，共約1000頁，以大衛·希爾伯特和理查德·庫蘭特（Richard Courant）的名義出版。本書的內容是根據希爾伯特講課的內容編排而成的。庫蘭特扮演著主要的編輯角色，但哥廷根大學的許多人都參與了寫作，算是集體創作。[喬丹也有分，大家可以參考一下與諾貝爾獎擦身而過的物理學家們：被丟包的合作者(三)]。這本書在1924年出現時，與當時的理論物理中的量子理論問題幾乎沒有直接聯繫。但1926年薛丁格方程出現後，書中內容與新的波動力學直接相關。尤其是量子力學的數學結構正是由希爾伯特所開創的函數空間，一般稱為希爾伯特空間(Hilbert space)，所以這本書很快就贏得了經典的聲譽，並且是高級數學物理課程中引用量最高的一本書。


希爾伯特對物理的影響還有另外一個管道。二零年代哥廷根成為量子物理的重鎮的推手馬克斯·波恩年輕時正是希爾伯特的助手。從第一堂課起，希爾伯特就意識到了波恩超常的能力，讓他作為自己的講座抄錄員，為哥廷根大學的學生數學閱覽室記錄課堂筆記。這使得波恩開始與希爾伯特進行定期的交流。希爾伯特向波恩傾囊相授。波恩能與海森堡，喬丹共同建立矩陣力學，絕非偶然。


無奈，德國納粹政權上台後，實行種族主義的政策，使本來獨占科學鰲頭的德國人才流失嚴重，連波恩都被迫流亡到英國。希爾伯特晚年費盡心力，但仍難以挽回哥廷根整體學術實力走下坡路的大局。1943年，心情憂鬱的希爾伯特在哥廷根去世。他死前感嘆哥廷根大學的衰落：「數學？什麼都沒有了！」。
 

參考資料:
(一)中文 英文 德文維基相關條目
(二)FROM THE BERLIN "ENTWURF" FIELD EQUATIONS TO THE EINSTEIN TENSOR II: November 1915 until March 1916, by Galina Weinstein arXiv:1201.5353
(三)Why did Einstein Reject the November Tensor in 1912-1913, only to Come Back to it in November 1915? by Galina Weinstein, Studies in History and Philosophy of Modern Physics 62 (2018), 98-122
(四)Belated decision in the Hilbert-Einstein priority dispute, by Corry L; Renn J; Stachel J，SCIENCE 278 (5341): 1270-1273 (1997)
(五) FROM BECQUEREL TO NANOTECHNOLOGY: ONE CENTURY OF DECLINE OF SCIENTIFIC DISSEMINATION, PUBLISHING AND TECHNOLOGY TRANSFER, by G. MARGARITONDO，Modern Physics Letters B, Vol. 24, No. 12 (2010) 1151–1163