專業 物理

粒子物理行(十)量子電動力學和費曼圖

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撰文者:黎偉健
發文日期:2021-05-17
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  • 電磁交互作用是日常生活中最常見的基本交互作用。它是帶電荷粒子和電磁場的交互作用。由於電磁場由光子組成,電磁交互作用也就是帶電荷粒子和光子的交互作用。在第五章,我們簡單介紹了電磁交互作用。在本章,我們會討論描述電磁交互作用的量子場論-----量子電動力學 (quantum electrodynamics)。


    費曼法則
    粒子之間的交互作用可以用一種圖像來描述,稱為費曼圖 (Feynman diagram) 。我們在前幾章已經對費曼圖作過簡單介紹。我們在這裏會重新對費曼圖作較精準和普遍的介紹。費曼圖描述的是粒子的散射 (scattering) ,也即是粒子的碰撞,是粒子加速器實驗裏觀測的過程。例如,圖一是描述兩顆電子的彈性散射 (e-e-→e-e-) 的一個費曼圖。


     
    Fig_1
     
    圖一
     
    費曼圖由代表自由粒子的線 (line ) 和代表粒子交互作用的頂點 (vertex) 組成。費曼圖中,時間的流逝從左至右,即左端是初態,右端是終態。只有初態和終態被觀測到,中間發生的過程不能被觀測到。出現在初態或終態,能被觀測到的粒子稱為實粒子 (real particle);在費曼圖中出現,但並非出現在初態或終態的粒子稱為虚粒子 (virtual particle)。


    讓我們先考慮電子和光子的交互作用。一顆自由電子在時空中的直線運動由一條帶箭頭的實線表示(圖二)。箭頭的方向代表電子負電荷的流動方向。所以,如果箭頭指向右方,即負電荷流動順時間流逝方向,則該實線代表一顆電子的自由運動; 如果箭頭指向左方,即負電荷流動逆時間流逝方向,即該實線代表一顆反電子(即正電子)的自由運動。 一顆自由光子在時空中的直線運動由一條卷線表示(圖三)。由於光子是自身的反粒子,卷線上不須附加箭頭。電子與光子在時空中的交互作用由圖四的頂點表示。交互作用以頂點表示,代表交互作用發生在某時空點上,即交互作用具有局域性 (locality)。例如,圖一中有四條實線,一條卷線。左邊的兩條實線代表兩顆初態實電子,右邊的兩條實線代表兩顆終態實電子,而卷線代表一顆虚光子。如圖二、三和四,闡明構成費曼圖的方法,稱為費曼法則 (Feynman rule)【註1】。在量子場論裏,粒子之間的交互作用完全由費曼法則決定。所以,圖二、三和四給出了在量子電動力學裏電子和光子交互作用的費曼圖的一切可能構成方法。費曼法則不但給出了費曼圖的構成方法,還給出了費曼圖所代表的散射幅 (scattering amplitude)(見第四章)的數學形式。我們可以從散射幅的平方得知該散射過程發生的概率。


     
    Fig_2
    圖二


    Fig_3 (2)
    圖三


    Fig_4 (1)


    圖四

     
    光子-電子彈性散射

    一切由圖二、三和四構成的費曼圖都是可能發生的散射過程。例如,圖五顯示了光子-電子彈性散射(康普頓散射 (Compton scattering) )e-γ → e-γ(光子記為γ)的一個費曼圖。在該費曼圖中,一顆光子和一顆電子結合,變成一顆虚電子,然後該顆虚電子衰變成一顆光子和一顆電子。

    Fig_5

    圖五
     

    湮滅作用
    根據費曼法則,我們可以畫出如圖六的費曼圖。在該費曼圖中,初態是一顆電子(箭頭向右的實線)和一顆正電子(箭頭向左的實線),它們互相湮滅,變成終態的兩顆光子。這種散射是一種非彈性散射,因為終態的粒子種類或數目與初態不同。粒子的湮滅在經典物理和非相對論性量子力學裏是不可能發生的,它是量子場論特有的預言。


     

    Fig_6

    圖六

     
    高階費曼圖
    如圖一、五和六的費曼圖,没有包含迴圈,稱為樹狀圖 (tree diagram) 。我們可以在樹狀圖裏把更多的虚粒子線加進去,得到帶迴圈 (loop) 的費曼圖。例如,圖七便是在圖一裏加入多一條虚光子線的結果,含一個迴圈。注意,每一個如圖四的頂點都對應一個因子e。在自然單位系統 (ℏ=c=1) 中,e2/4π≈1/137。所以,帶迴圈的費曼圖對散射幅的貢獻遠小於樹狀圖的貢獻。可是,在精準的理論計算中,必須把帶迴圈的費曼圖考慮在內。費曼圖中迴圈的的數量愈多,其對散射幅的貢獻愈小。圖八顯示了一個含兩個迴圈的費曼圖例子。


    Fig_7

    圖七


    Fig_8

    圖八

     
    對於某些散射過程,沒有對應的樹狀圖,只有帶迴圈的費曼圖有貢獻。例如兩顆光子的彈性散射 (γγ → γγ),這個過程沒有對應的樹狀圖,而帶迴圈的費曼圖如圖九。光與光之間的散射在經典電磁理論裏是不可能的,它是量子電動力學特有的預言。


    Fig_9

    圖九

     
    其他粒子的費曼法則
    圖四的頂點費曼法則只適用於自旋為1/2的帶電荷基本粒子與光子的交互作用。對於自旋非1/2,或非基本粒子(即複合粒子)的粒子,它們與光子的交互作用頂點與圖四不同。例如,對於自旋為零的基本粒子 (其自由粒子由帶箭頭的虚線表示(圖十)),它與光子的交互作用頂點如圖十一a和b。對於複合粒子,即使自旋為1/2,它與光子的交互作用頂點也會比圖四複雜,除了如圖四的頂點,它與光子的交互作用頂點還有如圖十二的。



    Fig_10

    圖十


    Fig_11a

    圖十一a


    Fig_11b

    圖十一b

    Fig_12

    圖十二

     
    量子電動力學的成功
    量子電動力學是歷史上第一個對實驗結果作正確精準預測的量子場論。它準確預測了電子磁偶極矩的值,並且正確地預言了正反電子的湮滅作用、真空極化、真空能和兩顆光子的彈性散射。我們會在將來對這些震撼的科學發現作詳細介紹。
     
    註釋:

    1)費曼法則展示的是繪畫費曼圖的方法,它本身不是費曼圖,所以没有把從左至右定為時間流動方向的限制。在繪畫費曼圖時,我們可以把圖二、三和四作任意旋轉或鏡像反演。 

    作者:
    黎偉健博士
    Department of Physics, Technical University of Munich, Germany
    wk.lai@tum.de
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