隨想 物理

病毒傳播模型簡介

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撰文者:黃定維
發文日期:2020-03-23
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  • 病毒傳播現象與拋物線軌跡大不相同,有些人以為前者與物理毫不相干,後者才屬物理範疇。若將物理學定義為探索自然界的基本組成與交互作用,則拋物線軌跡在此一範疇下可以化約成研究質點在重力場中的動力學行為,並早已成為各級物理教科書的標準題材。相較之下,病毒傳播似乎牽涉許多複雜因素,由小而大包含病毒的生化結構、病毒侵入的方式、人體出現的病徵、人際傳染的機制等,確實很難類比於物理學科中,簡單的物質基本交互作用。但是,若將物理研究界定在探索複雜現象背後的基本機制,試圖以簡單的參數與方程式來統整多樣化的複雜現象,則病毒傳播與拋物軌跡都可是物理探索的有趣題材。在拋物運動中,僅使用兩個參數,質量與重力加速度,就可以有效描述在給定初始條件之後的運動軌跡。病毒傳播也是如此,因此在大多數非線性動力學的課本中,病毒傳播也成為標準題材[1,2]
     

    以下將簡單介紹一個已經流行將近百年的病毒傳播模型[3]。

    考慮疾病在一封閉社群中傳播,此一簡易模型僅有三個固定參數:感染率α,死亡率β,以及社群總人數N。所有人區分為三類:x代表健康人數,y代表生病人數,z代表死亡人數,x + y + z = N。隨著時間演化,健康的人會受疾病感染而成為生病的人,生病的人會因疾病嚴重而成為死亡的人。模型即在描述此這三種人數隨著時間的消長變化,其微分方程式如下:

    螢幕快照 2020-03-23 下午12.07.27
     

    其中螢幕快照 2020-03-23 下午12.08.40分別代表健康、生病、與死亡人數隨時間的變化率。

    上面的三個公式代表的意義如下:

    第一式表明健康人數因感染疾病而減少。生病的人是疾病傳播的源頭,生病的人越多,疾病傳播越快;健康的人是疾病傳播的對象,健康的人越多,疾病傳播也越快。若沒有生病的人,疾病無從開始;若沒有健康的人,疾病也無從傳播。

    第二式表明生病人數的兩種變化。若因感染疾病,生病人數的增加等於健康人數的減少;若因嚴重死亡,生病人數的減少等於死亡人數的增加。

    第三式表明死亡人數因疾病致死而增加。動力學行為由一階微分方程式主導,意即給定初始條件之後,後續演化行為已經完全確定。


    聯立方程式的初始條件為:沒有人死亡,絕大多數人健康,少數人生病。

    演化終點為:沒有人生病,部分人維持健康,部分人不幸死亡。

     

    第一式x的微分永遠為負,健康人數將會單調遞減。第三式z的微分永遠為正,死亡人數將會單調遞增。第二式y的微分可正可負。若初始微分為負,生病人數將逐漸減少,直到歸零,疫情並未擴展。若初始微分為正,生病人數將逐漸增加,疫情開始爆發。由於社群人數固定,生病人數不可能一直增加,疫情不會一發不可收拾。當生病人數增加,健康人數則隨之減少,疾病傳播因而減緩。生病人數將會在到達高峰之後,逐漸減少,最終歸零,疫情就此結束。因此疫情爆發與否的關鍵在於第二式y的微分初始值,

    此模型指出疫情爆發的關鍵可以用三個參數具體表達如下:

     

    Nα>β

     

    就一般直覺,高感染率,低死亡率,疫情較易爆發。因為在時間演化過程中,會累積大量生病人數。若是低感染率,高死亡率,則疾病不易擴散。社群大小所扮演的角色往往容易被人忽略,其實,疫情爆發與否並不完全由疾病的感染率與死亡率來決定,相同的疾病在小社群中無法傳播,在大社群中卻會爆發疫情。
     

    此模型也顯示,在疫情結束之後,死亡人數並非與社群人數成正比。相同的疾病,在更大的社群中會導致更高比率的死亡人數。若將一個大社群隔離為兩個小社群,或許疫情就不會爆發,如上述不等式所示;即便疫情仍然爆發,兩個小社群中的死亡人數總和,也會低於一個大社群中的死亡人數。

     

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    圖片來源:123rf
     

     

    此模型並非針對某一特定疾病,而是適用不同疾病傳播的共通架構,不論疾病的緣由是病毒、細菌、或微生物感染,不論傳染的機制是接觸、飛沫、或空氣,只要針對不同疾病調整適當的參數α與β即可。就像拋物軌跡的不同物體,不論大小、形狀、或材質,只要適當調整參數質量即可,甚至在不同星球表面的拋體運動,也可藉著調整參數重力加速度,而獲得合理有效的描述。
     

    上述疾病傳播模型更可以透過參數意義的重新詮釋,更加擴大其適用範圍。譬如,對於死亡人數極高的傳染病,與不至於致命的輕微疾病,一般人的觀感可能大不相同,也不會將這兩種疾病歸屬同一類別。但在模型中,僅需將死亡人數z重新詮釋為康復人數,就可以用來描述不致命的流行性疾病,這些康復人數由於身上已有抗體或其他免疫機制,將不再具有感染力,既不受疾病感染,也不會傳染別人。
     

    此模型也可以加入更多變化、更多參數,而成為更為細緻的模型。譬如,在原始模型中,死亡與康復只能二擇一,若是要同時討論死亡與康復,就必須再增加一個新的變數與方程式。原始模型並沒有空間結構,若要探討疾病傳播與地域的關係,可以引入各種不同網路結構。在原始模型中,參數α與β是固定常數,適用所有人,也不隨時間改變,但只要略作修正,就可以因人而異,譬如所謂的超級傳播者;也可以因時而異,譬如隨著疫情發展,或是各類的防疫措施而有所變化。

     

    物理探索嘗試以最精簡的方式來瞭解複雜現象背後的基本架構,在化約的過程中,忽略某些細節是必要的,這是缺點,也同時是優點。以疾病傳播模型為例,因為忽略疾病細節,所以參數α與β僅能藉由經驗數據來擬合,無法從基本原理得出,是其缺點。但也正因為忽略疾病細節,所以用相同的架構可以理解不同疾病的傳播,是其優點之一。熱力學的發展也有類似的經驗,因為忽略原子分子細節,反而讓理想氣體方程式可以適用不同的氣體。忽略疾病細節的優點之二,在疫情初期,在疾病細節尚未釐清之時,就可以經由模型預測疫情發展趨勢。因為參數不多,可以在疫情初期藉由少量數據擬合獲取參數值,疫情的後續發展可以直接透過模型來預測。譬如,觀察生病人數在疫情初期的遽增,可以預測高峰出現的時間,以及疫情結束的時間,或是死亡總人數。就如同只要觀測拋物軌跡的一小部分,就可以得知相關參數,並且預測完整的拋物軌跡。

     

     

    參考文件:

    [1] 第三章§24,非線性動力學與混沌基礎,劉秉正,(徐氏文教基金會 2006)。

    [2] Problem 3.7.6 in Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology, chemistry, and engineering, by S. H. Strogatz, (Perseus Books Publishing 1994).

    [3] W. O. Kermack and A. G. McKendrick, Contributions to the mathematical theory of epidemics, Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Vol. 115, No. 772, pp. 700-721 (1927).

     

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