教育 物理

如何看懂物理公式 (三) :以數學運算取代邏輯推理

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撰文者:蔡坤憲
發文日期:2019-09-30
點閱次數:2182
  • 在這一系列的專欄中,我們已分別討論過「定義」與「定律」的特性,其中無論是想清楚地描述某個觀念的意義,或是要明確地表達透過實驗歸納而得出的結果,由於內容涉及變數之間的數量關係,因此數學方程式往往是最佳的表達方式。所以,除了理解物理公式之中,各個物理量之間的正比或反比關係之外,能根據已知的物理公式來做推理與演繹,也是「看懂物理公式」的一個重要能力。

    對許多同學而言,等加速度運動公式可說是在高中物理課程遭遇到的第一道難題,能否掌握這些公式,可算是踏入物理學世界的第一道門檻。本文將透過這四個公式,向初學物理的同學展示,物理學家如何透過數學運算來取代邏輯推理,如何從定義出發,演繹出重要或有趣、有用的推論,讓同學看到「學物理」的另一個面貌,並理解「學物理」與「學數學」是可以相輔相成的兩件事。



    運動學:以數學為語言來描述運動的方法

    描述物體運動的方式是透過位置座標 (x) 、位移 (∆x) 、時間 (t) 、速度 (v) 與加速度 (a) 這幾個變量來完成的,雖然直觀上來說,這不是很困難,但當大多數同學第一次在物理課堂上,接觸到這個主題時,相信很多人都因為它而卻步了,因為眼前的這些數學方程式,讓明明不是很困難的觀念,變得複雜與抽象! (如果你稍後有了想翻頁跳過本文的念頭,或許就是最好的證明了!) 

    當物體在運動時,最明顯的就是它的位置會發生改變,精確來說是「隨時間而變」。因此,描述物體運動的快慢程度,也就是速度的定義,是以位置的變化量 (∆x,末位置減去初位置,稱為位移) 除以時間間隔 (∆t) :
    eq1

    根據這個定義,可以得出二個簡單的推論,當物體做「等速度」運動時:
    •    位移的大小等於速度乘以時間 (∆x = v ∙ ∆t);
    •    運動所需的時間等於位移除以速度 (∆t = ∆x/v) 。

    附帶一提,在日常生活中,我們並沒有去區分「位移」與「距離」,或是「速度」與「速率」這些用語之間的差異,所以常常會聽到「速度等於距離除以時間」或是「距離等於速度乘以時間」等說法。然而,對於開始接觸高中物理的同學,要細分這些名詞的差別,以及它們的正負數值在「向量」上有著代表方向的意義,例如左右方,或東西方。

    然而,當物體運動的速度「愈來愈快」或「愈來愈慢」時,位移就不再只是速度乘以時間這麼簡單而直接了。

    早在四百多年前,伽利略以數學式的方式,寫下我們如今熟悉的「加速度」的定義:
    eq2

    雖然它與速度的定義,在數學上的模式相同,但卻能讓我們對於「愈來愈快」或「愈來愈慢」的運動情形,有了明確而清楚的認知,所以其實是一件很了不起的事情。

    當物體的速度發生變化時,我們便說這個物體有加速度,雖然在日常生活中,我們會有「減速度」的說法,但在物理課堂上,比較正式的說法是「負的加速度」或「加速度為負值」。我們之所以偏好這個說法,是因為透過正負值,我們可以把加速度進一步抽象為數學裡的「向量」,亦即具有大小與方向性的物理量,例如剛剛所提到的位移與速度。



    這樣定義會得出什麼結果?

    讀者或許還記得我們曾經建議「看到定義時不要先問為什麼」,然而這並不表示「定義是沒有為什麼的」。相反的,物理學家之所以會下某個定義,往往是因為有了這個定義之後,可以得出一些有意義的結果。

    以加速度的定義為例,在正式學習微積分之前,雖然「忽快忽慢」的問題還是無法處理,但是對於「穩定地」加速或減速的運動,也就是「等加速度運動」的情形,我們倒是可以透過代數運算,推理出一些很有意思的結果。

    首先是末速度的公式。如圖一 (a) 所示,假設在啟動碼錶的瞬間,我們知道物體的初速度 (vi) 與加速度 (a) ,那麼在一段時間 (t) 之後,物體的末速度 (vf) 速度為 (圖一) :

     
    vf = v+ at   (公式1)
     
    fig1
    圖一:已知初速度、加速度與運動時間,試問 (a) 末速度與 (b) 運動距離分別為若干?
     
    這個看似複雜的數學公式,或許也曾讓許多許多學生對物理望之卻步,然而,只要能理解代數裡的移項運算 (或等量公理) ,就能理解這只是加速度定義的另一個版本:
           
    075數學式圖片
    在習慣上,我們通常把代求的未知數寫在等號左側,因此左右對調一下即為公式1。


    函數圖形面積的物理意義

    接著我們再來看看位移的問題。如圖一 (b) 所示,假設已知條件與前問題相同 (已知初速度與加速度),那麼在運動一段時間 (t) 之後,物體移動了多少距離?

    要解決這個問題之前,要先往回一步,從「等速度運動」與「距離」之間的關係開始思考。就等速度運動而言,運動的距離等於速度乘以時間,這個想法一點都不困難,但在這裡,我們得用一個「新的眼光」來看待這個想法:函數圖形。如果以速度為縱軸、時間為橫軸的速度-時間關係圖 (v-t 圖) 來看,等速度運動的 v-t 圖為一條水平的直線,如圖二所示。在這個關係圖中,「速度乘以時間」就是直線下方的長方形面積,因此,如果我們從 v-t圖來看,這個關係圖中的「面積」,就物理意義而言,就是物體運動所走的「距離」。
    fig2
    圖二:等速度運動的速度-時間關係圖,圖中由速度與時間所圍成的長方形面積大小,即為物體運動的距離。

    有了這一層理解之後,我們來看看物體從靜止 (初速度 vi = 0) 開始加速到速度為 v (此即末速度vf ) 的情形,從 v-t圖來看是一條通過圓點的傾斜直線,與坐標軸之間圍成一個三角形 (圖三) ,其面積大小為:  
    math3

     
    fig3
     
    圖三:等加速運動的速度-時間關係圖,圖中由速度與時間所圍成的三角形面積大小,即為物體運動的距離。
        
                             
    細心的同學應該發現了,在過程中,我們運用了先前求末速度的結果 (vf = v = at) ,所得出來的這個「二分之一乘以加速度,再乘以時間平方」的結果,除了是v-t 圖中的三角形面積大小之外,更是等加速度運動的距離。

    萬一物體不是從靜止開始加速,而是一開始便具有初速度 vi 呢?從 v-t 圖來看,現在是一條不通過圓點的傾斜直線,如圖四所示。它與坐標軸之間會圍出一個「梯形面積」,其大小為
    076數學式圖片
     
    fig4
    圖四:具有初速度的等加速度運動,速度-時間關係圖中的梯形面積為物體運動的距離。
     

    然而,如果我們在 vi 的位置處劃一條水平的輔助線 (圖五) ,那麼這個梯形面積就可看成是「長方形加上三角形」。結合先前等速度與等加速度這兩個推論的結果,物體運動的距離可以寫成:
    運動距離 = 長方形面積 + 三角形面積
     
    eq6                (公式3)
     
    fig5
    圖五:具有初速度的等加速度運動,在速度-時間關係圖上,劃一條水平的輔助線,可把圖四的梯形轉換成長方形 (圖二) 加上三角形 (圖三)。

     
    截至目前為止,在定義了速度與加速度之後,我們只透過代學裡的移項運算以及面積計算,便得出了三個重要的運動學公式,用以描述物體在等加速度運動下的情況。


    萬一我們不知道運動的時間呢?

    現在,我們來看一個簡單的生活實例,假設我們拿一個網球,如圖六 (a) 所示,讓它從胸口的高度往下掉落 (掉落高度約1.5公尺),網球在著地前瞬間的速度是多少?

    在回答這個問題之前,我們應該知道,地球表面附近的運動可視為等加速度運動 (a = g = 9.8 ms-2) ,在這麼短的距離內,空氣阻力的影響可以忽略不計。

    然而,以我們目前的理解,我們無法單獨透過某一條公式來求得末速度,因為網球在著地前的運動時間也是一個未知數。

    我們也可以從水平的方向,重新看待這個問題,如圖六 (b) 所示:物體由靜止開始做等加速度運動,已知其運動距離 d,但不知運動所經歷的時間,試問物體的末速度?

     
    fig6
         圖六:(a) 網球自高度 h 處自由掉落,著地前的瞬間速度為何? (b) 以水平的方向,換個方式來表示網球掉落的問題。


    數學運算可以取代複雜的邏輯推理

    這個問題的關鍵在於,我們已知初速 vi、加速度 a 與運動距離 d,未知數是末速度 vf,但因為少了時間 t 這個條件,所以,無法單獨靠一條公式就解決問題。

    從數學的角度來看,由於有兩個未知數,所以需要兩條方程式才能求解。我們可以透過公式 3先求出時間,再利用公式1來求出末速。

    或者,我們也可以利用「代入消去法」來求解公式1與公式3的聯立方程組。在此,由於我們缺少「時間」這個條件,所以,我們以數學的方法來消去它:

        以公式 1求得時間 (移項) :       eq7
     
        把時間代入公式 3:                  eq8

        展開可得:                                eq9

        計算 (通分、化簡) 可得:         eq10

        移項整理可得:                         vf2 = vi2 + 2ad     (公式 4) 

    雖然我們費了一番功夫才得出公式 4,但是整個計算過程都符合嚴謹的邏輯推理,因此,在等加速度運動的條件下,公式4讓我們可以在「不知道時間」的情況下,單單憑藉著初速、加速度與運動距離,就可以得出末速度。以我們剛剛的網球問題為例,從胸口掉落的網球 (vi = 0) ,在著地前那一瞬間的速度為:
     eq11
    每秒5.4公尺的速度,時速將近20公里,其實還蠻快的。


    是物理問題還是數學問題?

    回到科學史的現場,有著深厚數學功底的伽利略,把實驗結果與數學模型完美地結合起來,從單擺的等時性,以及斜面實驗,不僅看出等速度運動與加速度運動的不同,更明確地以數學的語言來描述:等速度得運動距離與時間成正比,等加速度得運動距離與時間的平成成正比。從而提出慣性定律,並為日後的牛頓力學奠下基礎,而贏得「近代物理學之父」的美譽。簡單來說,如今,我們在運動學的課堂上,不過是重複伽利略所有過思維歷程而已。

    至於牛頓,除了提出三大運動定律之外,更把「時間間隔」從 ∆t (一段時間) 縮小到趨近於零的 dt (一瞬間),嚴謹地思考平均速度、平均加速度與瞬時速度、瞬時加速度之間的差異,寫下《自然哲學的數學原理》,有別於德國的哲學家、數學家萊布尼茲,從運動學的角度,獨立發展出微積分。這也是一個物理與數學之間,難分難解的公案。

    在電路學中,類似的例子是克希何夫定則,根據電荷守恆 (結點定則) 與能量守恆 (迴路定則) 兩大原理,只需逐步列出聯立方程組,透過數學運算,就能省去電流、電壓等複雜的邏輯推理,而解決實際的電路問題。

    電磁學中的馬克士威方程式,更是一個著名的例子。馬克士威於1864年發表《電磁場的動力學理論》,提出電場和磁場以波的形式以光速在空間中傳播,從而推論出光是電磁波的一種。稍後於1886年到1888年期間,德國物理學家赫茲在實驗室中驗證他的理論,從而開啟了無線電的時代。在馬克士威的百歲紀念誕辰上,愛因斯坦讚譽他對物理學做出了「繼牛頓時代以來,最深刻、最富成效的」成果,然而,這位把電、磁與光統一起來的偉大物理學家,當年在被訪問到自己是如何得出這些靈感時,他卻謙虛地表示:我只是把法拉第的工作「數學化」而已;而他口中的法拉第的工作,就是我們所熟知的電力線、磁力線的圖形 (如圖七)。

     
    fig7
    圖七:馬克士威說:我只是把法拉第的工作「數學化」而已。(圖片編修自Wikipedia  及 PICRYL)


    結語:送「禮物」別忘了要附上「卡片」

    物理與數學,理論與實驗,孰重孰輕,孰先孰後,往往無法以一刀兩斷的方式來區分清楚。從學習物理的角度而言,動手做實驗的經驗與體驗,當然非常重要,然而透過數學式來表達物理觀念,以及相關推理的能力,也是不能偏廢的能力與素養。

    學校的物理課程裡,曾經存在過許多艱深的數學問題,在考試領導教學的影響下,動手做實驗的機會逐漸被忽略,演變成只專注於反覆演練試題的填鴨式教學,這樣的教學模式當然叫人詬病。然而,從另一個角度來說,如果只強調「動手做實驗」而輕忽了「動腦思考實驗」,或是把物理觀念等同於「文字說明」,而對「物理公式」避之如蛇蠍,也是過猶不及的作法。

    紐西蘭的物理試卷評分有三個等級,同學若要想拿到卓越 (E) 的滿級分,通常需要以文字,配合繪圖或相關的物理定義、定律、定理或原理等,針對問題情境中的物理觀念提出完整的解釋 (請參閱前文:沒有「一百分」的考試)。至於學生無法拿到滿分的原因,可能是只會計算,但文字的觀念解釋卻偏弱,或是「落落長」的寫了一大篇文字說明,卻少了一個可以「畫龍點睛」的方程式。因此,每當需要在課堂講解試題時,我的結語笑話都是:在送女朋友巧克力 (禮物) 時,還得附上卡片,才能完整表達心意!





    延伸閱讀:
    沒有「一百分」的考試
    如何看懂物理公式 ( 一 ):定義篇
    如何看懂物理公式 (二):定律篇

     
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