專業 物理

 從鳥群與細菌群開始: 無序、有序、漲落、穩定與不穩定-Active soft matter

Print Friendly and PDF
撰文者:陳宣毅
發文日期:2020-06-02
點閱次數:718

  • 為了研究生物集體運動,統計力學與流體動力學被推廣,發展出新領域active soft matter。現在我們用active soft matter 中的標準觀念來理解細胞爬行,胚胎成長,細菌聚落,以及染色體在細胞核內的型態。

    鳥群中的秩序 - 

    1995 年8 月7 日的物理評論快訊(Physical Review Letters) 刊出了一篇以匈牙利統計物理學家Tamás Vicsek 為首的文章,有著標準學術風格的標題「自我推進粒子系統中的新相變」(Novel Type of Phase Transition in a System of Self-Driven Particles)[1]。同年12 月4 日的物理評論快訊另外有一篇由美國物理學家John Toner 與Yuhai Tu 共同發表的文章,標題是「動態二維XY 模型裡的長程秩序: 鳥兒如何一起飛行」(Long-Range Order in a Two-Dimenaional XY Model: How Birds Fly Together)[2]。這兩篇文章,前一篇是電腦模擬,後一篇是統計物理的理論研究,為接下來二十五年統計物理界在生物系統的動力學研究開啟了一扇門。從這兩項研究衍生出來的領域被稱為active soft matter,廣泛地被應用在仿生系統、細菌聚落, 生物組織,細胞骨架動力學等等研究上,改變了軟凝體研究的風貌。Vicsek、Toner 與Tu,也因為這個貢獻獲得了美國物理學會2020 年度的理論統計物理Lars Onsager Prize。 


    從Toner 與Tu 文章的標題來看,他們的研究與鳥群的運動有關。雖然從Vicsek 的文章標題看不出什麼端倪,但這篇文章的電腦模擬模型比較直觀。Vicesk 與合作者提出了一個簡單的模型來描述培養皿上細菌聚落裡細菌爬行的統計性質。他們的想法很簡單( 見圖一):每個細菌只用該細菌中心的位置與該細菌爬行的方向來描述,並假設每個細菌的運動速率一模一樣。

    下一瞬間一個細菌的運動方向是目前與其距離小於某個特徵長度內其他細菌運動的平均方向加上一個隨機分布的角度Δθ。這個模型很容易進行電腦模擬,藉由改變細菌的密度ρ,以及Δθ分布的寬度η( 我們稱η 為噪音強度),可以計算不同條件下細菌的平均運動速度v。如果細菌傾向於各自運動,則電腦模擬的結果會顯示v為0;若細菌因相互影響而傾向往同一方向運動,則v 不為0。模擬的結果顯示,在高細菌密度且低噪音強度的情形下,細菌的確可以顯現出有規律的集體運動。同時他們也發現,集體運動的平均速度隨密度與噪音強度的變化有類似物理系統相變現象的冪次關係,所以這個電腦模擬顯示生物系統的集體運動也許也存在著類似一般物理系統中的相變。



     
    fig1 (11)

    圖一:(a)Vicsek 模型示意,藍色箭頭所代表的粒子下一刻的運動方向是紅色虛線範圍內其他粒子運動方向的平均加上一個隨機角度。 (b)Vicsek 模型的模擬結果顯示在高密度與低噪音的情形下粒子會出現平均運動方向。

     


    這個看似直觀的電腦模擬結果為統計物理帶來了一個很根本的問題。如果我們想像一個晶體,每個晶格用一個單位向量來代表上面的原子所帶的磁偶極,然後規定每個磁偶極下一刻的方向為鄰居的平均指向加上一個隨機選擇的角度,這個晶格上粒子不移動的Vicsek 模型,正是統計力學研究多年的鐵磁相變模型。其中在二維晶格裏每個磁偶極都以一個二維向量描述的系統,屬於著名的二維XY 模型。早在1960 年代,美國物理學家Mermin 與博士後研究員Wagner 就以理論證明了在絕對溫度不為零的情形下,只有短距離交互作用的二維XY 模型不會出現長程的秩序,也就是說,這些代表磁偶極的單位向量不會有任何平均的方向[3]。Vicsek 模型的電腦模擬結果,說明的就是如果把二維XY 模型裡的磁偶極都裝上馬達,讓它們往磁偶極的方向運動,這個系統的行為不但很像一群細菌在平面上的運動,而且可以出現長程的秩序。但為何粒子的運動可以造成晶格上固定磁偶極沒有的秩序呢? 


    Toner 與Tu 的論文,雖然以「鳥兒如何一起飛行」為副標題, 但主題很明確地指出是要說明像Vicsek 模型這樣的系統,為何不必遵守Mermin-Wager 定理。這篇論文所使用的研究方法,是從對稱的性質出發,建構出最普遍的方程式來描述像Vicsek 模型那樣的系統中粒子密度與空間中的速度分布隨時間的演化。這些方程式長得有一點像流體力學裡的Navier-Stokes 方程式,可是多了一些新的項,使得速度大小傾向一個定值,而相鄰的粒子運動的速度傾向彼此平行。然後Toner 與Tu 利用統計場論常見的技巧,將小尺度的密度與速度場作適當平均,最後得到大尺度平均的行為。這個方法用的理論技巧比較抽象,但是因為全部都可以用符號運算完成,最後的結果對任何參數,甚至任何維度都適用。Toner 與Tu 分析的結果顯示了在二維的Vicsek 系統中長程有序的狀態的確是穩定的,而造成這個現象的交互作用,來自一個XY 模型裡不會有的現象:這些粒子的運動,使得它們有機會與原本與自己距離較遠的粒子接近,於是粒子間存在著等效的長距離交互作用,所以Vicsek 模型不滿足Mermin-Wagner 定理。Toner-Tu 的研究結果顯示了在同一高度飛行的鳥群,還有在平面上爬行的細菌群,因為運動造成的等效長程交互作用,可以一起往同一個方向運動。

    鳥群裏的密度起伏- 

    Vicsek 與Toner-Tu 的突破就像任何科學上的新進展,引發出了許多新的問題。譬如說,會一起運動的不只是飛行的鳥與爬行的細菌,還有游泳的魚、在地面奔跑的動物,以及游泳的細菌。此外,生物細胞裡有許多現象也顯示蛋白質可以藉著消耗能量,製造出有序的流場。這麼多的系統是否都有著類似無生命系統的相變現象是接下來大家感到興趣的問題。又譬如說,這些生命系統看起來好像有秩序, 但卻不像非生命系統那麼那麼單調,這裡面的異同又要如何理解呢? 於是許多統計物理與生物物理學家,在Vicsek 與Toner、Tu 之後, 紛紛投入類似的議題,在短短十來年裏,釐清了許多問題。


    在這些研究中,以印度物理學家Sriram Ramaswamy 為代表的研究者有系統地把流體動力學理論(hydrodynamic theory) 推廣到生物集體運動模型,按照各系統的對稱性以及系統動量守恆與否,為生物與仿生系統集體運動的行為做了分類,成為研究這類系統的基本原則[4]。物理裏的流體動力學理論源自非平衡熱力學與非平衡統計力學,是二十世紀六零年代由哈佛大學Paul Martin 與許多合作者一同發展出來的。流體動力學比一般所說的流體力學(fluid mechanics) 可應用的範圍更加廣泛,除了簡單流體之外,還能應用在超流體、液晶、固體等等更為複雜的系統。除此之外,流體動力學理論還能連結巨觀的實驗量測與非平衡的統計性質,進而與微觀,也就是組成份子間的交互作用相連結。

    生物集體運動時的密度漲落是個說明流體動力學與系統統計性質之間關聯的好例子。在Vicsek 模型的模擬以及許多真實的生物系統, 可以看到運動中的粒子不但會與鄰居往同一個方向前進,而且也會傾向於接近鄰居,結果這些粒子時常形成一群一群的。這些群都是動態的,有相當大的密度漲落,與一般的氣體或液體非常不同( 見圖二)。利用流體動力學分析,可以發現這樣的現象是許多不同類型生物集體運動都可以看到的,而背後的機制不難理解。

    如果每個粒子與其鄰居的運動方向無關,則粒子密度的漲落與擲銅板決定每個粒子位置得到的結果是一樣的;但是在系統出現有序運動時,相鄰粒子運動方向些微的不同,卻可以造成接下來粒子密度的漲落,於是這個運動方向在空間分布的不均勻,可以造成密度分布的較大漲落。簡單的計算的結果顯示,如果一個區域理的平均力子數為N,則生物集體運動模型預測N 的漲落正比於N1/2+1/d,其中d 為空間維度,而一般無生命的物理系統N 的漲落則與N1/2 成正比。可見不論在二維平面或三度空間, 生物的集體運動雖然可以有序,但粒子在空間中的分布卻比常見物理系統有更大的起伏。


     
    fig2 (10)


    圖二:(a)成群的小海雀,在群體裏的小海雀密度漲落比一般無生命的物理系統大 (https://en.wikipedia.org/wiki/Active_matter#/media/File:Auklet_flock_ Shumagins_1986.jpg)。
    (b)( c) 粒子的運動方向在空間分布的變化,會造成接下來粒子密度在空間中的變化。



    水裏的推進者 (pusher) 與拉牽者 (puller) - 


    動量守恆的重要性在液體中的生物集體運動裏可以很容易看見。在液體裏的細菌游泳時,以及在細胞內運動的蛋白質分子馬達在運動時所引發環境液體的流場可以傳到遠處,使得運動中的個體之間有Vicsek 與Toner-Tu 模型沒有考慮進來的交互作用。從物理的角度來說,Vicsek 與Toner-Tu 模型裏沒有考慮動量守恆,與環境的交互作用造成系統中粒子的總動量改變,然後環境的動量改變不需要包含在模型裏,就可以很好的描述這類集體運動。然而在描述細菌游泳或分子馬達在細胞內運動時,則必須將細菌或分子馬達與環境流體的動量交換包括進來,才不會遺漏掉由流體傳遞的交互作用。


    按照黏滯力在細菌或分子馬達表面的分布,可以把游泳的細菌分為推進者(pusher) 與拉牽者(puller)。推進者的頭尾會將環境中的液體向外推出,而拉牽者的頭尾則將液體拉向細菌(圖一)。大腸桿菌(E. Coli) 是一種常見的推進者,而常見的拉牽者細菌則包括衣藻(Chlamydomonas) 等(圖三)。兩者在游泳時,對附近液體所造成的流場相當不同,於是含有這2 種細菌的流體也因此有截然不同的特性。


     
    fig3 (9)

    圖三:( 左) 顯微鏡下的大腸桿菌(a) 與衣藻(b),( 中) 藍色箭頭代表細菌游泳時身體 各部位施於周遭流體的力,可以看出推進者與拉牽者的不同,( 右) 紅色箭頭 是推進者與拉牽者附近流場分布的示意圖。大腸桿菌照片由中央大學物理系羅健榮教授提供,拍攝者為林再順同學;衣藻照片來自 https://en.wikipedia.org/ wiki/Flagellum#/media/File:Chlamydomonas_(10000x).jpg


    先對含有活的細菌的流體施以剪力來量測它的黏滯性,再將活的細菌換成死的細菌重複實驗,就可以看到細菌游泳對系統黏滯性的影響。含有活的推進者細菌的流體比含有死的推進者細菌的流體有更高的黏滯係數;另一方面,含有活的拉牽者的流體則有較低的黏滯係數。這是因為推進者在剪流中的頭尾方向使其順著流場方向推動流體,減少流體對外加剪力的抵抗,進而降低量測到的黏滯係數; 而拉牽者則傾向抵抗外加剪力所造成的流場,使得量測到的黏滯係數上升。這些實驗結果明確指出了生物集體運動可以造成環境物理性質的改變,我們甚至能在流體中加入夠多的大腸桿菌,使得流體在剪流實驗中量測出黏滯係數為零。也就是說,可以利用細菌在室溫之下製造出超流體[5]



    活液晶裏不穩定的秩序- 

     
    fig4 (5)

    圖四:(A) 活液晶排列方向的彎曲可以造成分子往箭頭方向自發流動,(B) -1/2 缺 陷附近的對稱性使得此缺陷無法移動,但+1/2 缺陷無此對稱性,造成了自發 運動,在(C)~(I) 可以看出-1/2 缺陷沒有移動,但+1/2 缺陷隨時間移動。圖 片來源:參考資料[6]。這個實驗沒有用到細胞骨架或細菌,高密度的桿狀顆粒體在一震動平台上就可以製造出活的液晶態。


    系統在空間中的對稱性對生物集體運動帶來的影響在細胞骨架或高密度下游泳的桿菌群中非常明顯。這些系統由於組成的單位是桿狀的,於是很容易出現如液晶一樣清楚的排列方向。但細胞骨架有提供收縮力的蛋白質分子馬達,使得細胞骨架的行為像是拉牽者形成的非平衡液晶;而帶有高密度桿菌的流體,則視桿菌表面黏滯力的分布,成為推進者型或拉牽者型非平衡液晶。


    雖然是在液晶態,實驗上看到的細胞骨架或高密度桿菌卻沒有一般液晶那麼有序,它們在空間中的排列不斷變形、折疊、重組, 看起來的確相當有生命。利用流體動力學的分析,這些豐富變化背後的機制在2000 ~ 2010 年之間很快地被Ramaswamy、法國科學家Jacques Prost,以及其他合作者們確認。譬如說,細胞骨架的收縮性會把環境中的流體往內拉,於是當細胞骨架出現扇形排列時,收縮力會造成往扇子開口方向的流場,進而加大扇形的開口。所以在收縮力較弱的情形下細胞骨架會如液晶一樣有比較整齊的排列; 而在收縮力較強的時候細胞骨架排列不再整齊,並且在細胞質內有可以看到自發的流動現象。於是,不游泳的細胞骨架藉著其中蛋白質馬達的收縮,讓細胞質變成可以自發流動的「活液晶」。這樣的自發流動現象在細胞內時常可以觀察到。


    既然細胞骨架與高密度桿狀細菌都是非常動態的活液晶,那就不難想像這些系統裏也有液晶態的拓譜缺陷。活液晶中常見的拓譜缺陷帶有「拓譜荷」+1/2 與-1/2。在一般的液晶裏,拓譜荷+1/2 與拓譜荷-1/2 的缺陷會成對出現,在活液晶裡也是如此。但在活液晶中, 由於拓譜缺陷附近細胞骨架或桿菌排列方向也具有扇形,使得缺陷附近的細胞骨架分子或桿菌會有自發流動的傾向。由於-1/2 缺陷具有對稱性,使得這個缺陷即使在活液晶裏也不會移動,而+1/2 缺陷則會自發的運動。於是活液晶裡的自發性流動經常帶動著拓譜缺陷一起移動,使得活液晶的行為比一般液晶更加動態( 圖四)。近十年來, 流體動力學描述活液晶的理論( 稱為active gel theory) 已經被廣泛應用來描述從細胞爬行,細胞分裂到上皮組織與癌症的發展,成為標準的生物物理研究工具。


    從物理科學到生命科學- 
    fig5 (4)


    圖五: (a)DNA 中含有基因的片段(active) 與不含基因的片段(inactive) 可以視為受到不同強度隨機外力推動的粒子。(b)(c) 是人類染色體的電腦模擬,紅色是第18 對染色體,藍色是第19 對染色體,其餘染色體以灰色表示。在上面的電腦模擬中沒有區分active 與inactive 的片段,於是兩個染色體在空間中的分布相似。在下面的電腦模擬區分了active 與inactive 片段受到的隨機外力,使得這兩個染色體在細胞核中分開,而且含有較多active 片段的第19 號染色體位於較接近細胞核中心的位置。圖片取自參考資料[8]


    如同大部分重要的科學進展,以統計力學與流體動力學方法研究生物系統的集體運動,並沒有立刻被大家一致接受。從Vicsek,Toner-Tu,到Ramaswamy 以及後來的active gel theory 都是以對稱性為主要考量建構的粗粒化理論,分子層次的細節只用幾個參數代表,這樣的理論是否適合描述生命科學這種一向被認為是換了一個基因,一切都會不同的學科,自然讓人懷疑。畢竟分子生物學主宰了生物研究這麼久,大家不習慣去看密度與流場等物理量。2006 年時, 法國物理學家P.G. de Gennes (1991 年以軟物質研究獲得諾貝爾物理獎) 就表示過,生物系統裡的各種化學訊號是如此地重要,也許會有太多現象是只考慮對稱等因素的流體動力學無法解釋的。此外即使是專門研究類似系統的科學家,純粹考慮物理因素時,也有不一樣的聲音。研究細胞骨架物理多年的美國理論物理學家F.C.MacKintosh 在2007 年以前也曾表示過,細胞骨架這樣的系統裡面存在很多特徵時間,但流體動力學需要微觀與巨觀現象的特徵時間尺度有大差距,所以流體動力學是否能夠應用在細胞骨架仍未可知。


    這些問題當然是要從實驗判斷是否成立,譬如如果我們只是盯著每個細菌在生物膜裡 (biofilm,細菌聚集而成的黏性系統) 的行為而不看粗粒化以後的集體行為,例如細菌密度,流場,或者特定蛋白質的分布,那我們永遠就只能從基因的角度看生命。但是如果我們能適當地描述前述的物理量在時空中的演化,然後與描述這些物理量演化的流體動力學模型比較,那我們就能夠確認這樣的理論是否在它適用的尺度下描述了生物系統。這類的實驗,在過去二十年間逐漸成長, 於是流體動力學終於成為描述生物集體運動的標準方法。下面我就提出兩個例子,說明如何從流體動力學的角度來看細胞生物學問題。


    當我們用顯微鏡去看爬行中的細胞,可以發現細胞內的物質在流動。我們還可以進一步從實驗影片計算出細胞在基板上爬行時基板受力,以及細胞內部相關分子的分布,及其隨時間的演化。更有趣的是,不需要用整個細胞,只要把爬行中的細胞切下一塊不含細胞核的碎片,這個碎片也可以如整個細胞一樣爬行,而且沒有太多de Gennes 擔心的生化反應。於是細胞碎片的運動成了測試active gel theory 應用到生物上的好系統。由於細胞碎片的幾何形狀比較複雜,早期主要由法國科學家Jacques Prost,Jean-Francois Joanny 與其合作者的解析研究只能給出一些簡單的預測。沒有多久之後,英國物理學家M.E.Cates(現為劍橋大學Lucasian 教授,即物理學家霍金退休前所擔任的教席) 所率領的團隊便加入了這個題目的研究,他們用電腦模擬將active gel theory 與實驗做了比較,確認了細胞爬行主要是由細胞骨架推進,而細胞骨架的分佈在靜止與移動的細胞碎片裡也有著截然不同的型態: 靜止的細胞裡細胞骨架分部有比較高的對稱,爬行的細胞中細胞骨架由於細胞形狀與流場分布的限制,會出現特定的排列方式[7]


    Cates 的團隊在active soft matter 領域的最主要貢獻,其實應該是在運動造成的相分離問題的研究。如果一個系統裡運動的分子有不同的特徵速度,譬如說在Vicsek 模型裡放兩種粒子,各有各的運動速度,即使這兩種粒子之間的交互作用力完全一樣,只要運動的特徵速度不同,兩種不同的粒子還是會出現如同油和水分開的相分離現象。Cates 把描述一般相分離過程的理論,以統計力學的場論技巧, 推廣出一個理論來描述這種運動性質差異造成的相分離。由於這個推廣的過程比較技術性,我們不會討論其細節。但有趣的是,類似的相分離觀念在幾年以前被印度物理學家Gautam Menon 等人應用在細胞核內的DNA,解釋了一個生命科學裡的重要現象[8]


    細胞核裡的DNA 與許多蛋白質或分子馬達有交互作用,好讓上面的基因可以被轉譯來製造蛋白質,而這些基因視細胞種類以及環境條件,有些沒有開啟,有些是開啟的,只有開啟的基因可以被轉譯。Menon 等人假設DNA 上開啟或關閉的基因片段就像Vicsek 模型裡兩種不同運動速度的粒子,但是沒有與鄰居往同方向運動的傾向。DNA 的長鏈結構則簡單的用一個彈簧與球連成的長鏈來表示, 他們甚至假設球與球之間只有彈簧的力,然後規定球的體積不能重疊。這麼簡單的模型,放入真實細胞內基因位置的資訊,以電腦模擬出的DNA 在細胞核內的分布,竟然與實驗觀察相當吻合: 基因較密的DNA 片段通常在細胞核內側( 圖五)。只要放進一點點的細節,active soft matter 理論的確可以很好的描述生命裡的集體運動。


    回到物理以及物理以外- 


    一旦被大家接受,active soft matter 的研究很快就在統計物理與軟物質研究佔據了重要的地位。現在這個領域有多如牛毛的參考資料以及目不暇給的研究方向,這裡只簡單介紹一部分的現象,其餘的課題,如生物集體運動中的湍流,結合active soft matter 與漲落關係(fluctuation relations) 的非平衡統計力學,以及生物群體運動與資訊熱力學(information thermodynamics) 的關聯等等,都正拓展著生物物理與統計力學的前沿。如果生命複雜系統的運作背後真的有簡單的物理語言,那我們現在也許正往那個方向跨出了一步。


    參考資料
    [1]“Novel type of phase transition in a system of self-driven particles”, T. Vicsek, A. Cziròk, E. Ben-Jacob, I. Cohen, and O. Shochet, Physical Review Letters , 75, 1226 (1995). 
    [2]“Long-range order in a two-dimensional dynamical XY model: how birds fly together”, J. Toner and Y. Tu, Physical Review Letters , 75, 4326 (1995). 
    [3]“Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in one- or two-dimensional isotropic Heisenberg models”, N.D. Mermin and H. Wagner, Physical Review Letters , 17, 1133 (1966). 
    [4]“Hydrodynamics of soft active matter”, M.C. Marchetti, J.F. Joanny, S. Ramaswamy, T.B. Liverpool, J. Prost, M. Rao, R. Aditi Simha, Reviews of Modern Physics , 85, 1143 (2013). 
    [ 5]“Tu r n i n g b a c t e r i a s u s p e n s i o n s i n t o s u p e r f l u i d s ” , H. M . L ópez, J. Gachelin, C. Douarche, H. Auradou, and E. Clément, Physical Review Letters , 115, 028301 (2015). 
    [6]“Long-lived giant number fluctuations in a swarming granular nematic”, V. Narayan, S. Ramaswamy, N. Menon, Science , 317, 105 (2007). 
    [7]“Spontaneous symmetry breaking in active droplets provides a generic route to motility”, E. Tjhung, D. Marenduzzo, M.E. C a t e s , Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 109, 12381 (2012). 
    [8]“Chromosome positioning from actrivity-based segregation”, N. Ganai, S. Sengupta, G.I. Menon, Nucleic Acids Research , 42, 4145 (2014). 


    作者
    陳宣毅
    國立中央大學物理系
    中央研究院物理研究所
回上一頁