隨想 物理

以隔室模型比較北歐四國防疫成效

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撰文者:周欣儒, 邱柏齊, 劉祐芯, 趙松柏
發文日期:2021-02-09
點閱次數:464

  • 本文以流行病學的隔室模型(compartmental models in epidemiology)[1]中兩種較簡化的模型 Susceptible Infected Recovered Deceased 模型及 Susceptible Infected 模型,(簡稱為SIRD及SI模型)來分析北歐四國(挪威、瑞典、芬蘭及丹麥)人流管制或封城措施對新冠病毒(COVID-19)所造成的疫情的控制成效,選擇這四個國家的主因是他們相似的地理環境及歷史人文背景,各國人口主要集中於都會區(其中丹麥的哥本哈根為四國中人口密度最高的城市),但所採取防疫措施卻不盡相同[2],其中瑞典是四國中唯一未實行封城來抑制疫情的國家,也被媒體戲稱為佛系防疫[3]。其實瑞典的人流管制措施是有成功的減少人與人的接觸[4]並緩和疫情,但對安養機構疏於控管也造成四國中最高的死亡率。


    先簡述所用的隔室模型,再依次介紹各國的防疫措施並計算模型參數如何隨時間演變,最後由模型參數比較這四國的防疫成效。

    A. SIRD及SI模型介紹

    SIRD模型假設一區域中總人口數N為定值(通常N>>1),在該區中有一人在時間t=0時感染到傳染病並將疾病傳遞出去,疾病傳播的快慢取決於當時有多少未被感染(susceptible)過的人S(t)、有多少被感染發病(infected)的人I(t) (在參考資料[5]這類人是指Active cases;也就是仍在感染中的人),以及疾病的傳染率。值大小和人口密度及病原體生物的傳播速度有關,密度越高或越容易傳播則值越大。經過一段時間後會有人痊癒並獲得對此疾病的免疫,這些人被歸類為復原(recovered)的人口R(t),也有些因此疾病過世(deceased)的人口以D(t)標示;恢復速率(recovery rate)和死亡速率(mortality rate)各定為γ及μ。此模型對應的常微分方程為                                                                                                               

    S(t)+I(t)+R(t)+D(t)=N      dS(t)/dt=-βS(t)I(t)/N 
     dI(t)/dt=βS(t)I(t)/N-γI(t)-μI(t)

    dR(t)dt=γI(t)      dD(t)dt=μI(t)

     
    類似的數學結構亦出現在核反應方程[6]或是描述隨時變自旋的Bloch方程式中。若將總人口僅歸類為被感染過截圖 2021-02-19 上午10.25.44或未被感染S(t)過的兩類族群,可寫下另一更簡化的SI模型: 
       截圖 2021-02-19 上午10.26.06
    截圖 2021-02-19 上午10.26.33
    截圖 2021-02-19 上午10.26.51

    β0值亦稱為傳染率,但對同一組數據分析其值小於或等於SIRD模型的值,原因是截圖 2021-02-19 上午10.27.17


    為分析人流管制或封城措施對疫情控制的成效,我們將原不隨時間變化的模型參數β,γ,μ 及β0調整為隨時間變化的函數,亦即執行人流管制會藉著減少人與人的接觸來降低疾病的自然傳播率,類似的作法亦可見[7][8];不同於[7,8],本文不對參數做任何的函數模擬,直接由[5]的統計資料用Excel以有限差分法算出各個隨時變的參數值。為對各國有公平比較,我們採用人口規一化為百萬人口的資料,且所有國家資料選取的起始時間為每百萬人中有一人確診。


    B.  北歐四國防疫政策和SIRD及SI模型參數對照

    挪威 (資料分析由2/28起始至8/23終止)    

    挪威在疫情還沒爆發之前就持續關注全球疫情變化,在2020/2/26記錄到該國的第一位案例,在3/4前已知案列大多有國外旅遊史(主要為義大利及奧地利),但3/10之後案例遽增並開始有來源不明的社區感染,於3/12進行為期兩週的全國性封城[9]。

    防疫措施如下: 維持社交距離;教育機構全面關閉(除了父母在履行公職時所託付的教育機構);酒吧,娛樂中心,健身房等社交場所皆關閉,3/14 禁止不必要的國際旅行,嚴格的邊境管制,直到4/14。3/17後幾天內接回外國的挪威國民並撤走國內的外籍人士,在疫情開始初期就快速的訂定出防疫政策來控制疫情發展。 

    放寬防疫措施如下:   於4/20後陸續放寬限制,於7/15放寬邊境管制。

     圖-N1為每百萬人的累積確診人數,資料來源為參考資料[5],由圖可知在疫情初期感染者快速增加,在公布防疫措施後(圖上標示的第14天),疫情在封城一個月後獲得控制(第50天後確診增加人數減少),約第160天後確診者又有較顯著的增加。 

     
    截圖 2021-02-19 上午10.17.25
         
                                     
     [圖N1-N4 (由左上依順時鐘次序):每百萬人的每日累積確診人數,每日累積復原人數,每日累積死亡人數,及每日新增確診人數]


    圖N5-N7為用SIRD模型分析圖N1至N3所得的β,γ,μ 及SI模型的β0值,所選取的資料將N固定為一百萬,由N-(累積確診人數)可算出S(t),R(t)及D(t)則直接由資料[C1]讀出,
    I(t)則是由(累積確診人數)-R(t)-D(t)求出,藉由算出各量值的每日變化量套用SIRD公式即可求出β,γ,μ。β0在SI模型的計算更為簡單,截圖 2021-02-19 上午10.25.44即累積確診人數,算出每日變化量套用SI公式即可求出 β0。SIRD模型的值可用來判斷疫情擴散的速率;在疫情初期,值約在0.1~0.7震盪,在公布防疫措施(圖N5的第13天)後幾天內降到約0.1左右,之後持續穩定的下降並在一個月後幾乎接近0,然而在第85天之後開始又突起;原因在於第85天時挪威一次性地公佈累積復原人數(見圖N2),且往後的復原人數也都是隔一段時間才公佈,如此會造成值在公佈的那些天突然增大(見圖N6),突然減少的It也造成和在第85天後被放大(見圖N5及N7),易造成判讀疫情失真,如圖N6疫情初期的死亡速率可能被低估(可參考圖N3,死亡人數增加較快是在第30至第50天間),原因即是It值在第85天前高於實際人數所致。

     
    截圖 2021-02-19 上午10.38.19

       
    [圖N5-N8 (由左上依順時鐘次序): SIRD模型的β,γ,μ值以及SI模型的β0值,橫軸為時間(單位為天數)]

     
    在此情形下,使用SI模型的β0值較能正確反映疫情控制的情形,由圖N8可見初期的β0值和SIRD的值是相同的,封城措施(第14-50天間)確實有效降低β0值,且到80天後並無顯著增加,但第155天後的β0值又開始微幅上升(圖N5的與圖N6的值亦有較顯著的升高),上升的原因主要是和歐洲的第二波疫情再起有關。當局已於8/22加嚴邊境管制措施,由高風險歐盟國家入境者須強制隔離10天。


    瑞典(資料分析由2/29起始至8/15終止) 

    傳染病法(Smittskyddslag)要求政府施政基於科學證據,而且只能在小區域執行隔離否則違反憲法對人民移動自由的保障。防疫方式倚賴國民自發性遵守政府的指示,且政府的防疫政策是由瑞典的公共衛生局主導(防疫主要人物為Anders Tegnell),其決策不受政府其他部門影響,但其防疫政策也會顧及經濟對生活的影響。防疫策略主要為保護高風險族群(老年人,慢性病患等),減緩病毒散播,以及避免醫療保健系統因過多病患而崩潰[10]


    防疫措施[10]如下: 3/10開始建議有感冒症狀的人減少社交接觸, 減少拜訪養老院, 70歲以上的老年人減少出入公共場所, 鼓勵遠距辦公, 中學以上學校遠距教學 (小學以下維持上課), 集會人數上限於3/27降為50人;於3/18建議減少國內長程旅行。


    放寬防疫措施如下: 6/13解除減少國內長程旅行建議; 6/15恢復中學以上學校課程; 50人的集會上限則還未放寬[10]

    於我們的數據分析中,我們收集資料的時間由2/29至8/15,大規模的防疫措施起始和終止時間對應到圖上的第11及105天(以紅色箭頭標示於圖上),瑞典並無公佈復原人數R(t),且公佈於[5]的I(t)亦有問題,故我們於6/2後採用Worldometers公佈的I(t)資料[11],並由I(t)、D(t)及確診總數回推復原人數R(t)。


    由圖S1可見防疫措施實施後的每日新增確診約在20天後維持穩定值,直到六月初(第92天後)的新增確診突然,升高原因是因為檢測的數量增加[12],而非疫情更加嚴重。SIRD模型的值以及SI模型的β0值(圖S2及S5)在此例很接近,原因是推算出的R(t)很小(或是公佈的I(t)過大),但不甚正確的I(t)值讓在某些時段甚至變為負值(見圖S3)。由圖S2可見值的變化和圖S1的趨勢一致,但高估的I(t)值會使圖S3及圖S4的γ,μ值低於實際值。即便值被低估,其隨時間演變的趨勢仍可讓我們判讀死亡率在防疫措施執行後有成功的降低,說明其作法是成功的達成避免醫療系統崩潰這一目標。

     
    截圖 2021-02-19 上午10.47.04
     
    [圖S1:每百萬人的每日新增確診人數]
     
    截圖 2021-02-19 上午10.47.18
     

     [圖S2-S5 (由左上依順時鐘次序): SIRD模型的β,γ,μ值以及SI模型的β0值,橫軸為時間(單位為天數)]

     
    芬蘭(資料分析由3/1起始至8/16終止) 

    由於芬蘭的地理位置接近俄國,過往二次世界大戰的經驗讓芬蘭政府對疫情的反應較其他國家更為迅速,人口密度低且人民一向保持著安全的1.5m社交距離,也是芬蘭防疫的先天優勢。


    防疫措施[13]如下: 3/16 禁止10人以上聚會、保護高風險群體、關閉學校(幼教除外)及圖書館、劇院等公立單位、3/17關閉邊境,回國須自主隔離14天,3/27關閉首都區域的大眾運輸。


    放寬防疫措施如下: 4/14取消首都圈限運措施,5/14開放學校、聚會限制,7/8開始解除歐盟區部分國家的邊境管制,於7/27對部分高風險國家又恢復邊境管制。


    於我們的數據分析中,我們收集資料的時間由3/1至8/16,大規模的防疫措施起始和(初次)終止時間對應到圖上的第16及46天(以紅色箭頭標示於圖上),在第20天後,圖F2的β值明顯下降,並且開始趨於穩定,可見禁止群聚等政策開始有效果,關閉首都圈的大眾運輸後更明顯下降,約在110天後趨於芬蘭疫情的最低點,芬蘭開始開放聚會限制,而由於開放,疫情又開始有些起伏。在第136、137天累績確診人數下降(每日新增為負值),造成β值為負的,可能是有案例為誤診。而恢復人數的部分,芬蘭約每週或每兩週釋出恢復人數,故圖F3的γ值參考價值較低,第80天公佈的累積恢復人數甚至比之前更少,造成負的γ值。第136天時累積死亡人數降低1人,可能原因為死亡不是因為新冠病毒所造成,但這造成圖F4負的值。由圖F2及F5可知芬蘭的封城措施成功的控制了疫情的擴散。

      
    截圖 2021-02-19 下午2.46.39
                 [圖F1:每百萬人的每日新增確診人數]

     
    截圖 2021-02-19 下午2.46.54
    截圖 2021-02-19 下午2.47.01
     
     
    [圖F2-F5 (由左上依順時鐘次序): SIRD模型的β,γ,μ值以及SI模型的β0值,橫軸為時間(單位為天數)]


    丹麥(資料分析由3/3起始至8/16終止)

    丹麥政府對疫情採取社交隔離措施動作很快,在確診病例只有少數幾個的時候就宣佈關閉學校和邊界。
    封城措施如下[14]:3/11(第8天) 關閉室內公共機構和學校、禁止在室內聚集超過100人;3/13 建議停止非必要旅行;3/14 關閉邊界;3/18 聚會限制涉及10人以上的活動


    分階段的解封措施如下: 4/13(第41天) 開始第一階段解封: 不能避免與客戶聯繫的自由職業可以開始營業、學齡前至五年級學生及特殊生的班級開放。5/11零售業全面重新開放、六至十年級的學生被允許回到學校。6/8放寬聚會限制從10人增加到30-50人,公務機關職員恢復正常上班,開放高中、文化和其他活動。8月起因應第二波疫情,再次限縮活動人數上限為100人, 且搭乘所有形式的公共運輸工具皆須配戴口罩。

    於此數據分析中,資料收集的時間自3/3至8/16,大規模的防疫措施起始和(初次)終止時間對應到圖上的第8及41天(以紅色箭頭標示於圖上),圖D1為每百萬人的每日新增確診人數,由圖可見在封城後新增確診人數有穩定下降,直到約130天後又開始回升。


    由圖D2及D5可見丹麥疫情初始的β及0值隨著封城的執行很快地降低下來,封城期間的值也都維持在β≈0.1左右,於第一階段解封時β≈0.05。第三階段解封(圖上第96天)時的β及β0值各約為0.025及0.001,但約在7/20(第140天)後β及β0值又開始上升;此趨勢和圖D3的值變化是吻合的,即解封後值維持在0.08左右直到135天後降低到0.05左右,值降低代表新增感染人數增加。圖D4死亡率值維持穩定降低,較無法判斷解封後疫情再起的狀態,負的值應是死因並非新冠病毒造成。


    β,γ,μ值在100天後變的起伏較大,主因是丹麥在疫情趨緩後改為週六日不公告疫情(如圖D1),造成週一累積較多的案例。


     
     
    截圖 2021-02-19 下午3.23.52
     
            [圖D1:每百萬人的每日新增確診人數]
     
    截圖 2021-02-19 下午3.24.07
    [圖-D2-D5 (由左上依順時鐘次序): SIRD模型的β,γ,μ值以及SI模型的0值,橫軸為時間(單位為天數)]


    C.  四國模型參數比較
    受限於每個國家所給資料的時間點不同造成使用SIRD模型判讀上的困難,在此我們利用SI模型的0值來探討封城或人流管制的成效,我們選取各國開始大規模封城或人流管制的第一天為圖C1的第一天,由圖可見挪威和芬蘭維持較低的β0值,且隨封城時間有較穩定的減小,瑞典及丹麥的成效就不是那麼明顯,在第四天(約略是開始邊境管制的時間)後即維持較大且平均值約略固定的β0值;由此可判讀挪威和芬蘭的措施是較能有效的減緩疫情。另外,若將觀察時間拉更遠則可見瑞典的β0值降低的速度又比丹麥更慢。由此可知封城對抑制疫情擴散的效果還是比人流管制來的好。


    在這四個國家中,丹麥給出的數據是最完整的,由圖D3可以看出在趨於穩定時值會趨於一定值,圖D4(或見圖S4)的值則是在初時短時間增加後開始降低。在第二波疫情開始階段(瑞典於所選時段的資料還看不出有明顯的第二波疫情,其他三國的新增確診都有微幅增加),值的變化較β0值更容易發現此一趨勢。



    最後我們簡要的提及封城或人流管制對經濟的影響。這四個國家受疫情造成第二季GDP的減少介於6~8%間[15],相較於其他歐美國家是受創較低的,瑞典在3-5月間的商品及服務業衰退是四國中最低,但第二季GDP的下降量排名第三(丹麥以些微差距墊底),且進入6-8月的經濟復甦期回談的也是最慢的[15]。這趨勢也吻合藉由硬封城盡速控制疫情是對長期經濟有正向幫助的想法[8]。

     
    截圖 2021-02-19 下午3.24.14
     
    [圖C1:北歐四國封城或人流管制期間的SI模型的β0值隨時間的變化,橫軸單位為天]



    D. 參考資料
    [1] https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology
    [2] https://nordiclifescience.org/different-covid-19-strategies-in-the-nordic-countries/
    [3] https://tw.appledaily.com/international/20200823/NYSCLPVDGBDSLL3IDK3XSQFXME/
    [4] “Pandemic, Shutdown and Consumer Spending: Lessons from Scandinavian Policy Responses to COVID-19”, A. L. Andersen, E. T. Hansen, N. Johannesen, A. Sheridan, arXiv:2005.04630
    [5] http://91-divoc.com/pages/covid-visualization/
    [6] “Mathematics for physicists”, S. M. Lea, 2004 Brooks/Cole.
    [7] https://web.stanford.edu/~chadj/sird-paper.pdf
    [8] “Simplified model on the timing of easing the lockdown”, S. P. Chao, arXiv:2007.14072
    [9] https://en.wikipedia.org/wiki/COVID-19_pandemic_in_Norway
    [10] https://en.wikipedia.org/wiki/COVID-19_pandemic_in_Sweden
    [11] https://www.worldometers.info/coronavirus/country/sweden/
    [12] https://www.reuters.com/article/health-coronavirus-sweden/coronavirus-cases-hit-daily-record-in-sweden-as-tests-ramp-up-idUSL8N2DO3PN
    [13] https://en.wikipedia.org/wiki/COVID-19_pandemic_in_Finland
    [14] https://en.wikipedia.org/wiki/COVID-19_pandemic_in_Denmark
    [15] https://insights.nordea.com/en/economics/spending-is-back-the-nordic-recovery-from-coronavirus/


     
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