隨想 物理

音樂與物理的共舞

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撰文者:駱俞衡 國立彰化師範大學 物理所物理教育組 碩士
發文日期:2020-09-26
點閱次數:728

  • 音樂是生活中的美好潤飾,咖啡廳裡撥放的輕柔古典樂、搭配歌詞傳達意涵的流行音樂、甚至是拿起一把吉他而隨意哼唱的創作,都為我們增添了不少樂趣。讀者是否想過,音階和物理的波動有哪些關係呢?相鄰音階(scale)的分割是否等間格呢?如何設計吉他指板上的寬度?本文將從古希臘時畢達哥拉斯(Pythagoras)以數學解析音階開始,接著以物理的角度解釋音階的訂定,進而探討吉他的設計。


    音階

    聲音三要素為響度音調、及音色,對於音調的學習,在國中理化課告訴我們是由聲波的頻率決定;在初階音樂課則是唱著do、re、mi、fa、sol、la、si不同音高,並以固定唱名法對應音名C、D、E、F、G、A、B。而B繼續提升音高就以C表示,並再度循環音名使用,有如旋轉樓梯般循環向上,此C 至
    截圖 2020-09-24 下午11.04.19稱作高八度。再加入升(#)降(♭)音符,則共有12個不同的音高,稱作十二平均律(Equal Temperament) (圖一)。以鋼琴琴鍵觀察就可以明顯看見音高的排列,有升降記號的音為黑鍵,其餘則為白鍵(圖二)。

     
    截圖 2020-09-24 下午11.03.51
    圖一、十二平均律(Equal Temperament)
     
    圖二、鋼琴琴鍵與音階
     
     
    圖二、鋼琴琴鍵與音階

     
    音階排列:等差或等比?

      “十二平均律”中的”平均”一詞,容易讓人誤以為音與音之間為等差數列,即彼此間隔相等,但其實是為等比數列。不過,在討論“十二平均律”之前,必須先從古希臘時期畢達哥拉斯創建的“五度相生律”談起。


    最初畢達哥拉斯在古希臘首創的八度音,將相鄰差兩倍的頻率定為八度音,例如:中央C 的頻率為261.6赫茲,那麼高八度的
    截圖 2020-09-24 下午11.04.19
    頻率就是 261.2*2=523.2 赫茲。接著,深信宇宙規則為簡單整數比的他,以C為準,將五度音差的G,訂為頻率比值為3/2倍,並將高四度的F,訂為頻率比4/3倍(如表一所示)。

    其實,五度相生律一詞正說明了畢達哥拉斯創建音階的規則,也就是從C開始,每相差五度(頻率比值為3/2倍),即生成下一個音,但若頻率超過兩倍時,代表已經跨到下一個八度音了,因此需再除以2。接著,我們就從音調C出發,以五度相生律推導音階:
    截圖 2020-09-24 下午11.16.37
    截圖 2020-09-24 下午11.16.53
    因為所乘頻率比值超過兩倍,所以除以2,得到 
    截圖 2020-09-24 下午11.17.26
    截圖 2020-09-24 下午11.17.43
    截圖 2020-09-24 下午11.17.57


    因為所乘頻率比值超過兩倍,所以除以2,得到 

    截圖 2020-09-24 下午11.18.13
    最後 

    截圖 2020-09-26 下午1.53.22


    推至音調B時,我們已成功算出音調G、D、A、E、B之頻率,如圖三將推導過程化為圖示,可發現再加上原先之C及四度音F,就完成了以五度相生律構成之共7個音的音階了(如表一所示)。

    截圖 2020-09-24 下午11.18.37
    圖三、以五度相生律推算音階的過程
    圖三、以五度相生律推算音階的過程

     
    之後的音樂學家為增加音調的精緻度,陸續以相同的方式增加音階的「成員」,也就是半音,八度音之中加入5個半音,加上原本的7個全音,共計12個音符。但不幸的是,若以五度相生的方式增加至12個音,會使音與音之間的頻率比值過於雜亂,導致某些合音,會產生不和諧的感覺。

     

    直到中國明代音樂家朱載堉於1584年,將共計12個音符,以相鄰音符之間成等比級數排列(而不是等差級數),且承襲畢達哥拉斯制定八度音之間的頻率比值為兩倍,但刪除畢達哥拉斯原來定義的3/2倍五度音階制,而是將八度音間以等比級數分割為12個音符。所以相鄰音符間的頻率比值為 截圖 2020-09-26 下午1.58.18。例如:中央C頻率為 261.6赫茲,則C#頻率就是 261.6*1.06=277.2赫茲,D的頻率則為 261.6*1.062 =293.8 赫茲…,依此類推。就為我們現今最常使用的“十二平均律”。
     

    駐波原理看不同樂器

    最初的音樂型態來自大自然的聲響,包括鳥語啁啾、雨打樹葉、風吹青草等聲音,而後人們透過吼叫、敲打等等行為,漸漸發現能產生樂音。畢達哥拉斯(570B.C.-495 B.C.)就是聽見鐵匠敲打金屬時,發出了不同的聲音,而開啟了研究音樂的道路。逐漸發展至現今,我們早已有能力透過樂器自行創作與演奏音樂,更知道當初畢達哥拉斯聽見的不同聲音就是音調,也就是聲波的不同頻率。那樂器所發出的頻率,究竟由何決定?為什麼不同的樂器,仍有可能發出同一音調? 



    走進奇美博物館中的樂器廳,陳列了玲瑯滿目的樂器,若我們依樂器的頻率推導方式做分類,則可分為三種:兩端開管 (長笛、雙簧管等)、一端開管一端閉管(薩克斯風、單簧管等)和兩端皆固定的弦樂器(鋼琴、吉他等)。


    管樂器的音調取決於震動空氣分子產生的駐波頻率。兩端開管樂器的駐波,頻率公式為

     
    截圖 2020-09-26 下午2.05.24
     
    (L為樂器的管長、v為聲速,n為1、2、3…之正整數),其中,聲速主要受空氣溫度的影響,即 ( T為溫度,單位為攝氏),當n=1時的頻率稱之基頻,而基頻決定了音高,其餘 稱之泛音,泛音決定其音色。第二種樂器為,一端開管一端閉管的管樂器,其駐波頻率為
     
    截圖 2020-09-26 下午2.05.06
     
    (L為樂器的管長、v為聲速,m為1、3、5…之奇數),相同的,m=1時的頻率稱之基頻,其餘 等等的頻率皆為泛音。

    最後,弦樂器的駐波頻率為
    截圖 2020-09-26 下午2.05.24
     
    (L為樂器的管長、v為聲速,n為1、2、3…之整數),和兩端開管樂器的駐波頻率公式恰好相同。但因弦樂器為透過弦的震動產生聲音,因此其波速主要受到弦的張力及線密度控制,即


    (F為弦張力, 為線密度)。因此,弦樂器的音調與空氣的溫度無關,而管樂器則與氣溫有關。

    總結以上不同樂器與音高(基頻)間的關係為表二:

     
    截圖 2020-09-26 下午2.05.54
    表二:不同樂器與音高(基頻)間的關係

    吉他的音樂與設計

    ♦吉他的弦與指板寬

     
     

     接著,讓我們看向相當常見的弦樂器-吉他(如圖四)。
     
    fig4-3
    圖四


    吉他的六根弦,有何差異呢? 粗細不同的弦,發出的聲音有甚麼差異呢?琴格的間距是否等間呢?如何讓同一根弦,發出不同音調的聲音呢?

    以上問題,要從上述的駐波頻率開始講起。影響弦樂器基頻的因素:
    弦樂器基頻: 截圖 2020-10-12 下午11.27.43

    且波速是由弦張力( F)和弦的線密度(µ )決定:
     
    截圖 2020-10-12 下午11.27.54

     
     最後推出與L、µ、F的關係:
    截圖 2020-10-12 下午11.28.41
     

    若是同一根弦,則弦張力F和線密度 µ不變,基頻 f 和弦長L成反比,因此若要發出較高頻率的聲音,應將震動弦長L縮小,也就是將手指壓在遠離琴頭處。另外,也可以透過弦的粗細,也就是線密度(µ ),來調整頻率的大小。越細的弦,µ 越小,則頻率越大,所以越細的弦,音調越高。
                                                          
    同時,若仔細觀察吉他上琴格的寬度,不難發現其寬度是越來越窄。這是因為音階為等比數列,其頻率反比於弦長。所以弦長和音階一樣,為等比數列,兩相鄰音階的頻率比值為

     
    截圖 2020-10-12 下午11.28.23


    實際推導吉他最粗的第六弦的弦長與頻率間之關係,並繪圖來推論。該弦的線密度µ=0.0074 kg/m,且不按壓指板直接彈奏第六弦時,需發出 E1的音調(f=82.4 Hz),此時之弦長為0.646 公尺,因此可由 
     
    截圖 2020-10-12 下午11.28.03


    推導出弦的張力(F)應為83.8 N。接著,可根據音階的調升,推算出不同音符,所對應的弦長之數值關係(如表三)。


    根據表三,可描繪出不同音符所對應的頻率及所需按壓的弦長(如圖五所示)。從圖五可看出,頻率越高對應的弦長越短,但並非為正比的斜直線,而是根號反比的曲線。同時,相臨音符的間距,隨著音調越高而越窄,音調最低的E至F,間距為3.65公分,而較高音的D#至 之間距,則縮短至1.93公分,可從圖六中的吉他指板上明顯觀察出此差異。


     
    截圖 2020-10-12 下午11.27.18
     
    表三: 吉他第6根弦的音符、頻率、弦長與弦長差值
     
     
     
    圖五、吉他第六根弦的弦長與頻率之關係

     
     截圖 2020-10-13 上午7.32.31
    fig6 (8)

     
    圖六、吉他指板間距比較

    吉他為何需要六弦?

    接著探討吉他為何需要六條弦?上述推導是吉他上最粗的第六弦,而線密度最小的第一弦,則可彈出更高的音調,因此,吉他整合六根粗細不同的弦,可彈奏出更廣的音域,且可巧妙地避免了同一弦彈奏至高音時,因為間距越來越小,而不易按準的問題。


    不過,吉他的六根弦設計,原來不只為了顧及音域的寬廣,吉他的魅力之處,就是僅以一把吉他就可完整詮釋音樂的三要素-節奏、旋律及和聲。其中和聲需要用運不同音高的組合,並同時彈奏而形成和弦,例如: 同時彈出Do、Mi、So的和弦,需要三根弦。正是因為如此,若是一昧將六弦之間的音高差距增大,就難以彈奏出和弦了。

    不只吉他,各式各樣的弦樂器也透過調整弦長、線密度及張力,巧妙地設計出該樂器彈奏所需的音越特性。例如:只有兩條弦的二胡,在國樂中需彈奏較高的音調,因此其弦的線密度相當於吉他的第一及第二弦。而不像吉他有著明顯的琴格供演奏者彈奏時的依據,隨著音調增高、弦長縮短,更考驗彈奏者的功力,才能確保彈奏出的音準。

    綜合以上,我們可以看出,屬於理科的物理與數學,在屬於藝術的音樂發展歷程,扮演了重要的角色。將頻率等比級數排列而成音階,由此誕生了低至高的音符;由駐波頻率及波速之間的關係,不只了解弦樂器基頻和弦長、線密度及弦張力的關係,更由音階為等比級數排列的特性,掌握了吉他指板上相臨音符的間距,隨著音調越高而越窄。最後,更利用了線密度越小,則頻率越大的特性設計各式的弦樂器,使演奏者可輕易彈奏出和弦。


    音樂為人們訴說故事與情感的一種工具,下次沉浸在音樂的同時,不妨也感受一下,藏匿在每個音符中的物理之美。

    參考文獻
    1. Inman, F. W. (2006). A standing-wave experiment with a guitar. The Physics Teacher, 44(7), 465-468.
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    3. Caleon, I., & Ramanathan, S. (2008). From music to physics: The undervalued legacy of Pythagoras. Science & Education, 17(4), 449-456.
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