教育 物理

善用等號背後的意義來學物理

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撰文者:蔡坤憲 (St John’s College Hamilton 物理教師)
發文日期:2021-12-06
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  • Lev Vygotsky
    語言是思維發展的基礎。
    Ludwig Wittgenstein
    語詞的意義存在於它的用法之中。



            當同學被問到什麼是牛頓第二運動定律時,大多數的人都會回答「F 等於 m 乘以 a」。這樣的回答儘管不能算是錯誤,然而是否可以有更好的說法呢?這到底是一個「數學語句」或是一條「物理定律」呢?

            數學是物理的主要語言,所以我們在討論物理問題的時候,常常直接把公式唸出來。例如,F 等於 maF 等於負 kxF 等於 r 平方分之 GMm F 等於 m 乘以 r 分之 v 平方等等。這些公式中的英文符號,各自有其代表的物理量。然而這裡一再出現的「等於」,除了數學意義上的相等之外,是否還具備其他的物理意義呢?

            本文希望以我們熟悉的「等號」為例,討論其在數學與數值上「相等」的含意之外,還可能隱含有哪些物理意義?並從這個視角,看看這些隱藏的意涵,如何能幫助我們學習並增進對物理的理解與素養。
    fig

    一,用於表示「數量相等」的等號

            「等號」最基本的含意就是數值或數量上的相等,這與數學上的意義相同。因此,等號可以單純地陳述某個事實。例如木塊的質量為 2 公斤( m=2kg ),重力加速度的大小為 9.8 公尺每秒每秒( g=9.8m s 2 ),或是電子帶有 1.6× 10 19 庫侖的電量( e=1.6× 10 19 C )。

            其次,等號也可以表達不同單位的物理量大小。一個完整的物理量包含有數字與單位兩部分,缺一不可。因此我們可以用不同的單位來表示同一個物理量,而在單位換算的過程中,等號的意義就是數量上的相等而已。例如長度 1 公尺等於 100 公分( 1m=100cm ),或是水的密度是  1g/ cm 3 ,透過換算,以公制單位則為  1000 kg/m 3
    1 g cm 3 =1 g cm 3 × 1kg 1000g × ( 100cm 1m ) 3 =1000 kg m 3

    華氏溫度與攝氏溫度之間的換算公式( F= 9 5 ×C+32 C=( F32 )× 5 9 )是另一個例子。雖然換算的公式或過程看似複雜,數字與單位各不相同,但表示的卻都是同一個物理量。


    二,用於表示「物理定義」的等號

            由於上述在數學上「數量相等」的含意,物理的定義常以等號來表示。例如速度的定義為物體在單位時間內所做的位移:
     
    eq_1
     
            在定義中「單位時間」的用語,轉換成數學運算就是「除以時間」,稱為「時變率」或「變化率」。速度的公制單位為「公尺每秒」( m s 1 ,每秒若干公尺)。對於這個物理公式,與其簡單說成:速度「等於」位移除以時間,更好的說法可以是:速度「定義為」位移的時變率。因為前者只是一個很單純的數學語句,而後者則對這條數學公式賦予了物理意義。

            此外,由於定義的緣故,不同的物理量之間會存在「等值」關係。以單擺運動為例,週期定義為完成一次擺動所需要的時間(以秒為單位),而頻率的定義是在一秒鐘之內,單擺的擺動次數;以赫(Hz)為單位。根據定義:

     
    eq_2

     
            舉具體的數字為例,假設單擺來回擺動一次需時 0.5 秒,那麼從簡單的數學除法可推論出:在一秒鐘的時間裡,單擺可以來回擺動2次(1秒 ÷ 0.5秒),而這正是頻率為 2 赫(2Hz)的意思。從分數與倒數的關係來看:單擺週期的 0.5s 等於對頻率的倒數( 1 2Hz ),或是頻率 2Hz 等於週期的倒數( 1 0.5s )。換言之,頻率與週期二者存在著「互為倒數」的關係:
     
    T= 1 f 或   f= 1 T
     
            然而,千萬不要只把它們視為兩個不同的公式,而是要根據它們的定義,去理解這二個物理量之間為何會存在「倒數關係」。對初學物理的同學而言,還要去思考一下,為什麼赫茲(頻率的單位)會等於「秒分之一」( 1Hz=1 s 1 = 1 1s )?

            別忘了,物理量包含有數字與單位兩個部分,因此在計算時,不僅要對數字做計算,也要對單位做計算,才是一個完整的過程。至於以「赫茲」取代「每秒週數」成為頻率的單位,是為了紀念德國物理學家海因里希.赫茲(Heinrich Rudolf Hertz)在1887年首先以實驗證實了電磁波的存在。這一命名於1930年由國際電工委員會(International Electrotechnical Commission)提出,並於1960年獲得國際度量衡大會接受。



    三,隱含有「比例」關係的等號

            在「定義」之外,表示實驗結果的「定律」也常常會出現等號。
            以彈簧為例,在彈性限度內,當我們在它下方所掛的砝碼數量愈多時,它的伸長量就愈大。也就是說,彈簧的伸長量(x)與其所受的外力( F ext )成正比:
    F ext x
    式中的符號  是「正比於」的意思。在數學的函數圖形中,成正比的兩個變數之間會呈線性關係。在外力對伸長量的函數圖形(F-x 圖)中,我們可以用點斜式( y=mx+c )來表示這兩個物理量之間的關係:
    F ext =kx
    在把「正比於」改寫成「等於」的過程中,我們加入了比例常數 k。從數學上來看,它是 F-x 圖形中的斜率。從物理意義來看,k 稱為彈簧的彈力常數,可以顯示彈簧的軟硬程度:對相同的伸長量而言,彈力常數愈大的彈簧,所需要施加的外力愈大,也就是彈簧較硬、較難發生形變。
     
    fig_1
    運用數學裡的點斜式(截距 c=0),寫下虎克定律方程式。
           
           附帶一提,如果我們考慮方向的話,由於外力與伸長量的方向相同,以向量形式表示為 F ext =k x 。而彈簧本身的彈力( F s )則與伸長量的方向相反:
    F s =k x
    這是很多同學都熟悉的虎克定律。式中的負號在向量上的意義,表示彈簧的彈力與伸長量的方向相反,這也是彈簧彈力被稱為「恢復力」的原因。

            牛頓的萬有引力定律是另一個很好的例子:兩質點之間的萬有引力大小( F g )與其質量乘積成正比,並與其距離(r)的平方成反比,亦即
    F g =G Mm r 2
     
    同樣地,我們加入了比例常數 G(稱為萬有引力常數),把「比例式」改寫成「等式」。
           
            從這兩個例子,我們可以看到,雖然定律的形式是以「等式」來表示,但在這個等號的背後,往往隱含著物理量之間的「比例關係」。我們不要忘了,物理是一門實驗的科學,而「控制變因」則是設計實驗步驟的重要準則。因此當我們看到一條表示物理定律的等式時,不妨在心裡快速思索一下可能的實驗方法:哪一個物理量是操縱變因?哪一個是應變變因?還有哪些控制變因等等,這條定律是在探討哪些物理量之間的關係?讓「比例式」變為「等式」的比例常數,在物理上具有哪些意義?

     

    四,隱含有「因果」關係的等號
     
            牛頓第二運動定律是另一個著名實驗的結果:物體在受有外力作用的情況下,它的加速度大小會與外力成正比,二者方向相同;若外力的大小固定,那麼物體的加速度大小會與它的質量成反比。以比例式的方式來表達為
     
    m  固定     a F
    F  固定     a 1 m

    這兩個關係式可以合併寫成   a F m ,透過移項法,可再改寫為 F m a 。依照先前介紹的數學方法,我們可以引進比例常數 c,而把比例式改寫成等式: F =cm a

            依照這個等式做計算,使質量  1  公斤的物體產生  1 ms 2 的加速度所需之作用力大小為 c×1kg×1 ms -2 ,亦即 ckg ms -2 ;其中的 c 是一個數字。

            這個看起來「有點醜」的結果,可以透過定義力的單位來美化它。物理學家定義「 ckg ms -2 」為「  1  牛頓」(newton,符號為N),兩相比較可知:比例常數 c 的數值被規定為  1 ,而「公斤 × 公尺 ÷ 秒平方」這一串複雜的單位則以一個新的名字「牛頓」來取代。如此一來,我們便能把 F =cm a 改寫成著名的方程式
     
    F =m a
     
    然而,這個簡潔,讓人看一眼就忘不了的公式,卻對初學物理的同學,造成兩大困擾。首先,如果你是用「F 等於 ma」來解題,就不要忘了「力的單位是牛頓」,而不是我們在日常生活裡常用的公斤重。這個問題在討論質量與重量的差別時,往往讓初學者感到困擾。例如,我們很少會聽到「我的體重是  588  牛頓」這樣的說法。第二個困擾則是「 588  牛頓的體重」到底有多重呢?換個方式來問就是「  1   牛頓的力有多大?

            牛頓第二運動定律裡的等號,除了表示作用力、質量與加速度這三個物理量之間的比例關係之外,也隱含了外力與加速度之間的因果關係:外力是「造成」質點產生加速度的原因。簡單來說:外力的作用是因,物體產生的加速度是果。

            我們知道,地表附近自由掉落的物體,因受重力作用,會以  9.8 ms -2 的加速度掉落到地面(忽略緯度高低、空氣阻力等因素)。如果我們拿一個質量  1  公斤的砝碼,鬆手讓它掉落到地面,過程中,由於重力作用(因),砝碼會以  9.8 ms -2 的加速度向下掉落(果),以等號來連結這個因果關係,表示「造成」或「導致」:
    因=果
    重力 =1kg×9.8 ms -2

     
            依據作用力單位的定義,等號右方的「 9.8kg ms -2 」就是  9.8 牛頓。也就是說,質量  1kg  的砝碼受有  9.8 牛頓的重力大小,這就是我們在日常生活中所說的「  1  公斤重」。由此可見:  1  公斤重等於  9.8 牛頓。若對  9.8 取近似值為  10 ,那麼  1 公斤重大約是  10 牛頓,而  1 牛頓則約為  100 克重。也就是說,剛剛那位體重為  566 牛頓的人,體重是  60 公斤重,質量為  60 公斤。

            行文至此,同學或許已經明瞭「F 等於 ma」這一句話的背後,隱藏有豐富的物理意義吧!

     

    五,隱含有「轉換」關係的等號
     

           除了因果關係之外,等號也可以表達「轉換關係」,能量守恆就是最常見的例子:從離地面的高度 h 處的木塊(質量為 m ),在它自由掉落到地面之前的瞬間速度大小為何?(忽略空氣阻力。)

            在木塊掉落的過程,由於重力位能逐漸釋放出來,使得木塊的動能逐漸增大,速率逐漸增快。因此,木塊在落地之前的動能( 1 2 m v 2 )是由最初在高處時的重力位能( mgh )「轉換」而來:

     
    初能量=末能量
    mgh= 1 2 m v 2

    在以物理觀念列出式子之後,只需要簡單的移項即可得出  v= 2gh

            當同學遇到這條方程式時,如果直接把它唸成「 mgh 等於 v= 2gh 」,那麼這就只是一個數學語句而已。如果能把它說成「重力位能轉換成動能」,則更能凸顯同學對於物理觀念與物理意義的理解。 

            愛因斯坦的質能互換公式 E=m c 2 是另一個著名的例子,式中的「等號」不僅讓我們可以計算核反應所產生的巨大能量,更聯繫起「質量」與「能量」這兩個原本完全不相關的物理量。質量與能量之間可以互相轉換的關係,顛覆了世人對於「物質」與「能量」的觀點。

     
     
    六,善用等號隱藏的「因果關係」來解題

            「力的定律」與「運動定律」之間的差異,在初學力學定律時,往往受到忽略。前述的虎克定律與萬有引力定律是屬於「力的定律」,探討的是作用力本身的特性,亦即彈力是與伸長量成正比的恢復力,兩質點之間的萬有引力大小,與其質量乘積成正比,而與其間距離的平方成反比。至於「運動定律」( F =m a )探討的則是作用力與加速度(運動狀態改變)之間的因果關係

            在解題上,考慮到造成運動的因果關係,我們常常需要透過等號,把力的定律與運動定律聯合起來。

            以等速率圓周運動為例。雖然它的運動速率是固定的,但由於速度在方向上的持續變化,所以它是一個「變速度」運動,亦即物體具有加速度。
    而這個加速度的大小雖然是固定的( a c = v 2 r ),但方向卻是一直朝向圓心,稱為向心加速度,所以也是一個「變加速度」運動。

            如果我們拿一條繩子,繫上一個小石塊,讓它在我們的頭頂上方旋轉做等速率圓周運動,顯然,這個石塊是具有加速度的。從牛頓第二運動定律來看,這個石塊所擁有的向心加速度是「果」,它的「因」在哪裡?答案顯然就是綁著石塊的繩子。換句話說是:繩子的張力「提供」石塊旋轉所需的向心力。

            從這個旋轉的小石塊來看「行星繞日」的問題:質量為 m 的行星,繞著質量為 M 的恆星,在半徑為 r 的圓形軌道上運作。此時,旋轉中的行星就像那個小石塊,被一條「無形的繩子」所拉著,也就是說:萬有引力「提供」行星繞日所需要的向心力,那麼很容易就可以推論出行星的公轉速率與週期之間的關係:

     
    解題步驟                 解題思維
    F g = F c                  因=果
    G Mm r 2 =m v 2 r      力的定律=運動定律

    在正常的解題過程中,我們通常只會寫出左側的數學步驟,然後便開始計算,從而得出公轉速率為  v= GM r 。從簡單的「時間等於距離除以速率」,把圓周長除以這個速率就可以得出行星的公轉週期為
    T= 2πr v =2π r 3 GM

    數學稍好的同學,還可以同時在等號兩側取平方而讓根號消失,從而得出
     T 2 = 4 π 2 GM r 3
    相信眼尖的同學已經看出來,這就是克卜勒第三行星運動定律:行星公轉週期的平方與軌道半徑的三次方成正比。雖然這個計算過程本身並不複雜,然而,如果能夠理解等號背後所含的因果意義,就能清楚地知道,為什麼牛頓的萬有引力定律可以推論(或證明)克卜勒第三行星運動定律的緣由。

            值得一提的是,同學很容易誤把向心力當成另外一個獨立的作用力或外力,然而,事實上,向心力本身不是一個作用力,而是作用在物體上所有外力(例如繩子的張力、斜面的正向力或萬有引力等)的結果,是這些外力的合力,提供了物體旋轉或作圓周運動所需要的向心力。因此,精確來說,向心力是「果」,而作用在物體上的外力才是「因」。

            對於學過簡諧運動的同學而言,另一個著名的例子是:連接在彈簧上的木塊會做簡諧運動。簡諧運動的定義之一是物體的位移與加速度的大小成正比,但二者的方向相反。我們只需要結合虎克定律與運動定律( k x =m a )便能看出,由於式中的彈力常數k與木塊質量m都是常數,因此可知位移與加速度的大小程正比,式中的負號則表示二者的方向相反。



    結語:想清楚,說明白 

            在現代社會裡,科學與我們一般的日常生活已經密不可分了。世界各國的中學科學教育目標,除了為未來的科學家養成教育奠下基礎之外,更著重於培養未來公民的科學素養。

            科學素養的基本定義是指在日常生活中,人們可以就科學相關議題進行溝通,或是依此議題去收集資料,並做思考、判斷,從而解決問題或是做出適當的決定。換言之,「溝通」是呈現素養的一個重要方式。

            就「科學素養」的角度而言,光學會公式、計算與解題是不夠的,無論是專家要與社會大眾溝通,或是社會大眾要聽得懂專家口中抽象的方程式或術語,理解隱藏在方程式符號背後的意義,都是一個重要的課題。

            以紐西蘭的評量方式為例,一份物理考卷會有三大題,每一大題之下再細分為三、四道子題,子題由淺而深依序為 what、how與why的問題,分段給分。最先出現的大多是「定義型」試題,測驗學生是否知道某個定義(what),同學只需根據定義公式,從題目裡挑出合適的數值,代入計算即可。接下來的一或二道子題,則類似我們在台灣試卷上比較熟悉的「解題型」試題,著重在如何(how)看出已知數與未知數之間的關聯,據此擬定解題計畫,結合不同的公式,經過小心計算來得出正確答案。最後則是我們比較不熟悉的「解釋型」試題,類似申論題,需要透過文字,解釋整個解題的觀念、運用的物理定律與背後的假設條件等等(why),才能得到這道試題的滿分。

            很多同學在學習物理的時候,不問前因後果,只知道漫無目的地背下很多公式,其實這個過程不僅無趣,而且在需要解題的時候,面對腦中雜亂無章的眾多公式,往往不知道該選用哪一條公式才好。然而,如果在學習物理公式的時候,稍加思考隱藏在等號背後的含意,便可以在頭腦裡,很自然地把龐雜的物理公式分門別類組織起來,在面對問題的時候,可以依照問題的情境,運用物理觀念與邏輯思考,選取合適的公式來解決問題。最讓人感到扼腕的情形是,明明可以算出答案,卻因不知該如何解釋,而得不到滿分。

            愛因斯坦有句名言:「如果你不能簡單說清楚,就表示你沒完全明白。」雖然數學是物理的主要語言,二者也有很多相似與重疊的地方,但物理終究不是數學,而數學也不是物理。因此,試著用「語言文字」來搭起物理觀念與數學語句之間的溝通橋樑,讓這兩個領域的學習可以相輔相成,彼此相得益彰,既能加深對這兩個學習領域的理解,更能同時提升科學與數學的素養。

            簡單來說,學物理,光會背公式、套公式是不夠的,還要能夠用「話」(語言、文字)把自己的想法說清楚才算完整。所以,下一次遇到新的物理公式時,不要直接用「等於」把公式唸出來,試著用其他的同義詞來取代看看吧!
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