教育 物理

如何看懂物理公式 (四):定理篇

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撰文者:蔡坤憲
發文日期:2019-12-05
點閱次數:1600
  • 大家應該都有被掉下來的東西砸到腳的經驗,這個撞擊力道,或是我們所感受到的疼痛程度,當然與物體的重量、材質的軟硬、掉落的高度等等變因有關。對於已經學過牛頓運動定律的我們來說,該如何以所學來解釋這件生活中常發生的事呢?大名鼎鼎的 F = ma 公式可以幫得上甚麼忙?


    解題與「模型」

    在學物理的過程中,「解題」佔了相當大的比重。從學物理中所培養出來的解題能力,可以幫助我們解決很多日常生活或是工程上的問題,也能幫助我們對於未知的現象,做出一些推理與預測,甚至發明與創造出一些有用或有趣的產品。

    然而,真實世界裡的問題,往往非常複雜,剛剛那個「砸到腳」的問題就是一例。在在動手解決問題之前,往往需要先找到一個簡單的替代品,讓我們可以透過相對簡單的方式,來看待真實世界中的複雜問題,若能就此得出讓人滿意的結果,那麼這個簡單的替代品,就是一個好的「解題模型」。萬一這個結果不夠精確,或是無法讓人滿意,就表示我們需要建立一個更精緻的模型。

    物理學家所建立的模型與我們日常所見的模型不太一樣,譬如說,它不像戰艦或坦克模型,是個依比例縮小的實體模型,甚至需要重現許多細節,它也不像鋼蛋模型,只憑漫畫家天馬行空的想像力,而沒有實物可供參照。解題模型是一個既可以凸顯問題的特徵,又能有助於解題的想法。舉例而言,當我們想知道某棵樹的高度,卻又無法直接測量時,只需要一個簡單的三角形模型 (如圖一),讓我們在測量與樹之間的距離,以及抬頭望向樹梢的仰角,便能利用三角函數關係來求得這棵樹的高度。
     fig1(1128)
    圖一:解題模型:利用三角形與三角函數來求得樹的高度。

    再以「砸到腳」的問題為例,我們可以利用質點、彈簧等材料,建立一個簡單的物理模型 (圖二),並藉此來討論撞擊力道的問題:
     
    fig2(1128)
    圖二:「砸到腳」問題的解題模型:木塊由高處落下,撞上一個有彈簧支撐的平台。

    有一個質量 1 kg 的木塊,從 2 m 高處掉落到一個表面帶有黏性的平台,木塊在掉落之後與平台黏在一起,平台質量 2 kg,下方由一個彈性係數為 100 Nm-1的彈簧所支撐。試問由於木塊的掉落,造成彈簧的壓縮量為何?

    當然,這個模型忽略了許多細節,然而,「簡化」正是解題模型的威力所在。模型中的平台相當於是我們的身體,木塊則是掉下來打到我們的東西。由於我們希望知道撞擊的力道,所以放一個彈簧在平台下,可以透過它的壓縮量來測量撞擊的力道。

    也許讀者同學會覺得這個模型與試卷上常見的試題很相似,看起來不是很親切。事實也的確如此,許多常見的物理習題或試題,都是以類似這樣的「解題模型」來表示,目的是提供學習者機會,去熟悉與練習相關的知識與技能,這包括看懂題目中的關鍵字,或是讀出字裡行間所給的暗示與條件,從而應用相關的物理知識,例如定義、定律、定理或其它公式等,求得解答。日後,當遭遇真實的複雜問題時,可以自行建構出合適的模型,發揮解題功力,找到解答。



    換個眼光來看牛頓第二運動定律

    我們在前一篇專欄裡,只有根據位移 (距離)、速度與加速度等三個物理量的定義,加上一個「等加速度」的條件,以「數學運算」的方式,來做「邏輯推理」,從而得出四條可以解決許多實際問題的運動學公式,譬如自由落體運動中的下落與上拋運動,描繪出斜向拋射的拋物線軌跡,以及煞車之後的停止距離等等。

    現在,我們將以同樣的方式,但改從「定律」出發,也就是根據已知的現象或實驗結果,透過數學運算來做邏輯推理,看看可以得出怎樣的結果?按道理說,如果定律是正確的、是符合自然現象的,那麼根據定律而推理出來的結果,必然也會與自然現象相符。這個從定律計算、推理出來結果,稱為「定理」。

    以牛頓第二運動定律為例:若把加速度的定義具體地寫進公式 F = ma 裡:
          math1

    之後,括號展開,再移項整理可得
    F∙∆t = mv- mvi
    此時,我們看到:等號的左方是外力與時間的乘積 ( F∙∆t ),右方則是質量與速度的乘積 (mv)。

    如果我們為這兩個乘積,分別取一個新名字:把外力與時間的乘積稱為「衝量」 (impulse),符號以表示;後者稱為「動量」(momentum),符號以 表示。那麼,等號的右方還可以進一步說成是「末動量減去初動量」,或是「動量變化量」。

    如此一來,我們原本熟悉的牛頓第二運動定律:外力造成質點的加速度 (F = ma) ,就變成了:衝量造成質點的動量變化 (J= pf - pi =∆p) 。這就是著名的衝量-動量定理 (impulse-momentum theorem) 。



    新物理量的誕生:衝量與動量的定義

    回顧一下剛剛的推理過程:我們把 F = ma 改寫成 J=∆p,不多不少,同樣只用了三個字母 (其中一個是希臘字母)。雖說這是物理公式最優美的地方,但也是最讓人覺得抽象與困難的地方:簡潔!

    該怎麼克服這個困難,來理解這些優美的物理公式呢?其實,很多物理公式好比是「濃縮果汁」,真的要喝它的時候,需要先經過「稀釋」,才能入口。

    至於稀釋的方法,就是濃縮過程的回溯而已。回顧我們在推導定理的過程,最重要的一個環節就是:下定義。這很像我們在看到新東西時,要幫它們「取名字」那樣,例如,我們把「質量與速度的乘積」取名為「動量」,之後,我們就可以利用這個新名詞,來討論速度慢的大車與速度快的小車,二者之間在運動效果上的異同。我們也因此而了解到,物體所具有的「運動的量」或「運動的多寡」,除了速度之外,還得考慮到它的質量;這正是牛頓最初的想法:作用力所改變的,不僅僅是物體的速度 (加速度) 而已,而是整個物體的「運動的量」。在他的《自然哲學的數學原理》鉅著中,他以拉丁文 momentum來稱呼這個「運動的量」,這個名字被保留至今,成為一個「很物理」的英文字,中文譯作「動量」。

    同樣地,相對於只單純地討論作用力的大小,「衝量」讓我們理解到,時間在此所扮演的重要角色:在短時間裡,施加較大的作用力,或是以較小的作用力,作用一段較長的時間,二者都可以讓物體具有相同的運動效果,或說是造成相同的動量變化量。

    當然,定義不僅僅是取名字而已,它還包括了要能看出那個新東西、新物理量的內涵與意義,就這個觀點來說,定義,可說是「發明」出一個新觀念,或是看出一個新觀點。這呼應了我們在之前專欄的討論,看到「定義」時,不要先問「為什麼」,而是要問「這是什麼意思?」。現在,我們還可以進一步追問:「這樣定義,有甚麼好處?可以得出甚麼結果?」。



    「動量守恆」是定理還是定律?

    衝量與動量的說法 (觀念) 對於解決「碰撞」的問題,很有威力!

    如果我們把發生碰撞的兩個質點視為一個「系統」,那麼在碰撞發生的瞬間,除了兩個質點之間的作用力與反作用力之外,「沒有其它外力」作用在這個系統上。因此,對此系統而言,從衝量-動量定理來看,由於系統所受的衝量為零,因此系統的動量變化量會等於零,亦即系統的末動量與初動量相等 (pf = pi)。這個推論的結果稱為「動量守恆定理」。

    雖說這是由衝量-動量定理所推導出來的結果,但是別忘了,它最初是根據牛頓第二定律而來的,而且在所有的碰撞問題上,「動量守恆」可說是屢試不爽,永遠成立,所以物理學家讓它保有「定律」的頭銜!



    神奇的「功-能」定理

    相信只要是學過一些基礎物理的同學,對於動能等於 math2、重力位能等於 mgh,這兩個公式應該不會感到陌生。但不知大家是否好奇過「為什麼」動能等於math2?重力位能等於 mgh

    在學習物理的過程中,我們都是先從「功」 (work,符號為 W) 的定義開始。若省略向量內積與方向等細節,只從最簡單的「功等於力乘以位移」 (W=F∙d) 出發,代入相關的條件與數值,便可以導出動能、重力位能與彈力位能等三個公式,如圖三所示。
     
    fig3(1128)
    圖三:外力對物體作功,轉換成該物體的能量。三種基本機械能種類:(a) 動能,(b)重力位能,(c)彈力位能。

    首先是「動能」的公式:考慮在一個光滑的水平面,有一大小固定的作用力F,推動某物體使其移動距離d。作用力對物體的作功大小,自然是力與距離的乘積 (F∙d,如圖三a所示) 。由於力會造成加速度,所以物體在移動了距離 之後,速度會增加。把牛頓第二運動定律代入功的定義可得:
    W=Fd=ma∙d

    回顧等加速度運動公式,在不知道時間的條件下,距離與末速度的關係為math3,經過移項運算可得
          math4
    因此該外力作功的大小為
          math5

    現在的情形很像先前出現動量的時候,又是一個需要「取名字」或「下定義」的時候。為了凸顯這個式子的含意,假設物體最初是靜止的,即 vi=0,那麼一個本來靜止的物體,在外力作用一段距離之後,具有速度 v,根據計算的結果,外力作功的大小等於 math2

    該怎麼為這個新的物理量命名呢?我們怎麼知道這是一種能量呢?這個問題其實很難用三言兩語說清楚,因為它很像生物學裡「先有雞,還是先有蛋」的問題,在物理學裡,「先有功,還是先有能」也是一個大問題。簡單來說,由於這是一個跟運動狀態(速度的平方)有關的物理量,而先前的「動量」只與速度的一次方有關,因此它不是動量。物理學家把它歸類為是一種「能量」,再由於它是一個與運動狀態有關的能量,所以稱為動能。這就是著名的功-動能定理

    定義了功,再定義了動能之後,一件神奇的事就此發生了:物理學家在「功」與「能量」之間畫上了等號!(我們稍後再回來討論能量的定義。)

    譬如說,在地表附近,若施力使物體等速上升到高度 h處,此外力作功會轉換成物體的重力位能 (𝑚𝑔∙ℎ),如圖三b所示。

    如果是施力彈簧伸長 的長度,那麼在這個過程所作的功,會轉變成彈簧所儲存的彈力位能 (
    math6) 公式,如圖三c所示。值得注意的是,與先前的兩個情形不同,在對彈簧作功的過程中,根據虎克定律,施力大小並不是固定的,而是逐漸增加的,因此在計算上,需要考慮到在作用力與位移的關係圖中,作功的大小不再是定力作功時的長方形面積,而是三角形面積,所以會在公式中出現二分之一。


    先有「功」,還是先有「能」?

    我們已知:功的定義是力乘以位移。那麼能量的定義是甚麼呢?在物理學上,能量被定義為:物體或系統所具有之「作功的能力」。
     
    fig4
    圖四:鐵鎚把釘子敲進牆壁的過程,涉及功與能量的轉換。

    舉個簡單的例子,有個鐵槌,質量 m,以速度 v 把釘子敲進牆壁,假設鐵鎚沒有反彈,而是跟著釘子一起在牆壁中移動了距離 d 之後靜止下來,試問在這個過程中 (如圖四),鐵鎚對釘子作功若干?

    假設牆壁施加在釘子上的平均摩擦力為 f (視為定力),那麼鐵鎚從速度 v 減為 0 的過程則為等加速度運動 (加速度為負值),在未知時間的條件下,使用運動學公式可得:
          math7

    根據牛頓第二運動定律可知:摩擦力是造成鐵鎚減速的原因 (f=ma),把加速度代入上式可得:
          math8

    等號左側是摩擦力與距離的乘積,由於二者的方向相反,所以乘積的結果為負值,代表摩擦力做「負功」,使鐵鎚減少了math2的能量。這代表了甚麼?質量 m、速度 的鐵鎚具有 math2的「作功能力」,換言之就是,鐵鎚具有math2的動能。這個有趣的巧合,是否耐人尋味?

    鐵鎚的例子讓我們了解到,功存在於能量轉換的過程:鐵鎚因摩擦力做負功而損失了動能,這些動能跑到哪裡去了?從簡單的摩擦生熱現象可知,這些動能轉換成熱能了。稍加思考不難發現,總能量是固定的,它們透過「功」來轉換成不同的形式。自高處掉落的物體,重力位能轉換成動能 (重力作功) 的例子,被拉長或壓縮的彈簧,在恢復原狀的過程,則是彈力位能轉換成動能 (彈力作功) 的例子。總結來說:能量是守恆的!

    相較於動量守恆具有「定律」的地位,在愛因斯坦從《狹義相對論》導出著名的質量-能量轉換公式 E=mc2 之後,「能量守恆」的地位一路從定理、定律飆升到「原理」的地位,這表示它不僅屢試不爽,更是放諸四海皆準!



    碰撞:動量必定守恆,而能量卻未必!

    經過先前這些介紹與討論之後,除了力量之外,我們還多出了動量與能量的觀念,可以用來思考這個「砸到腳」的解題模型。這整個過程可以分割成三大部分來看:
    •    木塊從高處掉落:可能涉及自由落體的末速度,或是重力位能與動能之間的轉換;
    •    木塊掉落在平台上:在物理上是一個「碰撞」的過程,可能涉及動量守恆定律;
    •    木塊與平台一起向下運動,壓縮彈簧:與虎克定律有關,也可能涉及動能與彈力位能之間的轉換。

    首先,木塊掉落到平台上,發生碰撞之後,沒有彈開,而是一起向下運動,屬於「完全非彈性碰撞」。已知木塊由 2 m 的高處落下,因此木塊在掉落過程中的末速度,即為與平台碰撞前的初速度:
          
    木塊 (m) 與平台 (M) 碰撞之後,二者合而為一,此時的速度為碰撞後的末速度vf。由於碰撞的過程,沒有外力參與,因此可運用動量守恆定律:
    pi=pf
    mvi= (m+M) vf
    移項之後可得末速度:
          math10

    從能量的觀點來看,木塊最初具有的重力位能為 (初能量) :
    Ei = mgh =1×9.80×2 =19.6  J
    碰撞之後,木塊與平台合而為一的系統動能為 (末能量) :
          math11

    比較這二者的能量差:19.6 – 6.55 = 13.05,換成百分比來看: (13.05 ÷ 19.6) × 100% = 66.7%,這表示在碰撞的過程中,亦即在這個碰撞的過程中,有三分之二的位能不見了!

    當然,根據能量守恆原理,這些重力位能並沒有消失,只是轉換成熱能,亦即木塊與平台內部原子的振動動能,而非肉眼可見,鉅觀物體所具有的移動動能(
    math2)。這一類的熱能,與摩擦生熱,或引擎、電器發熱的熱能一樣,屬於沒辦法再利用的能量,因此,在許多能量轉換的過程,雖然「總能量」維持不變,但「有用的能量」卻會愈來愈少。


    掉落物體的重量與撞擊力

    木塊掉落到平台之後,二者合而為一,木塊雖損失了部分重力位能,但剩餘的能量還是與平台一起向下運動,擠壓彈簧。若我們忽略彈簧內部的摩擦力不計,那麼這就是一個動能轉換為彈力位能的過程。

    值得注意的是,彈簧的總壓縮量包含了兩部分:首先是來自於平台本身的重量,假設壓縮量為 x ﹔其次是因木塊掉落後而產生的另一個壓縮量,假設其值為 y

    第一部分的壓縮量x可由虎克定律計算而得:
          math12

    當彈簧被壓縮到最低點的瞬間 (總壓縮量為 x + y),木塊與平台系統是靜止的,此時的彈力位能有三大組成:木塊與平台碰撞後的動能、木塊與平台一起掉落高度 y 的重力位能,以及最初平台對彈簧的壓縮量 x 的彈力位能等;寫成算式為
          math13

    代入數值:
          math14

    整理、化簡之後可得:
    50y2 - 9.80y - 6.55=0
    利用一元二次方程式的公式解可得:
          math15  (負值不合)
    也就是說,彈簧因平台的重量,已先有0.196 m的壓縮量,後由於木塊的掉落,又多了額外 0.473 m的壓縮量。根據虎克定律可知,這個質量1公斤的木塊,從2公尺的高處落下並撞上平台之後,連同平台可對彈簧產生「最大」47.3 牛頓,約合4.83公斤重的作用力;這是將近它原本重量的5倍之多!(特別是在損失了三分之二的位能之後!)

    得出這個答案顯然已經是個不錯的結果。然而,若要「更完整地」討論撞擊力道,還得考慮在彈簧抵達最低點之後,木塊與平台會從底部反彈,開始做簡諧運動。我們可以根據這個壓縮量,來計算出振幅的大小,還可以根據彈簧的彈力係數,以及平台與木塊的質量來計算出簡諧振盪的週期大小。從而得知,木塊從與平台接觸開始,一直到把彈簧壓縮到最低點時所經過的時間,這過程中的作用力大小,當然不是固定的,所以整個討論得從衝量來討論。



    結語:牛頓力學的三腳架:力量、動量與能量

    我們以這道問題,做為「如何看懂物理公式」系列的最後一篇專欄,希望向讀者同學展示物理公式的多樣面貌。物理公式之美,美在其簡潔,卻也因其簡潔而讓人覺得抽象與困難。

    從背公式或套公式計算的角度來看,本文所討論的所有公式,都不算困難。然而,在深入理解定義、定律與定理等各自不同的特質之後,相信對物理學家思考事情方式,會多一番理解,也可以看出,許多表面看似迥異的公式或物理量,例如作用力、動量、衝量、功,以及各種形式的能量等等,其實只是同一個道理的不同面貌而已 (如圖五所示)。
    fig5(1128)
     
    圖五:牛頓力學的三腳架:力量 (作用力)、動量與能量。

    因此,雖然 F=ma 是個放諸四海皆準的物理定律,但我們卻無法只憑這一條公式,就解決索所有的問題。這也是本篇文章希望透過「定理」的介紹,讓大家看到定律的另一種面貌,或是另一個觀點,除了加深對原本定律的理解之外,也為解決問題,提供新的思考方向,以及新的解題工具。
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