歷史 物理

漢密爾頓:終生為情所困的愛爾蘭神童

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撰文者:高崇文
發文日期:2019-07-05
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  •  一般人想到愛爾蘭,大概只會聯想到詩人、歌手、跟酒鬼。其實愛爾蘭也出過一位非常偉大的科學家:漢密爾頓。他是不太成功的詩人,晚年也的確成了酒鬼,但是他也是科學史上響叮噹的大人物,他在代數 、光學、特別是古典力學都留下不可磨滅的貢獻。尤其是漢密爾頓發明的力學系統在電動力學、統計力學以及量子力學的發展都扮演舉足輕重的角色。此外漢密爾頓所發明的四元數也是足以讓他名留青史的偉大成就。一般大眾卻鮮少聽過他的名號,所以就讓阿文為您詳述他的一生。

    威廉.羅文.漢密爾頓爵士(Sir William Rowan Hamilton 1805–1865)於1805年誕生於愛爾蘭的首府都伯林,他的父親亞齊巴德.漢密爾頓(Archibald Hamilton)是在都柏林執業的律師。威廉在九個小孩中排行第四。威廉在三歲時父母就將他送到都柏林城外的小鎮Trim,由叔叔詹姆斯(Rev James Hamilton)扶養。詹姆斯是愛爾蘭最高學府都柏林三一學院的畢業生,他是一家私立學校的校長。正是詹姆斯發現威廉過人的語言天賦。在詹姆斯的指導下,威廉七歲就學會了希伯來文,甚至在十三歲時威廉已經精通十三種語言,包括波斯語、希臘語、拉丁語、敘利亞語、佛教原典所用的巴利語、義大利語、法語、阿拉伯語、孟加拉語、烏爾都語、馬來語、梵文等。他終身保持對外國語言的興趣,成年之後他在閒暇之餘,仍不時以閱讀波斯文乃至於阿拉伯文的著作當作消遣。但是命運之風並沒有將威廉吹向語言學家之路。1813年時 一位美國心算神童Zerah Colburn來愛爾蘭而與漢密爾頓展開一次心算競賽。威廉居然落於下風,因此他逐漸將學習重點由語言轉到數學。有趣的是Zerah Colburn反而後來成了語言學的教授,可惜三十四歲就死於肺結核。

    十二歲時,威廉開始讀牛頓的Arithmetica Universalis。他從這本書開始接觸到現代的分析學。接著他繼續讀牛頓的鉅著:自然哲學的數學原理,十六歲時他已精通此書,而且他對微積分與幾何都相當熟悉。到了1822年他甚至開始讀拉普拉斯的鉅著”天體力學”( Mécanique céleste )。當他發現了拉普拉斯在書中有一處疏漏時,他的朋友鼓勵他把這個發現寫出來,並拿給當時愛爾蘭皇家天文學家約翰.布立克萊(John Brinkley, 1766 –1835)看。布立克萊本身也是位頗有成就的天文學家,他馬上認知到漢密爾頓的才能,並且竭力地鼓勵他。他甚至曾說過:
     

    ”這個年輕人,現在,不是未來,就已經執當代數學界之牛耳!"

    (This young man, I do not say will be, but is, the first mathematician of his age.)
     

    對一個十七歲的少年來說,這樣的稱譽實在令人驚訝。其實布立克萊本人不但是劍橋出身的英才,畢業時拿過senior wrangler榮銜,後來還在1824年得過皇家學會頒發的科普利獎章。布立克萊二十四歲就當上了都伯林三一學院的天文學教授兼Dunsink 天文台台長。當時還引起一陣騷動,因為他不是愛爾蘭人,而是英格蘭人。他最重要的成就是嘗試測量所謂的"視差"(parallax),就是在不同季節,因為地球公轉造成地球的位置改變,連帶地恆星之間的夾角也會隨著改變的效應。這個效應非常地小。布立克萊在1818年宣稱在Dunsink 天文台觀測到了!但是格林威治天文台的皇家天文學家John Pond (1767-1836)一直與布立克萊爭論這個"發現"。後來才發現,布立克萊的結果有問題,因為Dunsink 天文台的儀器不夠精良,量不到實際的"視差。第一次真正量到視差是1838年德國天文學家Friedrich Wilhelm Bessel(1784-1846)觀測61 Cygni 才達成。
     

    1823年,漢密爾頓十八歲時,進入都柏林三一學院主攻古典文學以及數學,他每一科的入學考試成績都獨占鰲頭。他在三一學院的表現可謂空前絕後。而當時的都伯林三一學院在Bartholomew Lloyd 的大力改革下,也成為一流的大學。尤其Bartholomew Lloyd 引入了新的數學教科書,與歐陸的數學新潮流同步,這一點特別要緊。漢密爾頓躬逢其盛,這對他一生的研究影響極大。讀了一年半之後,漢密爾頓在1824年就在愛爾蘭皇家學術院(Royal Irish Academy)宣讀一篇關於caustic的論文,caustic是指由彎曲表面或物體反射或折射的光線形成的包絡線,由於漢密爾頓的手法太過抽象,所以聽眾的反應很冷淡。但是漢密爾頓後來的光學研究就是延續這篇文章的脈絡發展而成的。

     
    William_Rowan_Hamilton_portrait_oval_combined
    圖片來源:wikimedia common
     

    不過漢密爾頓雖然考場得意,卻是情場失意。他在1824年八月時跟著叔叔去Summerhill 拜訪Disney家,認識了Catherine Disney。漢密爾頓馬上陷入情網,無奈他還只是個大學生,無法開口求婚。不料隔年二月,Catherine Disney 就嫁給一位國教會的牧師,比Catherine 整整大上十五歲!漢密爾頓得知之後,有如晴天霹靂,不但成績從valde bene (優)掉到 bene (良),還大病了一場。從這個時期起他開始寫起詩來了。當時正是英詩的黃金時期,著名的湖畔詩人正大受歡迎,不過漢密爾頓的詩寫得很普通就是了。1826年他康復之後,在古典人文學科與數學都拿到最高榮譽optime,這是空前絕後的記錄。1827年四月,他在愛爾蘭皇家學術院宣讀了他的嘔心瀝血之作“Theory of Systems of Rays"。看來他是化悲憤為力量,把失戀當成求學動力了。
     

    原本大家都期待他畢業時能拿到最高榮譽金牌,但是1827年當布立克萊教授離職,前去擔任Cloyne的主教時,漢密爾頓的老師勸他也去申請看看,申請者眾多,連後來的皇家天文學家Airy 爵士(1801-1892)也名列其中,沒想到遴選委員一致推舉還沒拿到學位的漢密爾頓繼承布立克萊留下來的職位。所以在二十二歲的英年,漢密爾頓就意外地成為三一學院的教授,並且終生都住在 Dunsink 天文台定居。但是尷尬的是,漢密爾頓不是個出色的天文觀測家,布立克萊教授對這項任命就相當不以為然,幸好漢密爾頓在光學與數學都有了不起的成就,也沒丟臉就是了。
     

    上任前,漢密爾頓帶著妹妹Eliza到英格蘭與蘇格蘭遊覽,在蘇格蘭結識了著名的詩人William Wordsworth (1770-1850)。兩人成為好友,終生魚雁往返不斷。Wordsworth對Eliza Hamilton的詩頗為欣賞,至於漢密爾頓的詩可就不置可否了。兩人還曾針對詩與科學是否相似有過一番激辯,Wordsworth還給漢密爾頓忠告:你還是好好做科學吧!除了Wordsworth之外,湖畔詩人中的科利芝(Samuel Taylor Coleridge)對漢密爾頓也有很重要的影響。就是透過柯利芝的介紹,漢密爾頓開始對康德的哲學產生興趣。之前漢密爾頓曾研讀過愛爾蘭出身的哲學家喬治 柏克萊的著作,但是康德的哲學讓漢密爾頓大開眼界,對他日後的學術發展有很深的關聯呢。

     

    漢密爾頓一開始專研光學,1827年,他在Theory of Systems of Rays這篇論文中第一次提出了漢密爾頓主函數Hamilton's principle function。並且提出了漢密爾頓–雅可比方程式(Hamilton-Jacobi equation)。接下來,漢密爾頓分別在1830年,1831年,1832年寫了三次"補充"(Supplement),擴充他的理論。第一次補充,漢密爾頓提出了光所滿足的最小作用量原理,並且運用變分法導出光束的方程式。第二次補充他嘗試解出特定系統的漢密爾頓–雅可比方程式。在最後一次的補充之中,漢密爾頓不只討論了雙軸晶體的雙折射,還預測了雙軸晶體的錐折射(conical refraction)的現象,就是當光束沿其雙軸晶體的一個光軸時,這道光束將演變為空心的傾斜錐形,並且在離開晶體時,在介面發生折射,出射光形成錐面光束。漢密爾頓在愛爾蘭皇家學術院發表這個結果,但是沒有得到太熱烈反應,因為學術院大部分的人還是抱持著牛頓光粒子說的觀點。所以漢密爾頓就要求三一學院的同事Humphrey Lloyd(1800-1881)作實驗來驗證他的理論Humphrey Lloyd正是改革三一學院的大功臣Bartholomew Lloyd 的兒子。1833年二月,Humphrey Lloyd 發表論文確認了漢密爾頓的預測!這在當時被認為是光的波動說,尤其是Fresnel 橫波理論的大勝利。

     

    這原本是讓漢密爾頓大出風頭、極為光彩的一件美事,不料同樣在三一學院的James MacCullagh(1809-1847) 居然投書,宣稱他之前的論文的內容就可以推出錐折射,所以發現錐折射的功勞是他的!一向待人和善的漢密爾頓也怒了,兩人針鋒相對,到最後,MacCullagh再次投書坦承自己沒有跨出最後一步,這個風波就此平息。也就是在這年,漢密爾頓與Helen Maria Bayly 結婚,遺憾的是這段婚姻並不幸福,漢密爾頓是出名的心不在焉,而他的太太又不善持家,也許,對浪漫的漢密爾頓而言,他一生的真愛是早就嫁為人妻的Catherine Disney 吧。
     

    完成了光學的研究之後,特別是引用了最小作用量原理之後,漢密爾頓就嘗試將他的系統擴充到力學系統上。他在1833年發表了“On a General Method of Expressing the Paths of Light and of the Planets by the Coefficients of a Characteristic Function”嘗試用他的系統來處理天文學的問題。隔年他在”哲學論叢” Philosophical Transactions 發表了 “關於動力學的一般方法”。 這篇論文利用變分原理統攝了力學與光學, 雖然變分法早已被運用在力學的研究,然而只有在漢密爾頓的手上,力學系統底下的數學結構才真正的被徹底地揭露了。一個最關鍵的地方是漢密爾頓將”位置”與”動量” 當做兩個獨立的變數,原來的運動方程式是一個變數為位置的二次微分方程式。 在漢密爾頓的系統裏,運動方程式變成兩個一次微分方程式,變數分別為位置與動量。乍看之下,這樣改寫的力學似乎只是個聰明的數學遊戲。但是一旦將”位置”與”動量”當做獨立的變數, 描述運動的空間(稱做相空間)豐富的幾何結構很快就顯現來 (稱做糾紐幾何)。糾紐幾何中的座標變換就對應到一個力學中的座標變換,這樣的座標變換稱為正則變換。在漢密爾頓力學中,一個力學的對稱性很容易被掌握,基本上就是任何與正則變換對易的變換,都是系統的對稱性。 舉例而言, 如果對系統做一個轉動再做一個正則變換, 結果與先做一個正則變換再做一個轉動, 結果如果一樣的話,那系統就擁有均向性,換句話說 ,轉動並不會改變系統的行為。瞭解系統的對稱正是現代物理最重要的任務,無怪乎漢密爾頓在現代物理如此重要。
     

    當漢密爾頓剛發表這套力學的時候, 科學界還不了解它的深刻內涵 。由於漢密爾頓–雅可比方程式一般說來非常難解,實際上用處不大,所以科學界也沒有太多迴響。但是隨著科學的發展,漢密爾頓的力學一次又一次發揮它的威力。 譬如說利用相空間的特性 ,統計力學才有Liouville定理。這定理告訴我們,相空間的動向流是不可壓縮流。 此外在電動力學 、相對論的發展時, 漢密爾頓力學也提供了描述理論的架構。而在量子力學的歷史中,漢密爾頓力學更是扮演一個關鍵的角色,海森堡的矩陣力學的主要內容,就是將位置與動量當做兩個不對易的矩陣。 薛丁格的波動力學則是追隨漢密爾頓,將幾何光學與波動力學連繫在一起的手法,運用到物體的力學,而提出相應的波動力學。可以說沒有漢密爾頓力學,量子力學就發展不出來的。由此可以想見漢密爾頓對後世理論物理的發展有有多重要了。
     

    雖說在科學上有如此亮眼的表現,但是這一年對漢密爾頓而言卻不好受。長男出生後,他的太太藉口去照顧母親,離開他九個月之久。但是在事業上,倒是頗有斬獲。就在這一年他因擔任在都柏林召開的英國學術協會的秘書,負責籌畫整個會議,而受勳成為爵士。1837年他還獲選為愛爾蘭皇家學院的主席,擔任這個職務直到1845年。表面盎雖然風光,但是他的家庭風波不斷,1836年秋天,當漢密爾頓前去Bristol 參加British Association 的會議時,他的太太帶著孩子回娘家,離家整整十個月。回來愛爾蘭,生下女兒Helen Eliza Amelia之後,竟然丟家棄子跑到英格蘭去了。直到1842年才回到漢密爾頓家。這一連串的家庭風波讓漢密爾頓染上酗酒惡習,也頗令人同情的。不過漢密爾頓不愧是偉大的科學家,他從1835年起就不斷沈思"代數"的本質,他尤其對複數與幾何的對應感到不可思議,漢密爾頓一直想要將高斯平面推廣到二維以上 (高斯平面的X軸是實數軸 Y軸則是虛數軸 任何一個複數 a+ib 都對應到高斯平面的一個點 (a,b))。 然而漢密爾頓發現三維空間無法建構類似的數學空間,當他嘗試四維的情況時,他還是遇到了困難。因為他找不到適當的方法去乘這些"數",根據他子女的回憶,他們早上起床都會問漢密爾頓:想出來了嗎?
     

    漢密爾頓的eureka moment 最後還是來了:漢密爾頓回憶道: 在1843年十月十六日當他與妻子沿著都柏林的皇家運河散步時,妻子沿路碎碎念,他完全沒注意聽,突然間,一個念頭閃過他的腦海:

    螢幕快照 2019-07-07 下午10.49.17
     

    漢密爾頓當下用隨身攜帶的小刀刻在Broom橋上,這就是四元數。1958年愛爾蘭總統 埃蒙·德·瓦萊拉(Edward de Valer)在橋上舉行發現四元數的紀念碑的揭幕典禮。埃蒙·德·瓦萊拉本身也是數學家。 而自1989以來愛爾蘭國立大學都會舉辦由Dunsink 天文臺走到發現四元數的紀念碑的紀念活動。

    四元數是非對易代數的濫觴。換言之就是不遵守交換律的代數。簡言之

    ij≠ji

    一個四元數就是這樣一個組合:  a+bi+cj+dk

    a,b,c,d 是四個實數。這樣就對應到一個四維的空間。如果允許係數是複數的話, 就成了”雙四元數”,對應的空間的維數變成八維。漢密爾頓一生最得意的就是"四元數"了。
     

    如果你以為從此漢密爾頓就心滿意足的渡過餘生,那你就大錯特錯了。晚年的漢密爾頓其實身陷愁雲之中。1846年漢密爾頓在一次Geological Society 舉辦的宴會中因醉酒而失態,醜態盡出,讓他下定決心戒酒。但是1847年他的叔父詹姆斯過世,與他爭吵過的同事James MacCullagh 自殺身亡,都讓多愁善感的他感到痛苦。但是最慘的是,Catherine Disney 在1853年過世給了漢密爾頓很大的創傷。倆人曾有過通信,直到Catherine Disney 感到對丈夫愧咎而中止。漢密爾頓甚至還幫Catherine Disney的兒子通過三一學院的考試。這一段孽緣讓原本戒酒的漢密爾頓再一次沉迷酒精。但是漢密爾頓一直繼續研究四元數到他易簀之日。1853年他出版了Lectures on Quaternions,不過漢密爾頓是個天才,卻不是個好作者,大部分的讀者讀完只有滿滿的挫折感。但是他持續地寫,準備寫一本Elements of Quaternions,可惜壯志未酬,在一次暴飲暴食之後引發痛風導致他在1865年九月二日過世,享壽只有六十。1866年他的兒子將他厚達762頁遺著加以出版,雖然現在張量分析採用更簡單的符號 ,不再使用漢密爾頓的四元數。 然而在控制理論與訊號控制以及軌道力學, 四元數仍然廣泛地被使用, 因為比起一般矩陣四元數還是比較簡潔。阿文當年大二學應用數學時,教科書還有四元數呢,不過老師跳過沒教,我們自己也是似懂非懂,反而是後來上到古典規範場的自對偶解以及所謂的瞬子(instanton)才又遇到四元數。要建構瞬子的一般解時有所謂ADHM (四個數學家Michael Atiyah, Vladimir Drinfeld, Nigel Hitchin, Yuri I. Manin 名字縮寫) construction 需要用到四元數。這個留待日後再來細說了。
     

    漢密爾頓是個完美主義者,他對論文要求非常高, 這使得他生前發表的論文不多的原因。 但他對來函詢問他問題的人十分客氣, 也花了不少時間幫助這些人。 所以他留下數量龐大的書信, 漢密爾頓還留下篇幅驚人的遺稿, 整理之後大家才知道漢密爾頓還有好多成就沒有在生前公開。他曾研究過五次方程式的公式解 以及傅利葉分析(漢密爾頓稱之為擾動函數fluctuating functions )。他還發明一種速端曲線圖hodograph。 速端曲線圖是一種線圖,可以用來展示出物體或流體的向量運動。假若我們將速度向量的尾部固定於坐標系統的原點,則速度向量的頂部的軌跡是速端曲線。在曲線上,任何一點的徑向距離與移動的粒子的速率成正比。將這定義延伸,可以用來展示任意變數向量的運動行為。於 1846 年,他在皇家愛爾蘭學院院刊 (Proceedings of the Royal Irish Academy) 發表了一篇關於克卜勒問題的論文。在此他使用了速端曲線。 此外他還發明了"icosian calculus, 這項發明是肇因於研究正十二面體的頂角與邊長的關係。他充沛的創造力令人目不暇給,神童果然不是浪得虛名!
     

    漢密爾頓生前獲得許多榮譽: 他贏得兩面由愛爾蘭皇家學院頒發的Cunningham 獎章。第一次是在1834年,獲獎理由是關於錐形折射conical refraction, 隔年他又因此獲得皇家學院頒發的皇家獎章。與他同時獲獎的是法拉第。第二次則是在1848年. 1864年他被新成立的美國科學院選為第一批海外院士,而且高居海外院士名單中的首位。隨著愛爾蘭共和國脫離英國而獨立,愛爾蘭民族意識高漲,對漢密爾頓的尊崇也隨之增加。2005年是漢密爾頓誕生兩百周年紀念。愛爾蘭政府特別宣稱該年是”漢密爾頓年”。而都柏林三一學院還特定啟用了漢密爾頓數學研究所做為數學研究的中心。有一次愛爾蘭選出十大科學家,漢密爾頓僅次於波義耳,高居榜上第二名,也算是實至名歸。稱漢密爾頓為”愛爾蘭之光”毫不為過吧

     

    參考資料

    (一) 中文 英文維基相關條目

    (二) "Hamilton, William Rowan." Complete Dictionary of Scientific Biography. . Encyclopedia.com. 27 Jun. 2019 .

    (三) MacTutor's Sir William Rowan Hamilton. School of Mathematics, University of St Andrews.

    (四) Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) https://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/

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