歷史 物理

一身滿是劍橋魂之斯托克斯爵士

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撰文者:高崇文 教授 (中原大學物理系)
發文日期:2017-04-05
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  • 講起劍橋,浮上腦海的不是被蘋果砸到頭的牛頓,就是提出黑洞會蒸發的史蒂芬‧霍金。這兩位都是劍橋大學的盧卡斯數學教授(Lucasian Chair of Mathematics) ,而且都做了三十年以上,牛頓做了三十三年,霍金做了三十年。但是在這個職位做最久的,卻是相對來講名氣不大的喬治·加布里埃爾·斯托克斯(George Gabriel Stokes),他擔任盧卡斯數學教授達五十四年之久。與古怪的牛頓與頗愛出風頭的霍金相比,斯托克斯是名不折不扣的英國紳士,一舉手一投足都充滿了濃濃的劍橋風。他自弱冠之年來到劍橋後一直待在這個寧靜的鄉間,直到他以八十三高齡壽終正寢,死後還葬在劍橋的Mill Road公墓。要找一位最能體現劍橋精神的人物,斯托克斯可說是不二人選。且讓阿文慢慢道來斯托克斯看似平凡卻是結實纍纍的一生。
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    George Gabriel Stokes (from Wikimedia Commom)
     
    喬治·加布里埃爾·斯托克斯生於1819年,他來自一個愛爾蘭的新教家庭。父親Gabriel Stokes是Sligo郡Skreen教區牧師,母親Elizabeth Haughton也是牧師的女兒。他是家中六個小孩中的么兒,三個哥哥也都成為神職人員。他一生維持虔誠的信仰,沒有因為學識增長而改變。他的父親畢業於都柏林的三一學院,所以在他幼年時他父親親自教他基礎的拉丁文文法。雖然家中人口眾多,家境不是很寬裕,但是小喬治在大自然的美景下度過相當幸福的童年。十三歲時喬治離開家鄉,前往都柏林就學,但是家裡經濟能力有限,所以他借住在親戚家。在這段期間,喬治已經顯露出他的數學天份,當他十六歲時他離開愛爾蘭進入英格蘭的Bristol College就讀。這所College 的校長Dr Jerrard 也是愛爾蘭出身,並且是他的伯父William Stokes在劍橋念書時的同學。在喬治贏得數學獎後,Dr Jerrard 鼓勵他去劍橋三一學院,他認為喬治有這個實力留在那裏成為三一學院的fellow!兩年後(1837年)喬治果然如願進入劍橋大學,但是進的卻是Pembroke 學院。Pembroke 學院是Pembroke伯爵的遺孀Marie de St Pol 在1347年成立的學院,在劍橋眾學院中只比彼得學院與克萊爾學院成立得晚。

    當時對剛進入劍橋的學生而言,最要緊的最末過於Mathematical Tripos。什麼是Mathematical Tripos呢? 這是當時劍橋的學生要拿到學士學位必須通過的一門數學考試,通過考試的考生依照成績分成三等,第一等稱之為Wranglers 第二等稱之為Senior Optimes 第三等則稱為Junior Optimes。從1753年開始一直到1909年為止,考生的成績不只是按著分數高低來排列,而且還是公開地印在報紙上呢。第一等的考生中成績最高的稱為Senior Wrangler 第二名則稱為Second Wrangler,以此類推。有趣的是這種排序與中國科舉分為三甲,一甲的前三名稱為狀元,榜眼,探花有異曲同工之妙。成為Senior Wrangler是每個來到劍橋的學子的夢想,不過這個考試是出名的困難,為了拿到好成績,學生必需反覆操練熟悉這些類型的題目。雖說是數學考試,但是考試的題目的範圍非常地廣,常常是與物理或其他應用數學有關,而且十分繁複,更嚇人的是題目的數量,以1854年為例,整整考八天四十四個半小時,十六張考卷,一共兩百一十一題!各位在臺灣受教育的大概不陌生,面對題海只能以快制量, 所謂天下武功,無堅不摧 惟快不破,所以在劍橋逐漸出現類似臺灣的"補教名師",他們幫助學生熟悉考試的型式,訓練學生解"考古題"來加強應答能力,來搏得好成績。

    在斯托克斯進劍橋的時候,最著名的coach是William Hopkins。William Hopkins本人是個優秀的數學家兼地理學家。由於已婚的身分使得William Hopkins 無法以Fellow 的身分留在學院,所以他成為私人老師,幫助學生通過Mathematical Tripos。William Hopkins 做得成功的不得了,被人取了個外號叫senior wrangler maker。在訓練學生的時候,William Hopkins 就喜歡拿天文學或一些物理的光學的問題來磨練學生的解題技巧,因為他認為這些問題最能讓數學發揮它的威力,顯明物質世界的結構之美。斯托克斯也在William Hopkins 底下學習,結果他勇奪1841年的Senior Wrangler! 此外他還獲得了史密斯獎(史密斯獎是頒給專攻數學或理論物理表現傑出的學生),而且Pembroke 學院馬上給斯托克斯Feloowship,從此斯托克斯就展開他在劍橋漫長的學術生涯。

     
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    William Hopkins (1793–1866)
     
    William Hopkins 不只幫助斯托克斯獲得Senior Wrangler 的殊榮,他也鼓勵斯托克斯往流體力學的方向發展。畢業一年後斯托克斯就出了一篇論文: On the steady motion of incompressible fluids。討論不可壓縮流的性質。不妙的是寫完了他才發現法國巴黎École Polytechnique 的數學教授Jean-Marie Duhamel 已經得到類似的結果,幸好斯托克斯發現他處理的條件與Duhamel 稍微有所不同,所以勉為其難地發表了。接下來他嘗試研究運動中的流體受到摩擦會有什麼行為。雖然他得到很不錯的結果,卻發現有許多類似的結果被法國的數學家Claude-Louis Navier ,Siméon-Denis Poisson 以及Jean Claude Saint-Venant 發表了。可見當時劍橋與歐陸的數學界有多疏離!這些結果中最重要的是Navier-Stokes Equations,這是是一組描述像液體和空氣這樣的流體物質的方程。這些方程建立了流體的粒子動量的改變率和作用在液體內部的壓力的變化和耗散粘滯力(類似於摩擦力)以及重力之間的關係。斯托克斯還是設法在1845年出版了一篇On the theories of the internal friction of fluids in motion 。在這篇文章他討論了彈性體的運動與平衡,並且利用連續性的論證主張有黏滯性的流體與帶有彈性的固體其實應該服膺相同的方程式。他還討論了聲速在流體中衰減的現象,提出了Stokes law of sound attenuation。而在同一年,他還提出了以太應該被介質"完全牽曳"的主張,並提出在以太完全被牽曳的前題下解釋光行差的方法。(雖然這個解釋在1886年被羅倫茲證明是錯誤的) 我們可以看到斯托克斯利用他高超的數學技巧來解決實際的物理問題,特別是跟介質中的振動有關的現象,成為他一生研究的重心。

    勤奮工作的斯托克斯名聲逐漸傳開來,所以他在1846年受邀在British Association for the Advancement of Science 針對流體力學做了一場公開演講,同時他還利用他正在研究的鐘擺在介質中運動的結果拿來研究在地表各處的重力。此外他在1847年還解決了一個流體力學的難題,就是在求表面波的解時,解的邊界條件卻是解的一部分,無法事先知道邊界條件自然無法求解,但是斯托克斯將位流(potential flow)在平均水位(mean surface elevation)做泰勒展開,如此邊界條件變成已知,接著斯托克斯發展出"斯托克斯展開" (Stokes expansion)來求解,只要水深比水波的波長要長,斯托克斯的這套方法就可以給出很接近答案的解。1847年他也寫了一篇數學論文討論周期數列和的臨界值。1848年他開始對光譜產生興趣,寫了一篇與光譜的論文。不要誤會斯托克斯只是待在象牙塔的學究喔!他參與了發生在1847年五月二十四日的Dee Bridge disaster 的調查工作。這件意外是一輛火車通過鑄鐵造的橋時鐵軌斷裂造成火車脫軌掉入河中釀成五死九傷的慘劇。斯托克斯負責計算火車在橋上橋梁所受的力是否是鑄鐵造的橋能否承擔的了。事實上斯托克斯讓流體力學成為工業革命的一項利器,在各方面都發揮了巨大的功效呢。

    斯托克斯孜孜不倦地努力讓他逐漸成為學界的領袖,1849年他接替Joshua King成為第十三任盧卡斯講座教授,Joshua King 是1819年的Senior Wrangler,擔任十年的盧卡斯講座教授後因健康不佳而卸任。這一年斯托克斯才剛滿而立之年呢。成為盧卡斯講座教授後斯托克斯馬不停蹄,除了將過去研究重力的結果整理好發表了On the variation of gravity at the surface of the earth,並寫了另一篇討論Clairaut定理的論文以外,還寫了一篇與繞射有關的長文,將這篇長文中他說明了偏振平面必須與波的行進方向垂直。

    接下來斯托克斯進入他研究的顛峰期,他在流體力學與光學都取得很好的成果:在流體力學方面斯托克斯發表了鐘擺受到空氣摩擦力影響的結果,並且持續在黏滯性流體的研究,他導出了斯托克斯定律,就是在低雷諾數的條件下,球體圓粒在黏滯性流體中運動受到的阻力的公式。這個公式可以拿來設計測量黏滯性的儀器,而赫赫有名的密立根油滴實驗也用上了斯托克斯定律,帶電微粒受的電力與空氣阻力達成平衡由此決定帶電微粒的電荷。

    在光學方面,他鑽研George Airy關於彩虹的論文,這篇論文出現了一個很難取值的積分,斯托克斯將這個積分巧妙地展開,他得到一個容易取值的近似。後來斯托克斯沿這條線繼續研究,發現了所謂"斯托克斯現象",就是一個函數在複數平面的不同區域的漸近行為asymptotic behavior 可能會有所不同。這個發現在量子力學的WKB進似有很漂亮的應用。這些都在1850年完成!無怪乎1851年三十二歲的斯托克斯就成為英國皇家學會的院士,隔年他在一篇論文中,他描述了螢石和鈾玻璃的螢光現象,他認為該些物質可將不可見的紫外線,轉化為波長較長的可見光。描述相關物理現象的斯托克斯位移就是以他的名字命名。(所謂螢光是物質經某種波長的入射光照射,吸收光能後進入激發態,並且立即退激發並發出出射光(通常波長比入射光的的波長長);而且一旦停止入射光,發光現象也隨之立即消失。具有這種性質的出射光就被稱之為螢光。) 同樣在1852年,他發表論文,討論不同偏振光線的構成和分解。在這篇文章他定義了所謂Stokes parameters 與 Stokes vectors, Stokes operators 來描述光的偏振狀態。就在此年斯托克斯得到光學的最高榮譽Rumford 獎章。隔年,他研究由非金屬物質所發出具金屬性質的反射來探討了光的偏振現象。
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    螢石(fluorspar)
     
    1854年他嘗試理解Fraunhofer發現的太陽光譜時曾假設是太陽外圍的原子稀收特定波長的光線所造成,但當德國科學家Kirchhoff提出類似的解釋時,由於斯托克斯當時沒有發表他的想法,事後也沒有挑戰Kirchhoff的優先權。事實上他還公開說明他沒有發現發射光譜與吸收光譜的關係,所以功勞應該歸給Kirchhoff,可以想見斯托克斯實在是位器量很大的謙謙君子呀。至於有名的斯托克斯定理則是William Thomson 在1850寫給他的一封信中提及,而斯托克斯將它放在1854年的Smith 獎的試題中。應試的人中就有馬克斯威爾!他是當年的Second Wrangler,但是在Smith 獎的比試中他與當年的Senior Wrangler Edward John Routh 並列第一。這一年的另外一件大事是他出任皇家學會秘書,他在學會發揮了很大的影響力,因為他樂於助人,而他廣博的學識加上高超的數學能力幫助了許多同行。

    斯托克斯的生活在1857年產生了巨大的改變,他結婚了! 由於學院Fellow 必須是獨身,所以他失去了Fellow的資格。幸好十二年後劍橋改變規定,他又重新成為Pembroke 學院的Fellow。(據說他對是否結婚一直舉棋未定,甚至寫了一封五十五頁的長信勸他的未婚妻Mary Susanna Robinson 悔婚呢。不過兩人還是在七月四日結為連理,婚後有五個小孩,但有兩個死於襁褓,只有三個長大成人,其中老四因精神異常在三十歲時而自殺。)他在1862年特別為了British Association撰寫了一份關於雙折射的報告,他指出結晶的不同軸有不同折射率的現象,包括冰洲石、透明方解石等都有這個現象。雖然他持續光學的研究,他的工作重心卻漸漸由學術研究移向教學與行政。
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    方解石的雙折射現象
     
    在1880年斯托克斯他出庭成為Tay Bridge disaster的專家證人,Tay Bridge disaster 發生在1879年十二月二十八日,整列火車通過鐵橋時,橋塌下來 火車掉下河來,全車的人都罹難。斯托克斯在法庭上針對風力對鐵橋結構的影響。由於他的證詞,政府成立一個Royal Commission 加強橋樑的結構安全。1885年他被選為皇家學會主席,他與牛頓是惟一兩位曾擔任盧卡斯講座教授,皇家學會秘書與皇家學會主席三職。從1887年到1892年間他還是代表劍橋的兩席國會議員的其中之一。此外他還身兼Victoria Institute的所長。他身旁的好友如P G Tait 以及開爾文男爵都認為他的行政負擔太重,根本是在浪費人才,然而基於對社會的責任,斯托克斯還是很盡責地擔負起這些工作。他還在1883年開始在亞伯丁擔任Burnett lecturer,演講的主題是光。這些演講後來付梓成書。看來英國的科學家與社會的互動相當頻繁,與歐陸學者真的是大異其趣。
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    掉落的Tay Bridge 
     
    在劍橋超過一甲子的斯托克斯對劍橋下個世代有很深的影響,他相當欣賞法國數學家如Lagrange、Laplace、Fourier 、Poisson 和Cauchy的工作,對歐陸數學日趨嚴謹的傾向也十分贊同,所以他主張將這些內容也放入Mathematical Tripos之中。這讓許多保守的同僚對他頗有微詞。但是斯托克斯一直強調數學與其他科學的結合,也就是將數學當做挖掘物理真理的工具。他大力支持卡文迪西實驗室的設立,事實上在1884年他還被邀請擔任卡文迪西實驗室的主任,不過他以年邁為由推辭了。所以年僅二十八歲的湯木生才有機會成為卡文迪西實驗室的主任。

    晚年的斯托克斯得到許多榮銜。1899年他被維多利亞女王封為從男爵Baronet,這可是世襲的頭銜。這一年6月1日,他擔任盧卡斯教授50周年,劍橋大學舉行了盛大的Golden jubilee的慶祝會,並頒發金牌給他。1893年他得到皇家學會最高榮譽Copley 獎章。1902年他還成為Pembroke 學院的master!不過不滿一年他就在1903年辭世了, 享壽八十三。他的數學和物理論文結集成五冊出版,首三冊(劍橋,1880年、1883年和1901年)由他親自編輯,而餘下的兩冊(劍橋,1904年和1905年)則由英國數學家和物理學家約瑟夫·拉莫爾負責編輯。從這五大冊可以想見斯托克斯一生的偉業,令人嘆為觀止呀。

    下一回阿文再接再厲,將介紹這位斯托克斯的傳人拉莫爾,敬請期待!


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    (2) MacTutor History of Mathematics archive
    (3) http://www.giffordlectures.org/lecturers/george-gabriel-stokes
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